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1、2.4.1 抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线抛物线的生活实例抛物线的生活实例 我们知道我们知道, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题等问题. .那么，抛物线是怎么定义的，方程是什么那么，抛物线是怎么定义的，方程是什么呢？呢？探究点探究点1 1 抛物线的定义抛物线的定义MHFElm思考：思考：如图，点如图，点F F是定点，是定点，l是不经过点是不经过点F F的定直线的定直线.H.H是是l上任意一点，经过点上
2、任意一点，经过点H H作作MHMHl，线段，线段FHFH的垂直平的垂直平分线分线m m交交MHMH于点于点M.M.拖动点拖动点H H，观察点，观察点M M的轨迹的轨迹. .你能发你能发现点现点M M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？m m抛物线的定义抛物线的定义: : 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F) 距离相等距离相等的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做抛抛物线物线.CMFlH焦点焦点d准线准线点点F叫做叫做抛物线的焦点抛物线的焦点,直线直线l 叫做叫做抛物线的准线抛物线的准线.明确了抛物线的定义，你能根据定义求出抛物线的明确了抛物线的定义，
3、你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？标准方程吗？一条经过点一条经过点F且且垂直于垂直于l 的直线的直线想一想：想一想：定义中当直线定义中当直线l 经过定经过定点点F F，则点，则点M M的轨迹是什么的轨迹是什么?lF 化化 简简列列 式式设设 点点建建 系系以过点以过点F F且垂直于直线且垂直于直线 l 的直线为的直线为x x轴轴, ,垂足为垂足为K.K.以以FKFK的中点的中点O O为坐标原点建为坐标原点建立直角坐标系立直角坐标系x xO Oy y.xKyOFMl（x, ,y）设设M M（x x，y y）是抛物线上任意一点，）是抛物线上任意一点，H点点M M到到l的距离为的距离为d dd由抛
4、物线的定义，抛物线就是点的集合由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点探究点2 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程（p p0 0），），两边平方两边平方, ,整理得整理得xKyOFMl（x, y）Hd其中其中p p为正常数，它的几何为正常数，它的几何意义是意义是: : 焦点到准线的距离焦点到准线的距离方程方程 y y2 2 = 2 = 2pxpx（p p0 0）表示焦点在）表示焦点在x x轴正轴正半轴上的抛物线半轴上的抛物线 若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？上述办法求出它的标准方程吗？FMlNyxFMlNHF
5、MlNOFMlNxHyO准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y y2 2=2px(p0)=2px(p0) y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0) x x2 2=2py (p0)=2py (p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)F(-. . . . .（1 1）若一次项的变量为）若一次项的变量为X X（或（或Y Y），则焦点就在），则焦点就在X X轴轴（或（或Y
6、Y轴）上；轴）上； 如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2 2）一次项的系数的正负决定了开口方向）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！ 【总结提升总结提升】【即时小测即时小测】1.1.抛物线抛物线y y2 2=20 x=20 x的焦点坐标是的焦点坐标是( () )A.(10,0)A.(10,0)B.(5,0)B.(5,0)C.(0,10)C.(0,10)D.(0,5)D.(0,5)【解析解析】选选B.B.因为因为2p=20,2p=20,所以所以p=10,p=10,故故 =
7、5,=5,且焦点在且焦点在x x轴正半轴上轴正半轴上. .p22.2.抛物线抛物线y y2 2=ax(a0)=ax(a0)的焦点到其准线的距离是的焦点到其准线的距离是( () )【解析解析】选选B.B.由已知焦点到准线的距离为由已知焦点到准线的距离为p= p= aaaA. B. C.a D.422a.23.3.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2的准线方程为的准线方程为. .【解析解析】化方程为标准方程形式为化方程为标准方程形式为x x2 2= y,= y,故故 , ,开开口向上口向上, ,所以准线方程为所以准线方程为y=- .y=- .答案答案: :y=-y=- 12p12818184.4.抛
8、物线抛物线y=axy=ax2 2的准线方程是的准线方程是y=2,y=2,则则a a的值为的值为. .【解析解析】将将y=axy=ax2 2化为标准方程形式得化为标准方程形式得x x2 2= y,= y,即即 =2,p=4,- =2p=8,=2,p=4,- =2p=8,所以所以a=- .a=- .答案答案: :- - 1ap21a1818【知识探究知识探究】探究点探究点抛物线的定义与标准方程抛物线的定义与标准方程1.1.在抛物线定义中在抛物线定义中, ,若去掉条件若去掉条件“l不经过点不经过点F”,F”,点的点的轨迹还是抛物线吗轨迹还是抛物线吗? ?提示提示: :不一定是抛物线不一定是抛物线.
