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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆习题 8 8-1沿一平面简谐波的波线上,有相距2.0 m 的两质点 A 与 B , B 点振动相位比 A 点落后,已知振动周期为 2.0 s ,求波长和波速；6解：依据题意,对于 A、B 两点,2 1,x 2 m,6而 2x 24 m,u 12 m/sT8-2已知一平面波沿 x 轴正向传播,距坐标原点 O 为 1x 处 P 点的振动式为y A cos t ,波速为 u ,求：（1）平面波的波动式；（2）如波沿 x轴负向传播,波动式又如何 . 解：（ 1）设平面波的波动式为 y A cos（t x）0 ,就 P 点的振动
2、式为：uy P A cos（t x 1）0 ,与题设 P 点的振动式 y P A cos t 比较,u有：0u x 1,平面波的波动式为：y A cos t xu x 1 ；（2）如波沿 x 轴负向传播,同理,设平面波的波动式为：xy A cos（t）0 ,就 P 点的振动式为：uy P A cos（t x 1）0 ,与题设P点的振动式 y P A cos t 比较,u有：0 x 1,平面波的波动式为：y A cos t x x 1 ；u u8-3 一 平 面 简 谐 波 在 空 间 传 播 , 如 图 所 示 , 已 知A点 的 振 动 规 律 为y A cos2 t ,试写出：（1）该平面
3、简谐波的表达式；（2） B 点的振动表达式（B 点位于 A 点右方 d 处）；解：（ 1）仿照上题的思路,依据题意,设以 O 点为原点平面简谐波的表达式为：名师归纳总结 yAcos2（tx）0,就 A 点的振动式：第 1 页,共 9 页u- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆yAAcos2（tl）0u名师归纳总结 - - - - - - -题设 A 点的振动式yAcos2t比较,有：02ul,该平面简谐波的表达式为：yAcos2（t l x）u ul ,代入波动方程：xd（2） B 点的振动表达式可直接将坐标yAcos2（tldu
4、l）Acos2（td）uu8-4已知一沿 x 正方向传播的平面余弦波,t1s时的波形如下列图,且周期 T3为2 ；（1）写出 O 点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出 A 点的振动表达式；（4）写出 A 点离 O 点的距离；解：由图可知：A0.1 m ,0.4m ,而T2s,就：u/T0.2m s ,2,k25,波动方程为：y0.1cost5x0TO 点的振动方程可写成：y O0.1cost0由图形可知：t1s时：y O0.05,有：0.050.1cos303考虑到此时d y O0,03,5 3（舍去）d t那么：（1） O 点的振动表达式：y O0.1cost3；（2）波动
5、方程为：y0.1cost5x3；A（3）设 A 点的振动表达式为：y A0.1cost由图形可知：t1s时：y A0,有： cos3A03考虑到此时d yA0,A5（或A7）d t66第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆A 点的振动表达式：yA0.1cost5,或yA0.1cost7；66（4）将 A 点的坐标代入波动方程,可得到A 的振动方程为：yA0.1cost55xAx A33,与（ 3）求得的 A 点的振动表达式比较,有：t5 6t,所以：x A70 .233m；308-5一平面简谐波以速度u0 8.m/s已知原点的振动曲线
6、如下列图；试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；沿 x 轴负方向传播；（3）同一时刻相距1 m的两点之间的位相差；解：这是一个振动图像！由图可知 A=0.5cm,设原点处的振动方程为：y O 5 10 3 cos t 0 ；（1）当 t 0 时,y O t 0 2.5 10 3,考虑到：d y Ot 0 0,有：0,d t 3当 t 1 时,y O t 1 0,考虑到：d y Ot 1 0,有：,5,d t 3 2 6原点的振动表达式：y O 5 10 3cos 5 t ；6 3（2）沿 x 轴负方向传播,设波动表达式：y 5 10 3cos 5t k x 6 3而 k 5 1 2
7、4,y 5 10 3cos 5t 24x ；u 6 0.8 25 6 25 3（3）位相差：2 xk x 253.27 rad；248-6 一正弦形式空气波沿直径为 14 cm 的圆柱形管行进,波的平均强度为39.0 10 J / s m ,频率为 300 Hz,波速为 300 m/s；问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？名师归纳总结 解：（ 1）已知波的平均强度为：I9.0 103J/ s m ,由 Iw u有：第 3 页,共 9 页wI9.01033 1053 J mu300- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
