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1、专题九平面解析几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题
2、、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用韦达定理解题.4.合理运用“同理可得”进行类比计算.5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.近几年这类
3、题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
4、的作用.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.【真题探秘】9.1直线方程与圆的方程基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线方程1.过不重合的A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45,则m的值为()A.-1B.-2C.-1或2D.1或-2答案B2.已知角是第二象限角,直线2x+ytan +1=0的斜率为83,则cos 等于()A.35B.-35C.45D.-45答案D3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.答案4x-3y+9=04.已知A(1,-2),B(5,6),直线l经过
5、AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为.答案x+y-5=0或2x-3y=0考点二圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.x-122+(y+1)2=25B.x+122+(y-1)2=25C.x-122+(y+1)2=254D.x+122+(y-1)2=254答案D6.若a-2,0,1,34,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B7.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A、B距离之比为2,当P,A,B不共线时,PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23答案
6、A8.已知ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则ABC外接圆的方程为.答案(x+3)2+(y-1)2=25综合篇知能转换【综合集训】考法一求直线的倾斜角和斜率1.(2018陕西延安期中,5)直线a2x-b2y=1(其中a,bR,且ab0)的倾斜角的取值范围为()A.0,2B.4,34C.2,34D.2,答案A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin +1=0的倾斜角的取值范围是()A.4,34B.0,434,C.0,4D.4,22,34答案A考法二求直线的方程3.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()
7、A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D4.(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为()A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案B5.(2019四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点.答案-2,-13考法三对称问题6.(2018重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x
8、+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案B7.(2019豫南九校第四次联考,14)已知ABC的一个顶点A(2,-4),且B,C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.答案x+7y-6=08.(2018豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则|PA|-|PB|最大时点P的坐标为.答案(2,5)考法四求圆的方程9.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相
9、切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案A10.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为.答案x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)11.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=2512.(2018四川峨眉山第七教育发展联盟适应性考试(节选)圆C与x轴相切于点T(2,
10、0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.则圆C的方程为.答案(x-2)2+y-522=254【五年高考】1.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.2答案A2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=03.(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案(-2,-4);54.(2019浙江,12,6分)已知
11、圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案-2;55.(2019北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.答案(x-1)2+y2=46.(2018课标,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-
12、(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有
13、关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.7.(2017课标,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)2
14、4=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1y2x2=-44=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此 APBP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半
15、径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为x-942+y+122=8516.解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PAPB20,则点P的横
16、坐标的取值范围是.答案-52,12.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
17、所以0y00)上的动点,B为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值是()A.3B.4C.32D.42答案A二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为()A.x=-2B.x=2C.4x-3y+4=0D.4x+3y-4=0答案BC11.(改编题)已知圆M:(x+cos )2+(y-sin )2=1,直线l:y=kx,下列命题中为真命题的是()A.对任意实数k与,直线l和圆M相切B.对任意实数k与,直线l和圆M有公共点C.对任意实数,必存在实数k,使得直线l和圆M相切D.对任意实数k,必存在实数,使得直线l
18、和圆M相切答案BD三、填空题(每题5分,共10分)12.(2019豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,当ABO的面积最小时,直线l的方程为.答案2x+3y-24=013.(2020届百师联盟期中联考)已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,且截x轴所得弦长为42,则圆C的方程为,点P(6,5)到圆C上动点Q的距离最大值为.答案(x-3)2+(y-1)2=9;8四、解答题(共10分)14.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标为(0,-22),顶点C在x轴上,点P
19、为线段OA的中点.(1)求BC边所在直线的方程;(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;(3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.解析(1)易知kAB=-2,ABBC,kCB=22,BC边所在直线的方程为y=22x-22.(2)由(1)及题意得C(4,0),易知AC为圆M的直径,M(1,0),AM=3,外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9.(3)圆N过点P(-1,0),PN是动圆的半径,又动圆N与圆M内切,MN=3-PN,即MN+PN=3,点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.P(-1,0),c=1,又a=32,b=a2-c2=54,所求轨迹方程为x294+y254=1,即4x29+4y25=1.