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1、专题十计数原理【真题探秘】10.1排列、组合探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点计数原理、排列、组合(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.(2)排列与组合理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.能解决简单的实际问题2019课标,6,5分组合概率2018课标,15,5 分组合问题、分类加法计数原理2017课标,6,5分排列与组合的综合应用、分步乘法计数原理2016课标,12,5分分类加法计数原理、组合问题分析解读从近五年的考查
2、情况来看,本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用,一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现.主要考查学生的逻辑推理能力.破考点 练考向【考点集训】考点计数原理、排列、组合1.(2020届山西大同开学学情调研,4)从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有()A.15种B.180种C.360种D.90种答案B2.(2019陕西汉中二模,10)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办,组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责接待工作,每个接待处至少
3、2人,则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有()A.12种B.22种C.28种D.30种答案C3.(2018四川德阳三校联考,7)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96答案D炼技法 提能力【方法集训】方法1求解排列问题的常用方法1.(2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考一,8)6个高矮互不相同的人站成两排,后排每个人都高于站在他前面的同学的概率为()A.14B.16C.18D.112答案C2.(2020届吉林延边二中9月月考,8)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙
4、和丙必须排在相邻的顺序出场,则不同的演出顺序共有()A.24种B.144种C.48种D.96种答案D3.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个答案C方法2分组、分配问题的求解策略1.(2019辽宁大连模拟,7)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有()A.18种B.9种C.6种D.3种答案A2.(2020届河南八市重点高中联盟9月“领军考试”,15)甲、乙、丙、丁四名同学申报3所不同
5、的985高校的自主招生,要求每名同学只能申报一所学校,每所学校必须有同学申报,甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校,则不同的申报方案有种.答案243.(2019山西高考考前适应性模拟(三),15)将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一人,则不同的分配方案有种.(填写数字)答案150【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点计数原理、排列、组合1.(2016课标,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B2.(2016课标,12,5分)定义“规
6、范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C3.(2018课标,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16B组自主命题省(区、市)卷题组考点计数原理、排列、组合1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B2.(2018浙江,16,4
7、分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1 2603.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案1 0804.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案660C组教师专用题组1.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出
8、顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B2.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案1 5603.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2)
9、, f4(2)的值;(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).解析本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)=2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)
10、=1.逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n5时, fn(2)=n2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从
11、比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2020届河南第一次联考,10)2019年7月1日迎来了我
12、国建党98周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名老党员站在一起,且满足条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片需要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员需要支付的照片费为()A.20.5元B.21元C.21.5元D.22元答案B2.(2019宁夏六盘山二模,6)某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩下的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.18B.24C.
13、32D.64答案B3.(2020届广东广州天河一模,7)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示数19的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“=”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用19这9个数字表示两位数的个数为()A.13B.14C.15D.16答案D4.(2020届湖南长沙第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙
14、同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取的礼物都满意,那么不同的选法有()A.50种B.60种C.70种D.90种答案C5.(2020届四川成都双流中学10月月考,10)为迎接双流中学建校80周年校庆,双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组,与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈,考虑到工程时间紧迫的现状,工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求:重点项目甲必须排在前三位,且项目丙、丁必须排在一起,则这六个项目的不同安排方案共有()A.240种B.188种C.156种D.120种答案D6.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位
15、志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,则不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种答案B7.(2019安徽蚌埠一模,7)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为()A.9B.12C.18D.24答案C8.(2019河南郑州一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色
16、对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有()A.6种B.9种C.12种D.36种答案C9.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种答案B10.(2019江西南昌模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表
17、的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为()A.12B.24C.36D.48答案D二、填空题(每小题5分,共15分)11.(2020届山东夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届湖南益阳、湘潭9月教学质量检测,14)中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“射”不能排在第一,“数”不能排在最后,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有种.答案50413.(2019福建泉州5月质检,15)某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理6门选修课,甲同学需从中选修3门,其中化学、生物两门中至少选修一门,则不同的选法种数为.答案16