分数指数幂与根式.ppt

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1、2022年年7月月7日日回忆回忆 乘方的意义：乘方的意义： a0= 1a-n=na1( a0,nN*).（a0）零的零次幂没有意义零的零次幂没有意义零的负整数次幂没有意义零的负整数次幂没有意义a n = aaa a ( n N * )n 个个a 整数指数幂的运算性质是：整数指数幂的运算性质是： aman=am+n(m,nZ) (am)n=amn(m,nZ) (ab)n=an bn(nZ).注意注意： -都要遵守零指数幂、负整数指数幂的都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于底数不能等于0的规定的规定.【练一练练一练】1. 回答下列各题（口答）：回答下列各题（口答）： a2a3= (b4)2

2、= (m n)3=.a5b8m3 n31642底底幂幂指数指数?42乘方运算乘方运算16?2开方运算开方运算4和和- 4叫做叫做16的平方根的平方根8232叫做叫做8的立方根的立方根9?432?5要求：用语言描述式子的含义要求：用语言描述式子的含义3称为称为9的的四次方根四次方根2称为称为-32的的五次方根五次方根an?描述：描述：次方等于次方等于n一个数的一个数的a，求这个数，求这个数n开开次方次方次方根定义：次方根定义：n如果一个数的如果一个数的 次方等于次方等于n), 1(*Nnna那么这个数叫做那么这个数叫做 的的 方根方根an数学符号表示：数学符号表示：若若), 1(*Nnnaxn，

3、则，则 叫做叫做 的的 次方根次方根xan273833254292164322232观察思考：观察思考：你能得到什么结论？你能得到什么结论？27338323252 结论：结论：当当 为为奇数奇数时，正数的时，正数的 次方根是一个正次方根是一个正数，负数的数，负数的 次方根是一个负数，这时，次方根是一个负数，这时， 的的 次方根次方根只有一个，记为只有一个，记为 nnnannax 3273 3825322115x511x4229231642 结论：结论：当当n为为偶数偶数时，正数的时，正数的n次方根有两个，它们次方根有两个，它们互为相反数正数互为相反数正数a的正的正n次方根用符号次方根用符号 表

4、示；负的表示；负的n次方根用符号次方根用符号 表示表示,它们可以合并写成它们可以合并写成 的形式的形式42934162126xnana612x负数没有偶次方根负数没有偶次方根(0)na a特别注意：特别注意：0的的 次方根等于次方根等于0.n思考：思考： 1） 一定表示一个正数吗？一定表示一个正数吗？nana为奇数时，它可为正、可为负、可为零为奇数时，它可为正、可为负、可为零n 为偶数时，它表示非负数为偶数时，它表示非负数n2） 中的中的 一定是正数或非负数吗？一定是正数或非负数吗？naa当当 为偶数时，它有意义的条件是为偶数时，它有意义的条件是 ；当当 为奇数时，它有意义的条件是为奇数时，它

5、有意义的条件是 n0anRa2)2(33)2(55)3(2)2(33544)3(223253nna)(anna 为奇数为奇数na 为偶数为偶数n|a8443653256161623227，例例1：求下列各式的值。：求下列各式的值。312510244233)()3()10()8(a aba 1.求下列各式的值33)8(2)10(44)3(55)3(44)(ba（）（）（）（）（）（）510a412a练一练：)(ba 2.给出下列4个等式： ; ; .其中恒成立的个数为( )aa2aa2)(aa33aa33)(A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知 ，则化简 的结果是( )21a42) 1

6、2(aA. B. C. D. 12 a12 aa21a214.下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正下列各式中，把根号外的因式移到根号内，正确的是确的是( )A.B.C.D.ababaa 时，0ababaa 时，0babaa10时，2)(0, 0baababbaba时，244)3()2(xx5.化简： 740740规定正数的正分数指数幂的意义：) 1, 0(nNnmaaanmnm且规定正数的负分数指数幂的意义：) 1, 0(11nNnmaaaanmnmnm且0的正数次幂等于的正数次幂等于0，0的负数次幂无意义，的负数次幂无意义，0的的0次幂无意义。次幂无意义。回顾：分数指数幂的定义回顾：分数

7、指数幂的定义例1、 求值求值： 、3281225、51()2、.)8116(43分数指数幂的运算性质：分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：而推广到有理数范围：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例例 用分数指数幂的形式表示下列各式用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中（式中a0） 解解： aa 2) 1 (323)2(aa aa)3(311323323aaaa= 25212212aaaa= = aa 2) 1 (323)2(aa aa)3

8、(4321232121)()(aaaa题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式（a0,b0)31. a a a343332. ()27ab343. ()ab4329.4ba小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba43a73x = 43a（2） = (x0) 731x(3) = 43)(baba4321)()(baba 练习：用分数指数幂表示下列各式练习：用分数指数幂表示下列各式 练习练习23232xx 4343)()(baba(a+b0) 3232)()(nmn

9、m24)()(nmnm) 0(25356pqpqp252133mmmmm1）2）3）4）5）6）例 求值求值： 、328、21100、3)41(.)8116(43101)10(1100121221= =4 328)1(232332322)2(= 21100)2(= (2-2)-3 = 2(-2)(-3) = 26 = 64 3)41)(3(43)8116)(4(827)32()32(3)43(4题型二题型二分数指数幂分数指数幂 求值求值，先把a写成 nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求a的n次方根）34(1)1000023125(2)()273236(3)()49。cb

