2022年幂的知识点 .pdf

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1、名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质mnm naaa( 其中,m n都是正整数 ). 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm npaaaa（,m np都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即m nmnaaa（,m n都是正整数） . 要点二、幂的乘方法则()mnmnaa( 其中,m n都是正整数 ). 即幂的乘方

2、，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：() )mnpmnpaa (0a，, ,m n p均为正整数 ) （2）逆用公式：nmmnmnaaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则()nnnabab ( 其中n是正整数 ). 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()nnnnabcabc(n为正整数 ). （2）逆用公式：nnna bab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便 . 如：10101011221.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数

3、，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加. 指数为 1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数 ) 都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444； （2）3452622aaaaaa；（3）11211()()()()()nnmnmxyxyxyxyxy【答案与解析】解： （1）原式2 3 4944（2）原式

4、3 45 26 177772222aaaaaaa（3）原式11211222()()()()2()n nmnmn mnmn mxyxyxyxyxy【总结升华】 （2） （3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则在第（2）小题中a的指数是1在第（ 3）小题中把xy看成一个整体举一反三：【变式】计算：（1）5323( 3)( 3)；（2）221()()pppxxx（p为正整数）；（3）232( 2)( 2)n（n为正整数）【答案】解： （1）原式5325325 3 2103( 3)333333（2）原式2212215

5、1()pppppppxxxxx（3）原式525 216 222( 2)22nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页名师总结优秀知识点2、已知2220 x，求2x的值【思路点拨】 同底数幂乘法的逆用：22222xx【答案与解析】解：由2220 x得22220 x25x【总结升华】 （1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nmnaaa类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()ma； （ 2）3 4() m； （3）32()ma【思路点拨】 此题是幂的乘方运算， （1）题

6、中的底数是a， （2）题中的底数是m， （3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3)62mm【答案与解析】解： （1）2()ma2ma（2）34() m1212()mm（3）32()ma2(3)6 2mmaa【总结升华】 运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式. 4、已知25mx，求6155mx的值【答案与解析】解：25mx，62331115()5552 0555mmxx【总结升华】 （1）逆用幂的乘方法则：()()mnmnnmaaa （2）本题培养了学生的整体思

7、想和逆向思维能力举一反三：【变式 1】已知2ax，3bx求32abx的值【答案】解：32323232()()238 972abababxxxxx【变式 2】已知84m，85n，求328mn的值【答案】解：因为3338(8 )464mm, 2228(8 )525nn. 所以323288864251600mnmn.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()abab；（ 2）333(4)64aba b；（3）326( 3)9xx【答案与解析】解： （1）错，这是积的乘方，应为：222()aba b（2）对（3）错，系数应为9，应为：326( 3)9xx【总结

8、升华】 （1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数1 不可忽略【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)bbb；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页名师总结优秀知识点(2)23(2 )(2)xyyx【答案与解析】解： （1）353 5 19(2)(2)(2)(2)(2)bbbbb（2）23235(2 )(2)(2 )(2 ) (2 )xyyxxyxyxy【总结升华】 （1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式（2）

9、在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),nnnanaan为偶数 ,为奇数() ()()() ()nnnbanabban为偶数为奇数类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23() ab；（2）32235()()2yyyy；（3）22412()()mmxx；（ 4）3234()()xx【答案与解析】解： （1）23() ab2 36()()abab（2）32235()()2yyyy666662220yyyyy（3）22412()()mmxx4(22)2(1)8822106mmmmmxxxxx（4）3234()()xx61218xxx【总结升华】 （1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算

10、及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆 （2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式3、已知84m，85n，求328mn的值【思路点拨】 由于已知8 ,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328mn变成323288(8 )(8 )mnmn，再代入计算 .【答案与解析】解：因为3338(8 )464mm, 2228(8 )525nn. 所以323288864251600mnmn. 【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法. 把8 ,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举

11、一反三：【变式】已知322,3mmab，则36322mmmmaba bb【答案】 5；提示：原式23223232mmmmabab 原式23222323 5. 类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy（2）2433 3() aa b【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解： （1）24442448(2)( 1)2()16xyxyx y（2）2433 3() aa b231293636274227()()()aa baaba b【总结升华】 （1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方（2）注意系数及系数符号，对系数 1 不可忽略举一反三：

12、【变式】下列等式正确的个数是( )3236926x yx y326mmaa36933aa57355 107 1035 101001001010.520.5 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页名师总结优秀知识点 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】 A；提示：只有正确；3236928x yx y；326mmaa；3618327aa；5712135 107 1035 103.5 10同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm naaa（a 0，m

13、n、都是正整数，并且mn）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 . （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0 的数的 0 次幂都等于1. 即01a（a0）要点诠释： 底数a不能为 0，00无意义 . 任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 . 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即1nnaa（a0，n是正整数） . 引进了零指数

14、幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. mnm na aa（m、n为整数，0a） ；mmmaba b（m为整数，0a，0b）nmmnaa（m、n为整数，0a）. 要点诠释：0naa是na的倒数，a可以是不等于0 的数，也可以是不等于0 的代数式 . 例如1122xyxy（0 xy） ，551abab（0ab） .要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成10na的形式，其中n是正整数，1 | 10a（2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na的形式，其中n是正整数，1 | 10a. 用以上两种形式表示数的

