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1、2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指数函数 f(x)=ax (a0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数 f(x)=logax (a0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx余切函数 f(x)=cotx一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y = f（x）的定义域是2，2，则函数y = f（x+1）+f（x1）
2、的定义域为 。 解：f(x)的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在 中。评析：已知f(x)的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。例2：已知函数的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。评析： 已知函数的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数的值域。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)
3、2且f(1)0,则f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=, R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5
4、,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1，即g(x+5)g(x), g(x+1)g(x). 所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f
5、(4)=2 ，则 （ ）2. 。2000 .( ,原式=16)3、对任意整数函数满足：，若，则 CA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（ ）（B） A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（ ）（A）A） B） C）8 D）16 三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0
6、，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)0矛盾,所以f(x)0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0u2),则f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故f(x)=-x2+3x
7、+1 (0u2)例6、设对满足x0,x1的所有实数x，函数f(x)满足, ,求f(x)的解析式。解:- （2）-（3）例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(
8、2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2x (xN*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，则时，函数的解析式为（ D ） A B C D 解：易知T=2，当时,;当时,.故选D。练习：1、 解:，2.（重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)
9、的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， （1）求的值； （2）对任意的，都有f(x1)+20时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2, 则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：设R上x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x
10、1)的正负还没确定) 。取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f（0）=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增函数。（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）例11、已知偶函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式解： （1）设，则 ，即， 在上是增函数 （2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，0，解得：练习：已知函数f(x)的定义域为R，且
11、对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设x1x2,则x2x1,由题意f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f()1=f(x2x1)0,f(x)是单调递增函数.例12、定义在R+上的函数f(x)满足: 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取
12、值范围.解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)，故f(x1)f(x2),即f(x)是R+上的增函数。(3)由f(x)+f(x-3)2及f(x)的性质,得fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得 30可得f(a)f(b).）练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,f(x)f(x2),故f(x)在R+上为减函数.练习6、. 已知函数的定义域为，且同时满足：(1)
13、对任意，总有；(2)，(3)若且，则有. (I)求的值；(II)求的最大值； (III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则，由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故即原式成立。 六、奇偶性问题例13. （1）已知函数f(x)(x0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(
14、x)为偶函数。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1B.x=2C.x=D.x=解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于x=1对称。 例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 证明：设t=x-y,则，所以f(x)为奇函数。例15：设是定义在上的偶函数，且在上是增函数
15、，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(
16、0)，即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意xR恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由
17、k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需kun (nN*).解:(1)、令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0。(2)、令a=b=-1,得f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明:un=f(2n)0 (nN*)(略)2. 定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-
18、3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件；解:（2）设任意x1，x2R且x1x2，则x2-x10，f（x2-x1）0,而f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）-f（x1）0；f(x1)f(x2),即f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3).要使f(x)6恒成立，当且仅当 f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）
19、- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a），由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax2-a2x）fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax2-a2xn（x-a）.即（x-a）（ax-n）0，a0，（x-a）（x-）0，讨论：（1）当a0，即a-时，原不等式解集为x | x或xa；（2）当a=0即a=-时，原不等式的解集为；（3）当a0时，即-a0时，原不等式的解集为x | xa或x3、已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1,若a,b1,1,a+b0时，有0.(1)判断函数f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x+)f();(
20、3)若f(x)m22pm+1对所有x1,1,p1,1(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）设任意x1,x21,1,且x1x2.由于f(x)是定义在1，1上的奇函数，f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1).因为x10，f(x2)+f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在1，1上是增函数。（2）由不等式f(x+)f()得,解得1x 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ） A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个解：f (0) = 0x1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0
21、) = 0 x2 = T，x3 = 2T.又因为 令x = 0得,=0.(本题C 易错选为A)例20 f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调。求a的值。解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 又 f(x)= f(2-x) f(x)关于x=1对称 T=8 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a =6 设y=f(x)是定义在-1,1上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=
22、g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x 2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a为常数且a R) （1）求f(x);（2）是否存在a 2,6或a (6,+),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x)为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x).y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称.点N(2-x,f(x)在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x
23、 -1,0，则2-x 2,3.此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又f(x)为偶函数f(-x)=f(x),x -1,1.当x 0,1时，f(x)=2ax-4 x3 （2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在0,1上的最大值.()当a (2,6时，由0 x 1得a-2x20，f(x)=2x(a-2 x2)= =（当且仅当4 =a2 ,即x= 0,1时等号成立）.由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得 =486 ,a6,这与a (2,6矛盾,故此时满足条件的a不存在.()当a=2且0x1时,f(x)=4x(1 )同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号成立
24、),也与已知矛盾.()当a6时,设0 ,则f( )-f( )=2a(- )-4(- )=2( - )a-2(+ + )，由题设0 + + 6，a-2( + + )0，又 - 0f( )-f( )0即f( )0)在区间上有四个不同的根,则-8八、综合问题例21. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例22.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时,f(x)1,且对任意x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2解:(1)先
25、证f(x)0,且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0时f(x)1,所以f(0)=1.f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故f(x)0,任取x1,x2R且x10,f(x2-x1)1,所以f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以xR时,f(x)为增函数. 解得:x|1x0.求证:()f(x)是奇函数； （）解:(1)易证f(x)是奇函数。（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.函数综合1.奇函数在关于原点对称的区间内
26、单调性一致（在整个定义域内未必单调），推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。举例1设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2) 的大小关系是A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)f(b+2) C.f(a+1)f(b+2)D.不确定解析：函数f(x)=loga|x-b|为偶函数，则b=0，f(x)=loga|x|,令g(x)=|x|,函数g(x
27、)（图象为“V”字形）在（-，0）递减，而函数f(x)=logag(x) 在（-，0）上递增,0a1，1a+1f(b+2),故选B。举例2 设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是 解析：此题不宜将msin及1-m代入函数的表达式，得到一个“庞大”的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：，又函数f(x)递增，msinm-1对恒成立，分离参变量m（这是求参变量取值范围的通法）得：m,（01- sin1,事实上当sin=1时不等式恒成立，即对m没有限制，所以无需研究）,记g()=,则mg()min，又01- sin1，g()min=1（当且仅当=0
28、时等号成立），m0提高定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=,且f(x)在-3，-2上是减函数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是: A.f(sin)f(cos) B. f(sin)f(cos) C.f(sin)f(sin) D. f(cos)-1（这是使用“判别式法”时需特别注意的）。记x+1=t,(t0),此时x=t-1,设g(t)=(当且仅当t=1即x=0时等号成立，（注意这里的“换元”实质是“整体化”的具体落实，将需要“整体化”的部分换成一个变量，比“凑”更具一般性也更易实施），选C。举例2已知+，则的最小值为 解析：本题关注的取值范围，对使用基本不等式，当且仅当=1时等号成立，事实上：，等号不成立，即不能使用基本不等式。记=（0）, =+=g(),函数g()在（0，上递减，g()mi