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1、学习必备欢迎下载线性代数的主要知识点第一部分行列式概念：1 n 阶行列式展开式的特点：共有n!项，正负各半；每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列；每一项的符号为（列）行）()1(2 元素的余子式以及代数余子式ijjiijM) 1(A3 行列式的性质计算方法：1 对角线法则2 行列式的按行（列）展开(另有异乘变零定理) 第二部分矩阵1 矩阵的乘积注意：不满足交换率（一般情况下BAAB）不满足消去率（由 AB=AC 不能得出B=C）由 AB=0 不能得出A=0 或 B=0 若 AB=BA ，则称 A 与 B是可换矩阵2矩阵的转置满足的法则：TTTBA)BA(，TTTTTABABkAkA)(,)
2、(3矩阵的多项式设nnxaxaax10)(，A为 n 阶方阵，则nnAaAaEaA10)(称为 A 的 n 次多项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果1PPA，则nnAaAaEaA10)(11110PPaPPaEPPann= 1)(PP（2）若),(21naaadiag，则)(),(),()(21naaadiag4逆矩阵：n阶矩阵 A,B，若EBAAB，则 A,B 互为逆矩阵。n 阶矩阵 A 可逆0A；nAr)(（或表示为nAR)(）即 A 为满秩矩阵；A 与 E 等价；A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积；A 的列（行）向量组线性无关；名师归纳总结 精品学习资料 - - - -
3、- - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A 的所有的特征值均不等于零求法：伴随矩阵法：*11AAA初等变换法：1,AEEA初等行变换或1AEEA初等列变换，E 是单位矩阵性质： （1）矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的（2）设A是n阶矩阵，则有下列结论若A可逆，则1A也可逆，且AA11)(若A可逆，则TA也可逆，且TTAA)()(11若A可逆，数0k，则kA可逆，且111)(AkkA若BA.为同阶矩阵且均可逆，则BA.也可逆，且11
4、1)(ABAB5方阵 A 的行列式：满足下述运算规律（设BA,为n阶方阵，为数）AATAAnBAAB6伴随矩阵：行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下的矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*，称为矩阵A的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质：EAAAAA*常见的公式有：1*nAA1*AAAAAA1)(1*1*)(A*1)(A等7初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：（1）),(jiE（互换 E 的第i、j列）（2）)( kiE（E 的第i行乘以不为零的数k）（3）)(kijE（把
5、 E的j行的k倍加到第i行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且),(),(1jiEjiE、)()(11kiEkiE、)(,)(1kjiEkijE；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载初等矩阵的行列式分别是-1，k, 1。8矩阵的初等变换：初等行变换:下面三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行；记为jirr对换第ji与行以数
6、0k乘某一行中的所有元素；记为kri第i行乘k把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去；记为jikrr第j行k倍加到第i行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个nm矩阵，则对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵9矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵 A与矩阵 B等价。且若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵 A 与B行等价；若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。
7、设BA,为nm矩阵A与B行等价m阶可逆矩阵P，使得BPAA与B列等价n阶可逆矩阵Q，使得BAQBA,等价m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得BPAQ利用矩阵的初等变换解矩阵方程BAX，BAX1，可以：)(BA初 等 行 变 换)(1BAEBXA，1BAX，可以：)(TTBA初 等 行 变 换)(TXE，从而解出X。10矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为）（或AR)A( r求法： A初等行变换行阶梯形矩阵B，）（AR=B 的非零行的行数。相关公式：若A 是nm矩阵，则,min)(0mnAR)()(ARARTBA )(AR=)(BR若设A为nm矩阵，nmQP,均为可逆矩阵，则)(Ar)(PAQr，
8、则)()(),()(),(maxBRARBARBRAR若BA,均为nm矩阵，则)()()(BRARBAR名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载)(),(min()(BRARABR若OBAtnnm，则nBRAR)()(11分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设.A为n阶方程，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即sAAAA21.其行列式与
9、逆矩阵具有下述性质：siAAAA2若),2, 1( , 0siAi，则0A，故A可逆，并有 :112111.sAAAA设A是m阶方阵 , B是n阶方阵 , 且bBaA, 则abOBAOmn1另有： （2）设有分块矩阵BOCAH，其中BA,分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵H可逆且11111BOCBAAH（3）设有分块矩阵BCOAH，其中BA,分别为m阶、n阶可逆矩阵，则矩阵H可逆且11111BCABOAH第三部分向量组1 线性组合：给定向量组A：m,21，对于任意一组实数，称向量mmkkk2211为向量组的一个线性组合，mkkk,21称为该线性组合的系数。给定向量组A：m,21和向量，如果存在一
10、组数m,21，使得=mm2211则向量是向量组 A的线性组合，也称向量可以由向量组A线性表示向量能由向量组A线性表示方程组mmxxx2211有解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载矩阵 A=（m,21）的秩等于矩阵B=(m,21，)的秩2等价：设有两个向量组A ：m,21及 B：s,21，若 B 中的每个向量都可以由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组 A