9、.当直线当直线l经过点经过点F F时时, ,点的轨迹是点的轨迹是过定点过定点F F且垂直于且垂直于定直线定直线l的一条直线的一条直线; ;l不经过点不经过点F F时时, ,点点的轨迹是抛物线的轨迹是抛物线. . 2.2.抛物线的标准方程中抛物线的标准方程中p p的几何意义是什么的几何意义是什么? ?提示提示: :p p的几何意义是焦点到准线的距离的几何意义是焦点到准线的距离. .3.3.确定抛物线的标准方程时确定抛物线的标准方程时, ,一般需要确定几个量一般需要确定几个量? ?提示提示: :确定两个量确定两个量, ,一个是一个是p,p,另一个是一次项系数的正另一个是一次项系数的正负负. .【归
10、纳总结归纳总结】1.1.对抛物线定义的两点说明对抛物线定义的两点说明(1)(1)定直线定直线l不经过定点不经过定点F.F.(2)(2)定义中包含三个定值定义中包含三个定值, ,分别为一个定点分别为一个定点, ,一条定直线一条定直线及一个确定的比值及一个确定的比值. .2.2.抛物线标准方程的特点抛物线标准方程的特点(1)(1)是关于是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程. .(2)p(2)p的几何意义是焦点到准线的距离的几何意义是焦点到准线的距离. .3.3.四种位置的抛物线的标准方程的对比四种位置的抛物线的标准方程的对比(1)(1)共同点共同点: :原点在抛物线上原点在抛物线上; ;
11、焦点在坐标轴上焦点在坐标轴上; ;焦点的非零坐标都是一次项系数的焦点的非零坐标都是一次项系数的 . .14(2)(2)不同点不同点: :焦点在焦点在x x轴上时轴上时, ,方程的右端为方程的右端为2px,2px,左端为左端为y y2 2; ;焦点焦点在在y y轴上时轴上时, ,方程的右端为方程的右端为2py,2py,左端为左端为x x2 2. .开口方向与开口方向与x x轴轴( (或或y y轴轴) )的正半轴相同的正半轴相同, ,焦点在焦点在x x轴轴( (或或y y轴轴) )正半轴上正半轴上, ,方程右端取正号方程右端取正号; ;开口方向与开口方向与x x轴轴( (或或y y轴轴) )的负半
12、轴相同的负半轴相同, ,焦点在焦点在x x轴轴( (或或y y轴轴) )负半轴上负半轴上, ,方程右端方程右端取负号取负号. .特别提醒特别提醒: :1.1.平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线轨迹不一定是抛物线. .2.2.注意每种情况下的焦点与准线方程的对应关系注意每种情况下的焦点与准线方程的对应关系. .【例例1 1】(1)(1)已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y y2 2= =6 6x x, ,求它的焦求它的焦点坐标和准线方程点坐标和准线方程 (2)(2)已知抛物线的焦点是已知抛物线的焦点是F(0,-2)
13、F(0,-2)，求它的标准方程，求它的标准方程. .解解: :(1)(1)因为因为，故抛物线的焦点坐标为，故抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为准线方程为(2)(2)因为抛物线的焦点在因为抛物线的焦点在y y轴的负半轴上轴的负半轴上, ,且且故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为x x2 2=-8=-8y.y.p2,p4,21.1.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程. .(1)(1)焦点是（焦点是（0 0，-3-3）；）；(2)(2)准线是准线是 . .2.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程求下列抛物线的焦点坐标与准线方程. .(1)y=8x(1)y=8x
14、2 2；(2)x(2)x2 2+8y=0.+8y=0.x x2 2=-12y=-12yy y2 2=2x=2x焦点焦点 ，准线，准线1(0,)32132 y焦点焦点 ，准线，准线(0, 2)2y【总结提升总结提升】(1)(1)用用待定系数法待定系数法求抛物线标准方程求抛物线标准方程, ,应应先确定抛物线的形式先确定抛物线的形式，再求再求p p值值. .(2)(2)求抛物线的求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程抛物线的标准方程. .【变式练习变式练习】【例例2 2】一种卫星接收天线的轴截面如图一种卫星接收天线的轴截面如图(1)(1)所示所示. .卫卫星波
15、束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处线，经反射聚集到焦点处. .已知接收天线的口径已知接收天线的口径( (直径直径) )为为4.8m,4.8m,深度为深度为0.5m0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标的标准方程和焦点坐标. ., ,即即p=5.76.p=5.76.解：解：如图如图(2)(2)，在接收天线的轴截面所，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.
16、设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 , ,焦焦点坐标是（点坐标是（2.882.88，0 0）. . 由已知条件可得，点由已知条件可得，点A A的坐标是的坐标是（0.50.5，2.42.4），代入方程得），代入方程得xyOAB(2)(2). .F F【变式练习变式练习】点点M M与点与点F F（4,04,0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l l：x+5=0 x+5=0的距离小的距离小1 1，则点则点M M的轨迹方程为的轨迹方程为 . .O OF Fl l-5-5-4-4x xy yM M2y16x【解题关键解题关键】：看出看出M
17、 M点与点与F F的距离与它到的距离与它到直线：直线：x+4=0 x+4=0的距离相等，的距离相等，然后根据抛物线的定义求然后根据抛物线的定义求出出P P，写出方程即可，写出方程即可. .4 4C C2 2设抛物线设抛物线y y2 28x8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4 4，则，则点点P P到该抛物线焦点的距离是（到该抛物线焦点的距离是（ ）A.12 B.4 C.6 D.8A.12 B.4 C.6 D.8C C3 3已知动圆已知动圆M M经过点经过点A(3A(3，0)0)，且与直线且与直线l：x x3 3相切，相切，求动圆圆心求动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程解析：解析
18、：设动点设动点M(xM(x，y)y)，设圆，设圆M M与直线与直线l：x x3 3的的切点为切点为N N，则，则|MA|MA|MN|MN|，即动点，即动点M M到定点到定点A A和定直线和定直线l：x x3 3的距离相等，所以点的距离相等，所以点M M的轨迹是抛物线，的轨迹是抛物线，且以且以A(3A(3，0)0)为焦点，以直线为焦点，以直线l：x x3 3为准线，为准线，所以所以 3 3，所以，所以p p6.6.所以圆心所以圆心M M的轨迹方程是的轨迹方程是y y2 212x.12x.抛抛物物线线定义定义标准方程标准方程求标准方程求标准方程求焦点坐标求焦点坐标求准线方程求准线方程待定系数法待定系数法将方程化为将方程化为标准方程标准方程