8、- - 学而不思就惘,思而不学就殆w max2 w6 1053 J m ；（2）由 Ww V ,Ww1 4d21 mw1 4d2u7J；3 105J/3 m40.14m 24.62108-7一弹性波在媒质中传播的速度 3 10 Hz ；如该媒质的密度为3 4u 10 m s,振幅 A 1.0 10 m ,频率3800 kg m ,求：（1）该波的平均能流密度； （2）1 分钟内垂直通过面积 S 4 0. 10 4m 2的总能量；解：（ 1）由：I 1u A 2 2,有：21 3 4 2 3 2 5 2I 10 800（10）（2 10）1.58 10 W / m ；2（2） 1 分钟为 60
9、秒,通过面积 S 4 0. 10 4 m 2的总能量为：5 4 3W I S t 1.58 10 4 10 60 3.79 10 J；8-8 1 S 与 S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,它们的间距为 d 5 / 4,2S 质点的振动比 S 超前 2 ,设 S 的振动方程为 y 10 A cos t,且媒质无T吸取,（1）写出 S 与 S 之间的合成波动方程； （2）分别写出 S 与 S 左、右侧的合成波动方程；名师归纳总结 解：（ 1）如图,以S 为原点,有振动方程：1SS 2xy10Acos2t,T2x ,就波源S 在右侧产生的行波方程为：y 1Acos2tT由于S 质点的振动比S
10、 超前2 ,S 的振动方程为y20Acos2t2,T设以S 为原点,波源S 在其左侧产生的行波方程为：/ 4 ,代入可得振动方程：y2Acos2t2x,由于波源S 的坐标为 5Ty20Acos2t25,与y20Acos2t2比较,有：2；T4T第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆y2Acos2t2x2 Acos2t2x；TT可见,在 S 与 S 之间的任一点 x 处,相当于两列沿相反方向传播的波的叠加,合成波为：y y 1 y 2 2 A cos 2x cos 2 t,为驻波；T2 2（2）波源 S 在左侧
11、产生的行波方程为：y 1 A cos t x ,T与 y 2 A cos 2t 2x 叠加,有：y 左 y 1 y 2 2 A cos（2t 2x）；T T（3）设波源 S 在其右侧产生的行波方程为：y 2 A cos 2 t 2 x ,T代入波源 S 的坐标为 5 / 4 ,可得振动方程：y 20 A cos 2t 2 5,T 4与 y 20 y 20 A cos 2t 比较,有： 3；T 2y 2 A cos 2t 2x 3 A cos 2t 2x ；T T与 y 1 A cos 2t 2x 叠加,有：y 右 y 1 y 2 0；T说明两列波正好是完全反相的状态,所以合成之后为 0；8-9
12、设 1S 与 S 为两个相干波源,相距 1 波长,S 比 S 的位相超前；如两波4 2在在 S 、S 连线方向上的强度相同且不随距离变化,问 S 、S 连线上在 S 外侧各点的合成波的强度如何？又在S 外侧各点的强度如何？名师归纳总结 解：（ 1）如图,S 、S 连线上在S 外侧,44,1rS 12rS 2S 2r 2第 5 页,共 9 页212r2r 122两波反相,合成波强度为0；0,1Sr 1（2）如图,S 、S 连线上在S 外侧,212r2r 12 2A ,2两波同相,合成波的振幅为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆合
13、成波的强度为：I2 242 A4 I0；8-10测定气体中声速的孔脱（Kundt ）法如下： 一细棒的中部夹住,一端有盘 D伸入玻璃管, 如下列图； 管中撒有软木屑,管的另一端有活塞 P ,使棒纵向振动,移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案；如已知棒中纵波的频率,量度相邻波节间的平均距离 d ,可求得管内气体中的声速 u ；试证：u 2 d；证明：依据驻波的定义,相邻两波节 腹间距：x,再依据已知条件：量度2相邻波节间的平均距离 d ,所以：d,那么：2d ,2所以波速为：u 2 d；8-11图中所示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉；S 为声源,D 为声音探测器, 如耳或话筒； 路径 SB
14、D 的长度可以变化,但路径 SAD 是固定的； 干涉仪内有空气, 且知声音强度在 B 的第一位置时为微小值 100 单位,而渐增至 B 距第一位置为 1 . 65 cm的其次位置时,有极大值 900 单位；求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比；名师归纳总结 解：依据驻波的定义,相邻两波节腹间距：x2,Hz）；相邻波节与波腹的间距：x4,可得：4x6.6 cm ；u34025151（1）声音的速度在空气中约为340m/s,所以：A 26.6 10（2）I2 A ,IminA 1A 22,ImaxA 12,依题意有：A 1A 22100A120,那么A12；A 1A 22