11、与向量组 B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（m,21）（s,21）主要结论：（1）矩阵 A 与 B 若行等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价；若矩阵 A 与 B 若列等价，则A 的列向量组与B 的列向量组等价（2） 向量组 B：lbbb,21能由向量组A:maaa,21线性表示存在矩阵 K， 使得 B=AK方程 AX=B 有解),()(BARAR（3）向量组A: maaa,21与向量组B：lbbb,21等价),()()(BARBRAR，其中， A,B 是向量组构成的矩阵（4）向量组B：lbbb,21能由向量组A:maaa,21线性表示，则R(lbbb,21)R(maaa,2
12、1) 3线性相关与线性无关对向量组A：m,21，如果存在不全为零的一组数mkkk,21，使得：02211mmkkk则称向量组A是线性相关 的，否则称为 线性无关 ，也就是说当且仅当mkkk,21都是零时才能使 （） 式成立， 则m,21线性无关。主要结论：（1）向量组m,21线性相关齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵A=（m,21）的秩小于m；同样线性无关仅有零解mAR)(（2） n 个 n 维向量naaa112111,，),(222212naaa),(21nnnnnaaa线性相关行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa，线性无关行列式0（3）m个 n 维向量，当维数m
13、n时，向量组一定线性相关。特别地，1n个n维向量必线性相关；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（4） 若向量组 A：m,21线性相关向量组 B: 121,mm一定线性相关；反之，向量组B若线性无关向量组 A线性无关或叙述为：整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；（5）若向量组A：m,21线性无关，而向量组B: m,21,线性相关必能由向量组A线性表示，且表达式唯一
14、（6）若r维向量组m,21线性无关，则在每一个向量上再添加rn个分量所得到的n维向量组11211,m也是线性无关的（7）向量组 A：m,21线性相关其中至少有一个向量是其余1m个向量的线性组合；线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示。（8）如果向量组A：s,21可由向量组B: t,21线性表示，并且ts向量组 A：s,21线性相关；（逆否命题 : A ：s,21线性无关且可由向量组Bt,21线性表示ts）4最大（极大）线性无关组：设有向量组A，如果在A 中能选出r个向量r,21，满足（ 1）向量组0A：r,21线性无关；（2）向量组A中任意1r个向量（如果A中有1r个向量的话）都是线性相关
15、的那么称r,21是向量组A的一个最大（极大）线性无关部分组条件（ 2）也可以改为：向量组A中任意一个向量都可以由r,21线性表示，结论 : 一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个一个向量组的极大无关组不是唯一的向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的若向量组s,21线性无关，其极大无关组就是其本身任一向量组和它的极大无关组等价向量组s,21中任意两个极大无关组等价5向量组的秩：向量组s,21中极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩。记为：r（s,21）主要结论：（ 1）如果向量组s,21与向量组t,21等价，则它们的秩相等名师归纳总结 精品学习资料 - -
16、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）如果向量组s,21可由向量组t,21线性表示，且rrs),(21，prt),(21，则pr（3）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩6向量空间：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称V为向量空间。（1）设,是两个已知的n维向量，则集合RxV,是一个向量空间。称为由向量,所生成的向量空间。（ 2）向量空间的基-设V为向
17、量空间，如果r个向量Vr,21，且满足r,21线性无关；V中任何一个向量都可以由r,21线性表示则称向量组r,21是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。（3）在3R中取定一个基321,aaa，再取一个新基321,bbb，设A（321,aaa） ，B（321,bbb） ，则P=1AB称为从旧基到新基的过渡矩阵7向量的内积：(1) 设有n维向量nxxxx21，nyyyy21，令nxyxyxyx2211,，yx,称为向量x与y的内积 . 当x与y都是列向量时，有yxyxT,. (2) 内积具有下列性质（其中zyx,为n维向量，为实数）：xyyx,；yxyx,；zyzxz
18、yx,. 当ox时，oxx,；当ox时，oxx,施瓦茨（ Schwarz）不等式,2yyxxyx(3) 向量的长度 ：x=22221,nxxxxx，x称为n维向量x的长度。 （范数）.(4) 向量的正交 -当0, yx时，称向量x与y正交 . (5) 正交向量组 -两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组的性质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载若n维向量r,21是一组两两正
19、交的非零向量组，则r,21线性无关 . （6）施密特（ Schimidt ）正交化过程：设raaa,21是线性无关的：取11ab；1112122,bbbabab， 111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab. rbbb,21两两正交，且rbbb,21与raaa,21等价第四部分线性方程组1 解的判定：线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa212112222212111212111其系数矩阵与增广矩阵分别记为：mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211，A或（ A,b ）=mmnmmnnbaaabaaa
20、baaa21222221111211则方程组的矩阵表示形式为：bAx若记：121111maaa，222122maaamnnnnaaa21,，mbbbb21，则方程组的向量形式为：bxxxnn2211判定定理：n元非齐次线性方程组bxAnm有解)()(ArAr且有唯一解nArAr)()(，有无穷多解nArAr)()(对应的齐次线性方程组0002121122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa，称谓原方程组的导出组。有结论：n元齐次线性方程组仅有零解系数矩阵的秩nAr)(n元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩nAr)(若系数矩阵A为方阵，则有：n元齐次线性
21、方程组仅有零解0A名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n元齐次线性方程组有非零解0A2基础解系：设s21,都是齐次线性方程组0Ax的解，且：s21,线性无关0Ax的任意解都可以由s21,线性表示则称s21,是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系实际上，齐次线性方程组0Ax的一个基础解系就是它的解集的一个最大无关组结论：当系数矩阵的秩nrAr)(时，齐次线性方程组0Ax有基础解系，并且它的任一个基础解系中解向量的个数为rn若0是bAx的一个特解，rn21,是OAx的一个基础解系，则bAx的通解为0+rnrnccc2211第五部分矩阵的特征值（特征向量）与二次型1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -