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1、学习必备精品知识点第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212nnijnnnnnaaaaaaaaaa（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212njjnja aa（2）的代数和，这里12nj jj是一个n 级排列。当12nj jj是偶排列时，该项前面带正号；当12nj jj是奇排列时，该项前面带负号，即：1212121112121222()1212( 1)nnnnnj jjijjjnjnj jjnnnnaaaaaaaaaaaaa。2、等价定义1 2121 2()12( 1)nnni iiijiii nni iiaa aa和1 21 21 1221 21
2、2()()( 1)nnn nnni iij jjiji ji ji jni iij jjaa aa和3、由 n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。4、常见的行列式1）上三角、下三角、对角行列式111111222222112200nnnnnnnnaaaaaaa aaaaa2）副对角方向的行列式111(1)212,12,1212,111110( 1)0nnnn nnnnnnnnnnaaaaaaa aaaaa3）范德蒙行列式：1222212111112111()(2)nnijjinnnnnaaaaaaaaaaan二、行列式性质
3、1、行列式与它的转置行列式相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备精品知识点2、互换行列式的两行（列），行列式变号。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列
4、式不变。三、行列式的按行（列）展开1、子式1）余子式：在n 级行列式ijDa中，去掉元素ija所在的第i 行和第 j 列后，余下的n-1 级行列式称为ija的余子式，记作ijM。2）代数余子式：( 1)ijijijAM称为ija的代数余子式。3）k级子式：在n 级行列式ijDa中，任意选定k行和k列(1)kn，位于这些行列交叉处的2k个元素，按原来顺序构成一个k级行列式M，称为 D 的一个k级子式。当()kn时，在 D 中划去这k行和k列后余下的元素按照原来的次序组成的nk级行列式M称为k级子式 M 的余子式。2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行
5、列式的值，即按第 i 行展开1122(1,2, );iiiiininDa Aa Aa Ain按第 j 列展开1122(1,2, );jjjjnjnjDa AaAa Ajn2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即11220();ijijinjna Aa Aa Aij或11220,().ijijninja Aa Aa Aij3、按k行（k列）展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中，任意取定k个行（k列）(11)kn，由这k行（k列）元素组成的所有的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1）设A为 n 阶方阵，则AA；2）设A为 n 阶方
6、阵，则nkAkA；3）设,A B为 n 阶方阵，则ABA B，但ABAB；4）设A为m阶方阵，设B为 n 阶方阵，则00AAA BBB，但ABAB。5）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n级行列式1111111111 122111111, ,1,2, .nnnijijijinnjnnnnnnaabbccca ba ba bi jnaabbcc其中四、行列式的计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备精品知识点1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根
7、据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于1nD的代数式来表示nD，依次从1234nDDDDD，逐级递推便可以求出nD的值。方法二： 数学归纳法。 第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到nD关于1nD和2nD的递推关系式。方法三： 加边法。 加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列（或 m 行 m 列）得到一个新的n+1（或 m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或 m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下：11111111111100nnnnnnnaa
8、aaaaaaaa或111111111111100nnnnnnaabaaaabaa特殊情况取121naaa或121nbbb。方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。如果行列式D 中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式( )fx，然后对行列式( )f x实行某些变换， 求出( )fx的互素的一次因式，使得( )f x与这些因式的乘积(
9、)g x只相差一个常数因子c，根据多项式相等的定义，比较( )f x与的( )g x某一项系数，求出c 值，便可求得( )Dcg x。2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如，等等） 。注： “两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。（1） “三对角”行列式（,） 。注： “三对角”行列式可以按如下方法进行求解。首先得到一个一般的递推公式12nnnDpDqD，然后可以用以下两种方法之一求出nD的表达式：先计算123,DDD等，
10、找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于nD和1nD的方程组，从而消去1nD就可解得nD。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备精品知识点（2） “爪型”行列式（） 。注： “爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式进行求解。（3）Hessenerg型行列式 （） 。类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例
11、）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组1111221121 1222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xaxa xb的系数行列式不等于零，即111110nnnaaDaa，则方程组有唯一解：1212,nnDDDxxxDDD其中(1,2,)jDjn是把系数行列式D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式。2、含 n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组11 1122121 122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x只有零解的充要条件是系数行列式0D；有非零解的充要条件是系数行列式0.D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页