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1、学习必备欢迎下载备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列三1 （本小题满分13 分）如图， 已知双曲线C：xaybab2222100()，的右准线l1与一条渐近线l2交于点 M，F 是双曲线C 的右焦点， O 为坐标原点 . （I）求证：OMMF；（II） 若|MF1且双曲线C 的离心率e62， 求双曲线C 的方程；（III）在（ II）的条件下，直线l3过点 A（0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P、Q 且 P 在 A、Q 之间，满足APAQ，试判断的范围，并用代数方法给出证明. 解： （I）右准线l12：xac，渐近线l2：ybaxMacabcF ccab()()22220，OMac
2、abc()2，MFcacabcbcabc()()22，OM MFa bca bcOMMF2222220 3 分（II）ebaeab621222222，|()MFbca bcbbacba1111142222222222，双曲线 C 的方程为：xy2221 7 分（III）由题意可得01 8 分证明：设l31：ykx，点P xyQ xy()()1122，由xyykx22221得()1244022kxkxl3与双曲线C 右支交于不同的两点P、Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载1201616 120412
3、04120221012022212212222kkkxxkkx xkkkkk()122k 11 分APAQxyxy，()()112211，得xx12()()()14124121164 12421222122222222222xkkxkkkkkk，12202111422kk，()()1421022的取值范围是（0，1） 13 分2 （本小题满分13 分）已知函数f xxn xnf nnxnnN( )()()()(*)00111，数列an满足af nnNn( )(*)（I）求数列an的通项公式；（ II）设x 轴、直线xa与函数yf x( )的图象所围成的封闭图形的面积为S aa( ) ()0，求
4、S nS nnN( )()(*)1；（III）在集合MN NkkZ|2 ，且10001500k中，是否存在正整数N，使得不等式aS nS nn10051( )()对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与an有关的数列bn，使得lim()nnbbb12存在，并求出这个极限值. 解： （I）nN *f nn nnf nnf n( )()()()111f nf nn( )()1 1 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下
5、载ffffff( )( )( )( )( )( )101212323f nf nn( )()1将这 n 个式子相加，得f nfnn n( )( )()012312ff nn n( )( )()0012an nnNn()(*)12 3 分（II）S nS n( )() 1为一直角梯形（n1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f nf n()( )1 ，高为 1 S nS nf nf naann( )()()( )11212112121222()()n nn nn 6 分（III）设满足条件的正整数N 存在，则n nnnn()12100522100520102又M20002002200
6、8201020122998，N201020122998，均满足条件它们构成首项为2010 ，公差为2 的等差数列 . 设共有 m 个满足条件的正整数N，则2010212998()m，解得m495M中满足条件的正整数N 存在，共有495 个，Nmin2010 9 分（IV）设bann1，即bn nnnn212111()()则bbbnnnn122 112121313141112 111()()()()()显然，其极限存在，并且lim()limnnnbbbn122112 10 分注：bcann（c 为非零常数），bbqqnannannn()(| |)12012121，等都能使lim()nnbbb12
7、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载存在 . 19. （本小题满分14 分）设双曲线yax22231的两个焦点分别为FF12、，离心率为2. （I）求此双曲线的渐近线ll12、的方程；（II）若 A、B 分别为ll12、上的点，且2512|ABF F，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点N()10，能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q 两点，且OPOQ0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解： （I）eca2422，caac22312，双曲线方程为yx2
8、231，渐近线方程为yx334 分（II）设A xyB xy()()1122，AB 的中点M xy，2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122|()()()()()()ABF FABF Fcxxyyyxyxxxxyyyyyxxyyxxyyxx又，3 21321007532512222()()yxxy，即则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为10 3，短轴长为10 33的椭圆 .（9 分）（III）假设存在满足条件的直线l设lyk xlP xyQ xy：， 与双曲线交于，、，()()()11122精选学习资料
9、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载OPOQx xy yx xkxxx xkx xxxi00110101212122121221212()()()( )由得则，yk xyxkxk xkxxkkx xkkii()()( )13131633063133312222212221222由（ i） （ii）得k230k 不存在，即不存在满足条件的直线l. 14 分3. （本小题满分13 分）已知数列an的前 n 项和为SnNn()*，且Smmann()1对任意自然数都成立，其中 m 为常数，且m1. （I）求证数列an是等比
