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1、学而不思则惘，思而不学则殆习题 8 8-1沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B 两点，mx2612，而m242x，m/s12Tu8-2已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为1x处P点的振动式为)cos( tAy，波速为u，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解： （1）设平面波的波动式为0cosxyAtu（），则P点的振动式为：10cosPxyAtu（），与题设P点的振动式cos()PyAt比较，有：10 xu，平面波的波动式为：1cos()xxyAtu
2、；（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：0cosxyAtu（），则P点的振动式为：10cosPxyAtu（），与题设P点的振动式cos()PyAt比较，有：10 xu，平面波的波动式为：1cos ()xxyAtu。8-3 一 平 面 简 谐 波 在 空 间 传 播 ， 如 图 所 示 ， 已 知A点 的 振 动 规 律 为cos(2)yAt，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处） 。解： （ 1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：0cos2xyAtu（），则A点的振动式：精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆0cos2AlyAtu（）题设A点的振动式cos(2)yAt比较，有：02lu，该平面简谐波的表达式为：2cos）（uxultAy（2） B 点的振动表达式可直接将坐标xdl，代入波动方程：2cos2cos）（）（udtAuldultAy8-4已知一沿x正方向传播的平面余弦波，s31t时的波形如图所示，且周期T为s2。（1）写出O点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出A点的振动表达式；（4）写出A点离O点的距离。解：由图可知：0.1Am，0.4m，而2Ts，则：/0.2/uTm
4、s，2T，25k，波动方程为：00.1cos(5)ytxO点的振动方程可写成：00.1cos()Oyt由图形可知：s31t时：0.05Oy，有：00.050.1cos()3考虑到此时0Od yd t，03，53（舍去）那么：（1）O点的振动表达式：0.1cos()3Oyt；（2）波动方程为：0.1cos(5)3ytx；（3）设A点的振动表达式为：0.1cos()AAyt由图形可知：s31t时：0Ay，有：cos()03A考虑到此时0Ad yd t，56A（或76A）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而
5、不学则殆A 点的振动表达式：50.1cos()6Ayt，或70.1cos()6Ayt；（4）将 A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：0.1cos(5)3AAytx，与（ 3）求得的A 点的振动表达式比较，有：5563Attx，所以：mxA233.0307。8-5 一平面简谐波以速度m/s8 .0u沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m1的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：305 10cos()Oyt。（1）当0t时，302.5 10Oty，考虑到：00
6、Otd ydt，有：03，当1t时，10Oty，考虑到：10Otd yd t，有：32，56，原点的振动表达式：355 10cos()63Oyt；（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：355 10cos()63ytk x而512460.825ku，35245 10cos()6253ytx；（3）位相差：2523.2724xk xrad。8-6一正弦形式空气波沿直径为cm14的圆柱形管行进，波的平均强度为39.0 10/ ()Js m，频率为Hz300，波速为m/s300。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解： （1）已知波的平均强度为：39.0
7、 10I/ ()Js m，由Iw u有：3539.0103 10/300IwJ mu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆53max26 10/wwJ m；（2）由Ww V，221144uWwdwd53273 10/(0.14)14.62104JmmmJ。8-7一弹性波在媒质中传播的速度310/um s，振幅41.010Am，频率310 Hz。若该媒质的密度为3800/kg m，求： （1）该波的平均能流密度； （2）1 分钟内垂直通过面积24m100 .4S的总能量。解： （1）由：2212I
8、uA，有：34232110800102102I（） （）521.58 10/Wm；（2） 1 分钟为 60 秒，通过面积24m100 .4S的总能量为：WI St5431.58104 10603.79 10 J。8-81S与2S为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5d，2S质点的振动比1S超前2，设1S的振动方程为tTAy2cos10，且媒质无吸收， （1）写出1S与2S之间的合成波动方程； （2）分别写出1S与2S左、右侧的合成波动方程。解： （1）如图，以1S为原点，有振动方程：tTAy2cos10，则波源1S在右侧产生的行波方程为：122cos()yAtxT，由于2S质
9、点的振动比1S超前2，2S的振动方程为202cos()2yAtT，设以1S为原点，波源2S在其左侧产生的行波方程为：222cos()yAtxT，由于波源2S的坐标为5/4，代入可得振动方程：20225cos()4yAtT， 与202cos()2yAtT比较，有：2。1Sx2S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆22222cos(2 )cos()yAtxAtxTT。可见，在1S与2S之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：tTxAyyy2cos2cos221，为驻波；（2
10、）波源1S在左侧产生的行波方程为：122cos()yAtxT，与222cos()yAtxT叠加，有：12222cosyyyAtxT左（）；（3）设波源2S在其右侧产生的行波方程为：222cos()yAtxT，代入波源2S的坐标为5 / 4， 可得振动方程：20225cos()4yAtT，与20202cos()2yyAtT比较，有：3。22222cos(3 )cos()yAtxAtxTT。与122cos()yAtxT叠加，有：120yyy右。表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。8-9设1S与2S为两个相干波源，相距41波长，1S比2S的位相超前2。若两波在在1S、2S连线方向上的强
11、度相同且不随距离变化，问1S、2S连线上在1S外侧各点的合成波的强度如何？又在2S外侧各点的强度如何？解： （1）如图，1S、2S连线上在1S外侧，212122()24rr，两波反相，合成波强度为0；（2）如图，1S、2S连线上在2S外侧，212122()()024rr，两波同相，合成波的振幅为2A，1r1S2S2r1S2S2r1r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆合成波的强度为：220(2 )44IAAI。8-10测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下： 一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入
12、玻璃管， 如图所示。 管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：du2。证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d，所以：2d，那么：2d，所以波速为：2ud。8-11 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器， 如耳或话筒。 路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。 干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100 单位，而渐增至B距第一位置为cm65.1的第二位置时，
13、有极大值900单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，相邻波节与波腹的间距：4x，可得：46.6xcm。（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：234051516.6 10uHz（）。（2）2IA，2min12()IAA，2max12()IAA，依题意有：212212()100()900AAAA122010AA，那么1221AA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆8-12绳索上的波以波速m/s25v传播，若
14、绳的两端固定，相距m2，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3 个波节。设驻波振幅为m1.0，0t时绳上各点均经过平衡位置。试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3 个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，422x，则：422d，波长：1m，又波速25/um s， 250uHz（）。又已知驻波振幅为m1.0，0t时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为2，关于时间部分的余弦函数应为cos 502t（），所以驻波方程为：0.1cos2cos 50
15、2yxt（）；（2）由合成波的形式为：1222coscos2xyyyAt，可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：10.05cos 502ytx（）20.05cos 502ytx（）。8-13如图所示，三个频率相同，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个简谐波各自单独在 S1、 S2和 S3的振动方程分别为)21co s (1tAy，tAycos2和)21cos(23tAy；且42OS，531OSOS( 为波长 )，求 O 点的合振动方程（设传播过程中各波振幅不变）S1S2S3O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
16、第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆A S V 解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O 点的振动方程可写成)21cos(11tAytAycos22)21cos(33tAy其中AAA21，AA23在 O 点，三个振动叠加利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程)41cos(2tAy答案：)41cos(2tAy。8-14试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度sv向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为3Hz，求波源移动的速度sv，设声速为340/m s。解：根据观察者不动，波源运动，即：0Su，0Ru，观察者认为接受到的波数变了：0Suuu，其
17、中340u，2043，02040，分别代入，可得：0.5/Sum s。8-15如图所示， 观察者A与点波源S 都静止，而反射面以速度V=0.20 米/秒向观察者接近。 如观察者听到拍音的频率为2Hz， 则波源的振动频率为多少？（设声速为340m/s） 。答案：1699Hz. 解：设反射面接受的频率为1，最后观察者从反射面接受的频率为2，有121,VuuuVu由题意202而得2=1699Hz思考题 8 8-1.下图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在0t时刻的波形图， 则图（ b）yO/41A2A3AA2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
18、第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆表示的是：（A）质点m的振动曲线；（B）质点n的振动曲线；（C）质点p的振动曲线；（D）质点q的振动曲线。答：图（ b）在 t=0 时刻的相位为2，所以对应的是质点n 的振动曲线，选择B。8-2从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答： （1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大， 同时等于零。 而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。8-3设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？答：在波源的平均功率不变，且介质无吸收的情况下，P为常量，那么，通过距离为r的柱面的平均能流为：2PIr，12PIrr，1Ar。8-4入射波波形如图所示，若固定点O处将被全部反射。（1）试画出该时刻反射波的波形；（2）试画该时刻驻波的波形；（3）画出经很短时间间隔t（T周期）时的驻波波形。提示：有半波损失。具体图略. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页