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1、第一节 数列极限主要内容： 数列及数列极限的概念第一天剩的长度为：第一天剩的长度为：12截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.第二天剩的长度为：第二天剩的长度为：212截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.第三天剩的长度为：第三天剩的长度为：312截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.第四天剩的长度为：第四天剩的长度为：412截丈问题：截丈问题：一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭.这样可以看出第这样可以看出第n天剩的长度为：天剩的长度为：一尺之棰，日取一
2、尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭. .12n1 1 11,2 4 82n于是得到了数列于是得到了数列: :当当n 越来越大时越来越大时,棰越来越短棰越来越短,逐渐趋于逐渐趋于0.再看一下整个过程再看一下整个过程.1( 1)nna 举例举例: :11,1,1,1,( 1),n 这个数列的通项是这个数列的通项是: :0112nx21nx x12nna 4121xnx2x112nx0 x3 81111,242n这个数列的通项是这个数列的通项是: : 数列极限的定义(定性描述): 若该数列不以任何常数为极限，则称若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列这个数列发散发散. .也称该数列也称该数列
3、收敛收敛.lim()nnnnnaaaaaaa n 如如果果当当 无无限限增增大大时时，数数列列的的通通项项无无限限趋趋近近于于常常数数 ，则则称称数数列列以以 为为极极限限，记记作作，或或 这个定义是在运动观点的基础上凭借几这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像何图像,直觉用自然语言作出的直觉用自然语言作出的定性描述定性描述.因为当因为当n 时，时， 趋趋近于常数近于常数 0 .12n1(2)0;2n的的极极限限是是1(1)( 1);n 的的极极限限不不存存在在因为当因为当n 时，时， 反复地取反复地取 1和和1，没有明显没有明显 的变化趋势的变化趋势,是发散的是发散的.) 1(1 n021
4、lim nn0112na21na x4121ana2a112nx0a3 81注：注： 中各项均为相同的数（常数中各项均为相同的数（常数) 1,我们我们 把这样的数列称作常数列把这样的数列称作常数列.因为不论因为不论 n 取取 何值，每项都是何值，每项都是1，因此该数列的极限是，因此该数列的极限是 1. 2, 4, 6, , 2n, 2nan 1, 1, ,1, 1,1na 这个数列的通项是这个数列的通项是:这个数列的通项是这个数列的通项是:数列有以下几种变化趋势数列有以下几种变化趋势: :数列的变化数列的变化趋势趋势有有一一定定的的变变化化趋趋势势无无一一定定的的变变化化趋趋势势无无限限增增大
5、大无无限限减减少少a无无限限接接近近常常数数收收敛敛不不定定向向发发散散定定向向发发散散111,242n2, 4, 6, 8, 2,n11,1,1,1,( 1),n 下面我们直观地看一下极限的定义2a1aalimnnaa nnnaaaa 越越大大，越越小小nnaaaa 不不等等式式刻刻画画了了与与 的的无无限限接接近近. . 在数学中一定要力避几何直观可能带来的错在数学中一定要力避几何直观可能带来的错误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念，必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式化的数学语言表达的，超现实原型的
6、理想化的化的数学语言表达的，超现实原型的理想化的定量描述定量描述.3a4a5a.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn 当当 n 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确是否无限接近于某一确定的数值定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nx 1( 1),1. 1nnnan 当当无无限限增增大大时时无无限限接接近近于于 “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻画如何用数学语言刻画它它.1na nnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n11,100na 有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n110
7、 01,0na 有有1,10 010 0na 有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n10,(),nN 给给定定只只要要时时1.na 就就有有成成立立如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数( (不论它多么不论它多么小小) )，总存在着相应正整数，总存在着相应正整数N，使得满足，使得满足nN的的一切一切n，a以以 为为极极限限，naa或或者者称称数数列列收收敛敛于于 ，记记为为,().limnnnaaaan 或或 nnaaa 不不等等式式恒恒成成立立，则则称称数数列列 ,(,),().nnN
8、aaaN 当当时时 所所有有的的点点都都落落在在内内 只只有有有有限限个个 至至多多只只有有个个 落落在在其其外外( , )naU aa 由由不不等等式式联联想想到到，如如图图：x2a1a1Na 3aaNa 1 定定义义中中的的常常数数 具具有有二二重重性性：具具有有很很小小正正数数的的固固定定性性；具具有有随随意意小小的的注注：）任任意意性性. .2( ).NNN 是是首首先先给给定定的的，是是由由 确确定定的的，常常记记作作）1( 1)1lim1.nnnn 例例 证证明明1na 证证明明 1( 1)11nnnn 0,1,na 任任给给要要1,n 只只要要11,nN 或或取取,时时则则当当N
9、n 1( 1)1,nnn 就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注：注：limnna 该数列有一定的发展趋势该数列有一定的发展趋势趋向于无穷趋向于无穷大，并不收敛，所以大，并不收敛，所以 2n 无极限无极限.为叙述为叙述方便，可以说方便，可以说 2n 的极限是的极限是+.lim22()nnnn 或或表表示示成成， 因为因为n 时，时，2n 逐渐变得无穷大，并不逐渐变得无穷大，并不趋近于趋近于 某个常数某个常数.但由于但由于2n 的变化趋势是逐的变化趋势是逐渐增大的，渐增大的， 所以又可认为该数列趋于无穷大所以又可认为该数列趋于无穷大.即即2 )(3(;)n 的的极极限限不不存存在在 趋趋于于