《2022年线性代数知识点集锦 .pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年线性代数知识点集锦 .pdf(5页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载课时授课计划课次序号: 8 一、课 题:矩阵的初等变换与初等矩阵二、课 型:课堂讲授三、目的要求:熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形;知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵,了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。四、重点、难点:矩阵初等变换的方法;用初等变换求逆矩阵的方法。五、教学方法及手段:采用课堂讲授的方法,并以多媒体课件辅助。六、参考资料:线性代数学习辅导与习题选解,同济大学应用数学系编,高等教育出版社线性代数学习与考试指导,赵树源编,中国人民大学出版社工程数学例题与习题,工程数学课程教学指导委员会本科组编,高等教育出版社七、作业:
2、 P791(1)(3),4 八、授课记录:九、授课效果分析:授课日期班次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载十、教学进程(教学内容、教学环节及时间分配等)1、复习回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组, 求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换,先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。在用消元法解线性方程组的时候,用到三种变换,即:交换方程的次序;以不等于零的数乘某个方程;一个方程加上另一个
3、方程的k 倍。由于这三种变换都是可逆的,所以变换前后的方程组是同解的。在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数和常数进行运算,未知数并没有参与运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里,构成方程组的增广矩阵,即,BAb ,那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换。 3 、教学内容定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调, i j 两行,记作ijrr)(2)以数0k乘某一行中的所有元素(第i 行乘 k,记作irk)(3)把某一行中所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第j 行的倍加到
4、第 i 行上,记作ijrkr)把定义中的行换成列, 即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。显然,三种初等变换都是可逆的,而且其逆变换是同一类型的初等变换。如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵B ,就称矩阵 A和 B是等价的, 记作 AB。矩阵之间的等价关系具有下列性质:(1)反身性AA;(2)对称性若,AB 则 BA;(3)传递性若,AB BC 则 AC 。定义:矩阵 A称为行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B 称为行最简形矩
5、阵,其特点是:非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再进行初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵,称为标准型rm nEOFOO。例 1:设021302 ,230A把(,)A E化成行最简形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载021100(,)302010230001302010302010021100021100094023001946A E解:30018912100634020846010423001946001946上式最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简
6、形。矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算,它有着广泛的应用。 下面我们进一步介绍一些有关知识。定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。 1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第, i j 两行(列)对调,得初等矩阵11011( , )11011E i j用m阶初等矩阵( , )mEi j左乘矩阵(),ijm nAa得11121121212( , )njjjnmiiinmmmnaaaaaaEi j Aaaaaaa其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第 i 行与第 j 行对调。类似的,以n阶初等矩阵( , )nEi j右乘矩阵 A
7、,其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换。 2.以数0k乘某行或某列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载以数0k乘单位阵的第 i 行(或第列)11( ( )11E i kk第 i 行可以验知: 以( ( )mEi k左乘矩阵 A,其结果相当于以数 k 乘 A的第 i 行;以( ( )nEi k右乘矩阵 A,其结果相当于以数k 乘 A的第 j 列。 3.以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E的第 i 列加到第 j 列上,得初等矩阵11( (
8、 )11kE ij k可以验知:以( ( )mEij k左乘矩阵 A ,其结果相当于把A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上,以( ( )nEij k右乘矩阵 A,其结果相当于把A的第 i 列乘加到第 j 列上。综上所述,可得下述定理。定理 1 设 A是一个mn矩阵,对 A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。因为初等变换是可逆的,所以其对应的初等矩阵也是可逆的,并且1111( , )( , ),( ( )( ( ),( ( )( ()kE i jE i jE i kE iE ij kE ijk定理 2 方阵
9、 A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵12,lP PP,使12.lAPPP(证明略)推论 1 方阵A可逆的充要条件是AE。推论 2 mn矩阵 A与 B 等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵 P 及n阶可逆矩阵Q,使PAQB. 设有n阶矩阵 A及ns矩阵 B,求矩阵 X 使 AXB 。如果 A可逆,则1XA B 。而当 A可逆时,根据定理 2,有初等矩阵12,lP PP,使12lAPPP,从而1111lAPP。于是1111111,llPP AEPP BA B上式表明 A经一系列初等行变换化为E , B 经同一系列初等行变换化成1A B ,即1111( ,)(,)lPPA BE AB精选学习资料 -
10、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载例 2:求解矩阵方程,AXAX 其中220213010A解:把所给方程变形为()AE XA120220(,)203213011010AE A120220120220011010011010043233001213100226010203001213可见,AEE 因此 AE 可逆,且1226()203213XAEA. 4、课堂总结矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算,在后面几章中都需要用到这种运算。5、布置作业 P791(1)(3),4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页