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1、1 / 7 第四讲行程1.一只小船从甲地到乙地往返一次共需要2小时，回来时顺水比去时每小时多行驶8千 M ，因此第2小时比第1小时多行驶6 千 M ，则甲、乙两地的距离为多少千M ？【分析】 如 图, AC 逆水行使1时， CB 逆水行驶和BA顺水行驶共1时； BC 为 3千 M ，顺水比逆水每小时多行驶8千 M ，因此在后1小时里，逆水行驶0.25时，顺水行驶时间为0.75时，从而AB逆水行驶了1.25 时，BA顺水行驶了0.75时；顺水速度 : 逆水速度1.25:0.755:3，逆水速度为12千 M/时，全程为 121.2515 千 M 2.一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要
2、耗资9 万元；若请乙工程队单独做此项工程需 6 个月完成，每月耗资5 万元。（1） 请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？（2）现要求最迟5 个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。（时间按整月计算）【分析】 （1）甲、乙合作所需时间：111()2.446( 个月 ) 。（2）甲、乙合作2.4 个月所耗资金为：2.4(95)33.6( 万元 ) （ 3）在五个月内完成的最好方案为：乙做5 个月，甲做512(1)643个月，即：甲、乙合作23个月后，乙再单独做133个月。3.两只闹钟指着中午12点钟，一昼夜中第一只钟快8分钟，第二只钟慢4分钟，
3、经过多少时间，它们又同时指着中午12点？【分析】 由 已知：一昼夜快钟比慢钟快12分钟，所以要经过246012120 个昼夜快钟才会比慢钟快24个小时，所以经过120个昼夜，快钟与慢钟会同时指着同一个时刻，但此时不一定是中午12点，还要进一步计算如下：120个昼夜，快钟比正常钟快81206016 小时，所以120 个昼夜后，快慢两钟同时指向1216244 点，再过 120个昼夜，快慢两钟同时指向41620点，再过 120个昼夜，快慢两钟同时指向20162412 点，所以答案为：360个昼夜。真题模考CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
4、第 1 页，共 7 页2 / 7 4.一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5 M处，一列火车以每小时84 千 M的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离。若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头 3M 时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5 M处被火车追上。铁路桥长多少M ，小狗的速度为每小时多少千M ？【分析】 设 铁路桥长为xM （1）在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为2(5)xM ，火车走的路程为(33)x。（2）在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(50.5)2xM ，火车走的路程为(40.5)xM （ 3 ）两 种 情 况 合 起 来看 ：
5、 在 相 同 的 时 间内 ：小 狗 一 共 跑 了 (0.5)xM， 火 车 一 共 走 了(73.5)xM 。又因为(73.5)x是 (0.5)x的 7 倍，所以火车速度是小狗速度的7 倍，所以小狗的速度为：每小时跑84712 千 M （4） 因为火车速度是小狗速度的7倍，所以 (33) 17(5)2xx, 解此方程得：答：铁路桥全长为64 千 M ，小狗的速度为每小时12千 M 。5.小华以每小时83千 M 的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千 M ，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到A点上方 500M 的地方。如果他下山的速度是每小时4千 M ，下山比上山
6、少用了52.5 分钟。那么，他往返共走了多少千M ？【分析】 过A点后的 500M （设为B处），他走了14小时：接着到山顶，又立即下山，并返回B处，共用时43小时，因为上、下山速度为1: 2 ，所以这段上山用了12小时，下山用了14小时，回到A还要18小时，故从A上山到返回A，上山比下山多用38小时。从山下到A，上、下山的速度比为82433，时间比为3: 2，又知时间差为352.560308分，所以上山用了90 分，下山用了 60 分，他下山共用了11111488小时，共走了1148118千 M 。6.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，按预定速度他们将在下午5 时在途中相遇，如果他们
7、每人每小时都比预定速度快1千 M ，则可在下午4时相遇，如果他们每人每小时都比预订速度慢 1.5 千 M ，即要在下午7 时相遇，A、B两地的距离是多少千M ？【分析】 设 早1小时到达的时间为T，每小时少走3千 M的速度为 V ，则可得21(3)TV3(1)VT由得23VT, 将之代入容易得到9T，同理可得，15V，全程为9(155)180或 (93)15180 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 7.这是一道2000 年前我国古代数学名著九章算术中的一道题，请你做一做：客人的马一天能行 300里，客人