10、acba的值求已知2310, 510, 310, 21010001259343216940小结小结 1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）差异，注意不能随意约分）. 2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指数幂的运算性质。数幂的运算性质。 3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，再将结果化为根式。为根式的，再将结果化为根式。注意三点：注意三点：题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)1当有

11、多重根式是，要由里向外层层转化。当有多重根式是，要由里向外层层转化。2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。3要熟悉运算性质。要熟悉运算性质。题型二题型二分数指数幂分数指数幂 (不按计算器不按计算器)求值求值， nma关键先求关键先求a的的n次方根次方根 2,2( )f x0 x ( )f x(1)( )fmf mm例例3定义在定义在上的偶函数上的偶函数，当，当时，时，单调递减，且单调递减，且成立，求实数成立，求实数的取值范围。的取值范围。 指数（3）题型三题型三分数指数幂的运算分数指数幂的运算1、系数先放在起运算。2、同底数幂 进行运算，乘的指数相加

12、，除的指数相减。1221113334241.( 2)(3)( 4)x yx yx yyyx24) 4(3) 2(323231412141原式20.532037348710(2 )(2)0.19272.100231423.()( 4)(12)a ba ba b c2 1 43 1 21113( 4) 12abcac 解：原式例例4 计算（式中字母都是正数）：计算（式中字母都是正数）：)3()6)(2)(1 (656131212132bababa31848(2)()m n题型四题型四根式运算根式运算，先把每个根式用分数，先把每个根式用分数指数幂表示；题目便转化为分数指数幂表示；题目便转化为分数指数

13、幂的运算。指数幂的运算。注意：注意：结果可以用根式表示，也结果可以用根式表示，也可以用分数指数幂表示可以用分数指数幂表示. . 但同一但同一结果中不能既有根式又有分数指结果中不能既有根式又有分数指数幂，并且分母中不能含有负分数幂，并且分母中不能含有负分数指数幂数指数幂23432(1)(2 51 2 5 )5 ( 2 )(0 )aaaa例例5 计算计算364(24) 3aabb化简：化简：529323210)10()8(21题型五题型五)()(22平方差公式bababa)(2)(222完全平方公式bababa)()(2233立方公式babababa利用代数公式进行化简：1111114444221

14、.()()()ababab例例1 化简：化简：11112222111122222.abababab111124243.(23)(23)xyxy122331.3,_,_.aaaaaa已知则718题型六题型六分数指数幂或根式中分数指数幂或根式中x的定义域问题的定义域问题4(1) 1x13(2)(1)x23(3)(1)x12(4) x324(5)(32)xx13(6)(| 1)x例如 求下列各式中x的范围：X1X1XRX0(-3,1)X1 上面，我们将指数的取值范围由整数推广到有理数。那么，当指数是无理数时，又该如何解释？ 无理数指数幂哦！25指数范围终于指数范围终于扩大到实数了，扩大到实数了，嘿嘿

15、。嘿嘿。3）根式又是如何定义的？有那些规定？）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的平方根；的平方根；如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的立方根；的立方根；如果一个数的如果一个数的 n 次方等于次方等于 a ，则这个数叫做，则这个数叫做 a 的的 n 次方次方根；根；na根指数根指数根式根式被开方数被开方数a 04） 的运算结果如何？的运算结果如何？当当 n 为奇数时，为奇数时， = a ； ( a R ) nna当当 n 为偶数时，为偶数时，nna= | a | aa0

16、0 aaaann )(00 nnna一、引入：1、a10的5次方根是_2、a12的3次方根是_你发现了什么？1010255aaa1、2、1212433aaa规定规定 正数的正分数指数幂正数的正分数指数幂 3553*1616,33) 1., 0() 1 (3553nNnmaaanmnm且) 1*, 0(1)2(nNnmaaanmnm且（3)0的正分数的正分数 指数幂等于指数幂等于0， 0的负分数的负分数 指数幂指数幂没有意义。没有意义。二，分数指数幂的定义二，分数指数幂的定义例1、 求值求值： 、3281225、51()2、.)8116(43分数指数幂的运算性质：分数指数幂的运算性质：整数指数幂

17、的运算性质可以运用到分数指数幂，进整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进而推广到有理数范围：而推广到有理数范围：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例例2、 用分数指数幂的形式表示下列各式用分数指数幂的形式表示下列各式:（式中（式中a0） 3(1)aa322(2)aa3(3) a a例例-3、计算下列各式（式中字母都是正数）、计算下列各式（式中字母都是正数）2115113366221.(2)( 6)( 3)a ba ba b 318842.()m n例例-4、计算下列各式、计算下列各式341.( 25125)252322.(

18、0)aaaa题型一题型一将根式转化分数指数幂根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0)31. a a a343332. ()27ab343. ()ab4329.4ba小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。65a44383ba43)(ba8349ba题型二题型二分数指数幂分数指数幂 求值求值，先把a写成 nmanx然后原式便化为mnmnnmxxa)(（即：关键先求a的n次方根）34(1).1000023125(2).()273236(3).()4932102,103,105,10abcab c(4)已知 求的值.10001259343216940