10、数列；（II）设数列an的公比qf m()，数列bn满足：babf bnn11113，()()*nnN2，试问当m 为何值时，lim(lg)lim(nbanb bb bb bnn3122334bbnn1)成立？解： （I）由已知Smmann1111()( )Smmann()1（2）由( )( )12得：amamannn11，即()mamann11对任意nN*都成立mmaammannn为常数，且即为等比数列分1151（II）当n1时，amma111()abIqf mmmbf bbbnnNnnnn11111113112，从而由（ ）知，( )()()*精选学习资料 - - - - - - - -
11、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载1111111131212911bbbbbbnnbnnNnnnnnnn，即为等差数列，分()()*ammnn11lim(lg)limlglglim()limnbannnmmmmnb bb bbbnnnnnnn121133131414151112112231由题意知lgmm11，mmm110109，13 分4 （本小题满分12 分）设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为85（1）求椭圆的离心率；（2）若过FQA,
12、三点的圆恰好与直线l：033yx相切，求椭圆方程解： （1）设点),0,(),0,(0cFxQ其中), 0(,22bAbac由P分AQ所成的比为85，得)135,138(0bxP，2 分axax231)135()138(022202，4 分而AQFAbxAQbcFA),(),(0，0AQFAcbxbcx2020,0，5 分由知0232,32222aaccacb21.02322eee6 分（2）满足条件的圆心为)0 ,2(22ccbO，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载)0 ,(,2222222cOcc
13、ccaccb，8 分圆半径acacbr2222210 分由圆与直线l：033yx相切得，ac2|3|，又3,2, 1,2bacca椭圆方程为13422yx12 分5 （本小题满分14 分）（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件baan211的所有无穷等差数列na，试求1221nnnaaay的最大值，并求出y取最大值时na的首项和公差（理）解：设na公差为d，则1111,aandndaann3 分dnanndadaaaaaynnnnnnn)21 (
14、)1()()(11111221dnnann2) 1()1(14 分)2)(1()2)(1(1111aaanndannnn)3(2111aann7 分又211211,nnababaa449449)23(332112111bbabaaaannnn，当且仅当231na时，等号成立11 分8)49)(1()3(2111bnaanyn13 分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bny，y的最大值为8)49)(1(bn14 分（文）解：设na公差为d，则1111,aandndaann3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
15、 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载)2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221ndandnnandnanndadaaaaaynnnnnnnnn)3(21)2)(1(11111aanaaannnn，6 分又211211,nnababaa449449)23(332112111bbabaaaannnn当且仅当231na时，等号成立11 分8)49)(1()3(2111bnaanyn13 分当数列na首项491ba，公差nbd434时，8)49)(1(bnyy的最大值为8)49)(1(bn14 分6 （本小题满分12 分）垂直于x 轴的直线交双曲线2222yx于 M、N 不同
16、两点， A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M 与 A2N 交于点 P（ x0， y0）（）证明：;22020为定值yx（）过P 作斜率为002yx的直线 l，原点到直线l 的距离为d，求 d 的最小值 . 解（）证明：)0 ,2(),0,2(),(),(211111AAyxNyxM则设)2(2111xxyyMA的方程为直线直线 A2N 的方程为)2(211xxyy 4 分，得)2(2221212xxyy分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121yxNAMAyxPyxxyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
17、总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载（）02222),(20020200000yyxxyxxxyxyyl整理得结合的方程为202020201222242yyyxd于是 10 分112211222020202020ydyyyx当1, 1,1200取最小值时dyy 12 分7 （本小题满分14 分）已知函数xxxfsin)(（）若;)(,0的值域试求函数xfx（）若);32(3)()(2:),0(,0 xfxffx求证（）若)32(3)()(2,),)1( ,(,)1( ,xfxffZkkkkkx与猜想的大小关系（不必写出比较过程）. 解： （）为增函数时当)(,
18、0cos1)(,),0(xfxxfx分的值域为即求得所以上连续在区间又4,0)()(0),()()0(,0)(xfxffxffxf（）设)32(3)()(2)(xfxffxg，32sin3sin)(2)(xxfxg即)32coscos(31)(xxxg 6 分xxgxx得由,0)(),0(32),0(,0.)(,0)(,), 0(为减函数时当xgxgx分为增函数时当8)(,0)(,),(xgxgx分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(,0)()(,0)(xfxffgxgxxggxg（）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xfxff当 k 为奇数时)32(3)()(2xfxff 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页