8、走时忘了带衣服，走了13天时主人才发现。于是拿了衣服骑自己的马去追，追到后将衣服交给客人，返回家中时，这天已经过了34。问：主人的马一天可以行多少里？【分析】 主 人追到客人，所用的时间是131()243天，这时客人一共走了1131()3243天，客人走过了1131300 ()3243里，这也是主人131()243天走过的路，故主人的马一天可以行1131131300()()7803243243里。8.一条公路由A经B到 C ，已知A、B相距 280 M ，B、 C 相距 315M ，现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、 BC 的中点都要植一棵。那么两树间距离最多有多少M
9、？【分析】 由 于B点及AB、 BC 的中点上都要植一棵树，所以要将140M 和3152M 均分成段儿，使每段长度相等，因2801402，而 280 与 315 的最大公约数为35，所以 140和3152的最大公约数为352即 17.5 ，两树间跑离最多有17.5 M 。9.如图，等边三角形ABC 的边长为 100M，甲自A点，乙自B点同时出发，按顺时针方向沿着三角形的边行进，甲每分钟走60 M ，乙每分钟走 90 M ，在过每个顶点时各人都闪转弯而耽误10 秒钟，那么乙在出发几秒之后追上甲。【分析】=60v甲M/分=1M/秒，=90v乙M/分 =1.5 M/秒，根据题意可知，乙为追上甲，需要
10、多走100M 还要多转一个转弯，但在转弯处还要耽误10 秒钟，此时甲又多走出10 M ，所以甲、乙的距离差为10010=110 M ，乙追上甲时共行了1.5110(1.51)330 M ，可知，乙需拐三次弯，需要30 秒，所以乙追上甲时共需时间110(1.51)30250 ( 秒) 10.已知甲车速度为每小时90 千 M ，乙车速度为每小时60 千 M ，甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途径C 地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B、A两地出发同时返回原来出发地，在途径C 地时甲车比乙车早到一个半小时，那么AB距离是多少千M 。【分析】 某 一个到 C 点时间内，第一次甲走
11、的和第二次甲走的路程和为一个全程还差10901560千 M ，第一次乙走的和第二次乙走的路程的和为一个全程还差90609060千 M ，速度比是3: 2，甲走的路程是3(9015)22532千 M ，全程是 22515240 千 M 。考点拓展乙甲CBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 【例 1】 甲、乙、丙三人赛跑，同时从起点出发后，甲比乙早10分钟到达终点，乙比丙早10 分钟到达终点。已知甲比乙每小时快3千 M ，乙比丙每小时快2千 M 。那么，这次比赛的路程是多少千M? 【分析】 设 丙速度x千 M
12、每小时 , 乙速度 (2)x千 M每小时，甲(5)x千 M每小时；丙跑了时间t小时 ,乙跑了时间1(6t） 小时 , 甲跑了时间1(3t）小时。1(2) ()61(5) ()3x txtx txt化简，整理得：12201550 xtxt，解得：110tx路程：10 x t千 M 。【例 2】 一只船从甲港顺水而下到乙港，马上又从乙港逆水行回甲港，共用了8小时。已知顺水每小时比逆水多行20 千 M ，又知前4小时比后四小时多行60千 M 。那么，甲、乙两港相距千M. 【分析】 试 试用学过的假设法来算这道题。首先假设顺水行了4小时，那顺水就比逆水一共多行了80千 M可实际只多了60 千 M ，
13、806020（千 M ）， 20千 M又等于一小时，就可以说明顺水不足4小时，要少一个小时，顺水只有413（小时）。明白了顺水用的时间，下面的问题就迎刃而解了。既然顺水用了3小时，逆水显然就是835 （小时）。知道了顺水逆水的时间，只是不知道顺水逆水的速度，它们的速度该怎样算呢？多出的千M数除以多出的小时数等于它的速度。便把多出的千M 数 60 除以多出的小时数532 （小时）可知逆水的速度是60230 （千 M ），那么甲、乙两港相距的路程是305150 （千 M ）。【例 3】 甲、乙两人从400 M 的环形跑道点A背向同时出发，8分钟后两人第3次相遇。已知每秒钟甲比乙多行 0.1M ，那
14、么两人第2次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是多少？【分析】 （ 法一）由题意可知乙每分钟比甲多跑6 M 。第三次相遇时两人共跑了34001200 M ，且乙比甲多跑了 48 M ，可知甲共跑了(120048)2576M ，第三次相遇地点与A点沿跑道上的最短距离为： 576400176 M 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 （法二）方程解法：甲每秒多走0.1M ，那么 8分钟多走 0.1(860)48M ，设甲距A点xM ，乙距A点yM ，40048xyxy，解得：223176xy【例 4】 甲、乙两