15、900A210A21第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆8-12绳索上的波以波速v25m/s传播,如绳的两端固定,相距t2m,在绳上形成驻波,且除端点外其间有3 个波节；设驻波振幅为0.1 m,0时绳上各点均经过平稳位置；试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式；解：依据驻波的定义,相邻两波节 腹间距：x,假如绳的两端固定,那么2两个端点上都是波节,依据题意除端点外其间仍有 3 个波节,可见两端点之间有四个半波长的距离,x 4 2,就：d 4 2,波长：1m ,又2 2波速 u
16、 25 m s ,2 u 50（Hz）；又已知驻波振幅为 0 . 1 m,t 0时绳上各点均经过平稳位置,说明它们的初始相位为,关于时间部分的余弦函2数应为 cos 50 t2）,所以驻波方程为：y 0.1cos2 x cos 50 t 2） ；（2）由合成波的形式为：y y 1 y 2 2 A cos 2 xcos2 t ,可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：y 10.05cos 50t2x） ；y 20.05cos 50t2x8-13如下列图,三个频率相同,振动方向相同（垂直纸面）的简谐波,在传播过程中在O 点相遇；如三个简谐波各自单,OS3独在 S1、S2 和 S3 的振动方程分别为y
17、1Aco s t12y2Acost和y32Acost1；且S 2O4,S1S22S 1 OS3O5 为波长 ,求 O 点的合振动方程（设传播过程中各波振幅不变）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解：每一波传播的距离都是波长的整数倍,所以三个波在O 点的振动方程可写成其中A 1y 1A 1costt1A 12 AA 2A 3y2y 2A 2costO/41 2 y 3A 3cosA 2A,A 32A在 O 点,三个振动叠加利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程1y 2 A cos t
18、 4答案：y 2 A cos t 1 ；48-14试运算：一波源振动的频率为 2040Hz ,以速度 v 向墙壁接近（如下列图）,观看者在 A 点听得拍音的频率为3Hz ,求波源移动的速度 sv ,设声速为 340 m s ；解：依据观看者不动,波源运动,即：u S 0,u R 0,观看者认为接受到的波数变了：u0,u u S其中 u 340,2043 ,0 2040,分别代入,可得：u S 0.5 m s ；8-15如下列图, 观看者 A 与点波源 S 都静止,而反射面以速度 V=0.20 米/秒向观看者接近； 如观看者听到拍音的频率为 2Hz ,就波源的振动频率为多少？（设声速为 340m
19、/s ）；答案： 1699Hz . 解：设反射面接受的频率为 1,最终观看者从反射面A S V u V u接受的频率为 2,有 1 , 2 1u u V由题意 2 0 2 而得 2=1699Hz摸索题 8 名师归纳总结 8-1.下图（a）表示沿 x 轴正向传播的平面简谐波在t0时刻的波形图, 就图（ b）第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆表示的是：（A）质点 m 的振动曲线；（C）质点 p 的振动曲线；（B）质点 n 的振动曲线；（D）质点 q 的振动曲线；答：图（ b）在 t=0 时刻的相位为2,所以对
20、应的是质点n 的振动曲线,挑选B；8-2从能量的角度争论振动和波动的联系和区分；. 答：（ 1）在波动的传播过程中,任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同,同时达到最大, 同时等于零； 而振动中动能的增加必定以势能的减小为代价,两者之和为恒量；（2）在波传动过程中,任意体积元的能量不守恒；质元处在媒质整体之中,沿波的前进方向,每个质元从后面吸取能量,又不停的向前面的质元释放能量,能量 得以不断地向前传播；而一个孤立振动系统总能量是守恒的；8-3设线性波源发射柱面波,在无阻尼、各向同性的匀称媒质中传播；问波的强 度及振幅与离开波源的距离有何关系？答：在波源的平均功率不变,且介质无吸取的情形下,P 为常量,那么,通过距离为 r 的柱面的平均能流为：PI2r ,I2Pr1,A1；rr8-4入射波波形如下列图,如固定点（1）试画出该时刻反射波的波形；O 处将被全部反射；（2）试画该时刻驻波的波形；（3）画出经很短时间间隔t （T 周期）时的驻波波形；名师归纳总结 提示：有半波缺失；详细图略. 第 9 页,共 9 页- - - - - - -