15、方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83xx； （2）3()aa； （3）52(2)(2)xyxy； （4）531133【思路点拨】 利用同底数幂相除的法则计算( 2) 、( 4) 两小题要注意符号【答案与解析】解： （1）838 35xxxx（2）33 12()aaaa（3）525 2333(2)(2)(2)(2)8xyxyxyxyx y（4）535 321111133339【总结升华】 （1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号2、计算下列各题：（1）5()()xyxy（2）125(52 )(25 )abba精

16、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页名师总结优秀知识点（3）6462(310 )(310 )（4）3324(2 ) (2) xyyx【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52 )(25 )abba （2）注意指数为1 的多项式如xy的指数为 1，而不是0【答案与解析】解： （1）55 14()()()()xyxyxyxy（2）1251257(52 )(25 )(25 )(25 )(25 )abbabababa（3）646264 26212(3

17、10 )(310 )(3 10 )(3 10 )9 10（4）3 324(2 ) (2) xyyx989 8(2 )(2 )(2 )2xyxyxyxy【总结升华】 底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算3、已知32m，34n，求1 29mn的值【答案与解析】解：121222222221 222244449(3 )33333(3 )399(3 )33(3 )(3 )mmmmmmmnnnnnnn当32m，34n时，原式224239464【总结升华】 逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m，3n的式子，再代入求值本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算

18、，我们可以把它再写成除式的形式举一反三：【变式】已知2552mm，求m的值【答案】解：由2552mm得1152mm，即11521mm，1512m，底数52不等于 0 和 1，105522m，即10m，1m类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）223； （2）23131()()a ba bab【答案与解析】解： （1）222119434293；（2）2313123330()()a ba baba ba baba bb【总结升华】 要正确理解负整数指数幂的意义举一反三：【变式】计算：4513012222(3.14)2【答案】解：4513012222(3.14)245311111122116212

19、2232281151611732832精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页名师总结优秀知识点5、 已知1327m，1162n，则nm的值 _【答案与解析】解：331133273m，3m122nn，4162，422n，4n4411( 3)( 3)81nm【总结升华】 先将127变形为底数为3 的幂，122nn，4162，然后确定m、n的值，最后代值求nm举一反三：【变式】计算： （1）1232()a b c； （ 2）3232312b cb c；【答案】解： （1）原式424626ba b ca c（2）原式823698

20、1212888bb cb cb cc类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001 ； （ 2）0.000000203 ； （3）-0.000135 ； （4） 0.00067 【答案与解析】解： （1）0.00001 510；（2）0.000000203 72.03 10；（3）-0.000135 41.3510；（4）0.00067 46.710. 【总结升华】 注意在10na中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）【巩固练习】一. 选择题1. 35cc的值是 ( )A. 8cB. 15cC. 15cD.8c22nnaa的值是 (

21、)A. 3naB. 2n naC. 22naD. 8a3下列计算正确的是( )A.224xxx B.347xx xxC. 4416aaa D.23a aa4下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ). A. 100 210310 B. 100010103010C. 100 310510 D. 10010004105下列计算正确的是( )A.33xyxyB.222455xyx yC.22439xxD.323628xyx y6若391528mna ba b成立，则 ( )A. m6，n 12 B. m3，n12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

22、- - - - - -第 6 页，共 8 页名师总结优秀知识点C. m3，n 5 D. m6，n5 二. 填空题7. 若26,25mn，则2m n_8. 若319xaaa，则x_9. 已知35na，那么6na_10若38maaa，则m_；若31381x，则x_11. 322_；33n _ ；523_12. 若 n 是正整数，且210na，则3222()8()nnaa_. 三. 解答题13. 判断下列计算的正误（1）336xxx ( ) （2）325()yy ( ) （3）2224( 2)2aba b（）（4）224()xyxy ( ) 14. （1）3843()()xxx；（2）2333221

23、()()3a ba b；（3）3510( 0.3 10 )(0.410 )；（4）3522baab；（5）2363353aaa；15. （1）若3335nnxxx，求n的值（2）若3915nmabba b，求m、n的值【答案与解析】一. 选择题1. 【答案】 D；【解析】353 588ccccc. 2. 【答案】 C；【解析】2222nnn nnaaaa. 3. 【答案】 D；【解析】2222xxx；348xx xx；448aaa. 4. 【答案】 C；【解析】 100210410；100010101310；1001000510. 5. 【答案】 D；【解析】333xyx y；2224525x

24、yx y；22439xx. 6. 【答案】 C；【解析】333915288,39,315mnmna baba bmn，解得m3，n5. 二. 填空题7. 【答案】 30；【解析】2226530m nmn. 8. 【答案】 6；【解析】3119,3119,6xaaxx. 9. 【答案】 25；【解析】2632525nnaa. 10. 【答案】 5；1；【解析】338,38,5mmaaaamm；3143813 ,314,1xxx. 11. 【答案】 64；9n；103；12. 【答案】 200；【解析】32322222()8()81000800200nnnnaaaa. 精选学习资料 - - - -

25、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页名师总结优秀知识点三. 解答题13. 【解析】解： （1）；（2）； （ 3）；（4）14. 【解析】解： （1）3843241237()()xxxx xxx；（2）233322696411()()327a ba ba ba b；（3）3535810( 0.3 10 )(0.410 )0.30.4 10 10101.2 10；（4）3535822222baabababab；（5）236331293125325272aaaaaaa. 15. 【解析】解： （1）3335nnxxx4335nxx4n335 n 8 （2）m4，n3 解：3915nmabba b333333915nmnmabbaba b3n9 且 3m 315 n 3且m4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页