15、项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要 15天；在雨天，一队的工作效率要下降40% 二队的工作效率要下降10% ，结果两队同时完成这两项工程那么在施工的日子里，雨天有天【分析】 工 作效率：晴甲=112，晴乙 =115，甲比乙多做111121560，雨甲：1401(1)1210020，雨乙：1103(1)1510050。乙比甲多做：3115020100，115601003，雨天和晴天的比例是5:3。 5 个雨天和 3个晴天完成工程的1113512202全部完成需要10 个雨天和 6 个晴天。【例 5】 环形公路上有一公共汽车站，每隔一定时间向两方向发出一
16、辆车，某人在环行公路上行走，每隔 3分钟就有一辆车与他迎面相遇，每隔6 分钟就有一辆车从他背后越过。汽车站每隔几分钟向各方向发一辆车？【分析】 此 题看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇，是相遇问题，人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人6 分所行的路程差恰是两车的距离，再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。解：设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是1v ，汽车的速度为2v ，依题意得1222124()(1)6()(2)vvv xvvv x由，得：12214()6()vvvv12
17、1(3)5vv 将代入，得：12214()5vvv x ，解得：445x说明此题引入1v ，2v两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 【例 6】 猎犬发现在离它10 M 远的前方有一只奔跑的兔子，马上紧追上去。猎犬的步子较大，它跑5 步的路程，兔子要跑9 步，但兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步。猎犬至少跑多少 M才能追上兔子? 【分析】 由 题意 , 猎犬跑的路程 : 兔子跑的路程(92): (53)6 :5设猎犬跑xM追上
18、兔子 , 兔子跑了 (10)xM 则有:(10)6:5xx解得60 x故猎犬至少跑60M才能追上兔子. 这是一道涉及追及问题的行程问题，在追及问题中，常规的解题思路是：路程差速度差=追及时间。但本题中的速度差比较隐蔽。这时，运用比例可使问题迎刃而解。由“跑5 步的路程，兔子要跑 9步”可知：猎犬步长: 兔子步长9:5 ；由“猎犬跑2步的时间，兔子跑3步”可知：猎犬路程 : 兔子路程(92):(53)6:5，所以猎犬追及的路程是10(65)660 （M ）1.甲村、乙村相距6 千 M ，小张与小王分别从甲村、乙村同时出发，在两村之间往返行走( 到达另一村后就马上返回) 。在出发后40 分钟两人第
19、一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千M的地方两人第二次相遇。问小张和小王的速度各是多少? 【答案】 第 一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍 ，因此所需时间是 ： 403602 （ 小时）. 从出 发至第二次相遇，小张已走了 ：62210 （千 M ）. 小王已走了628（千 M ）. 因此，他们的速度分别是小张： 1025（千 M/小时），小王： 824 （千 M/小时） . 2.每天都有汽车从公司出发来到总工程师家接他到公司上班，有一天，总工程师提前35 分钟从家里出发，步行迎着车前进，途中遇到汽车后，立刻上车，结果比通常提前10 分钟
20、到达公司，如果汽车和步行的速度都不变，那么汽车的速度是步行速度的_倍。【答案】 汽 车共少走了10 分钟的路程, 那就是：工程师30 分钟走的路程, 相当于汽车5 分钟的路程. 假设：工程师没有提前35分钟从家里出发 , 汽车应该再多走10分钟 , 就是 5 分钟的直线路程. 可是少走了5 分钟 , 就是工程师和汽车相遇市时提前了5 分钟 , 那时工程师走了30 分钟 . 汽车需要5分钟 , 所以 3056倍. 3.一项机械加工作业，用4台A型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床 3天可以完成；用3台B型机床和9 台 C 型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5 天后，剩下A
21、、 C 型机床继续工作，还需要_天可以完成作业。【答案】 设A型机床每天能完成x，B型机床每天完成y， C 型机床每天完成z ，则根据题目条件有以下等式：课后练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 2013(42 )12(39 )1xxyyz解得：120115130 xyz若 3种机床各取一台工作5 天后完成11133()2015304，剩下A、 C 型机床继续工作，还需要111()342030天。4.某一工程，甲单独做50 天可以完成，已单独做75 天可以完成。现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，从开工后40天把这个工程做完，则乙途中离开了几天？【答案】 乙 途中离开，但是甲从始至终工作了40 天，完成的工程量为整个工程的1440505，那么剩下的15由乙完成，乙需要1115575天完成，所以乙离开了401525天。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页