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1、9.4双曲线及其性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.双曲线的定义及标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它简单的几何性质2017课标,5,5分求双曲线的方程椭圆的几何性质2016课标,5,5分利用双曲线的标准方程求参数范围不等式的解法2.双曲线的几何性质2019课标,16,5分求双曲线的离心率2019课标,11,5分求双曲线的离心率圆的性质2019课标,10,5分利用双曲线的几何性质求面积三角形面积公式2018课标,11,5分利用双曲线的几何性质求线段长解直角三角形2018课标,11,5分求双曲线的离心率余弦定理2015课标,5,5分利
2、用双曲线的几何性质求范围向量坐标运算,不等式的解法3.直线与双曲线的位置关系2015江苏,12,5分直线与双曲线的位置关系分析解读从近5年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,分值为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生数形结合思想和转化与化归思想的应用,体现了数学运算、直观想象的核心素养.破考点 练考向【考点集训】考点一双曲线的定义及标准方程1.(2018宁夏育才中学月考,5)设P是双曲线x216-y220=1上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若
3、|PF1|=9,则|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对答案B2.(2018广东广州华南师大附中检测,5)设k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.长轴在x轴上的椭圆B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线D.实轴在y轴上的双曲线答案D3.(2020届安徽合肥调研检测,4)已知双曲线的渐近线方程为y=22x,实轴长为4,则该双曲线的方程为()A.x24-y22=1B.x24-y28=1或y24-x28=1C.x24-y28=1D.x24-y22=1或y24-x28=1答案D考点二双曲线的几何性质1.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,
4、5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与过其右焦点的直线y=2x-25平行,则该双曲线的实轴长为()A.1B.2C.3D.4答案B2.(2020届贵州贵阳一中第一次适应性考试,6)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率是72,则E的渐近线方程为()A.y=xB.y=22xC.y=32xD.y=2x答案C3.(2018河南安阳二模,14)已知焦点在x轴上的双曲线x28-m+y24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是.答案(0,2)考点三直线与双曲线的位置关系1.(2019湖北武汉4月调研,9)过点P(4,2)作直线AB与双曲线C:x22-y2=1
5、交于A,B两点,若P为AB的中点,则|AB|=()A.22B.23C.33D.43答案D2.(2020届百校联盟TOP20 9月联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),离心率为32,直线l:y=-3(x-c)与C交于A,B两点(其中A在x轴上方).OAF和OBF的面积分别记为S1和S2,则S1S2=.答案17炼技法 提能力【方法集训】方法求双曲线离心率的值或取值范围的方法1.(2019四川蓉城名校联盟第二次联考,5)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x-3y+5=0平行,则双曲线C的离心率为() A.1010B.1
6、0C.22D.24答案B2.(2018广西柳州高中3月月考,12)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以角A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2=()A.1+22B.4-22C.5-22D.3+22答案C3.(2019宁夏银川一中模拟,7)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点为F1,F2,在双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|F1F2|,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,2B.2,+)C.(1,2D.2,+)答案B【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一双
7、曲线的定义及标准方程1.(2017课标,5,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案B2.(2016课标,5,5分)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)答案A考点二双曲线的几何性质1.(2019课标,10,5分)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,
8、O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32答案A2.(2019课标,11,5分)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案A3.(2018课标,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案C4.(2015课标,5,5分)已知M(
9、x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1MF20,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.答案2B组自主命题省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义及标准方程(2018天津,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29
10、-y23=1答案C考点二双曲线的几何性质1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.2答案C2.(2019天津,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案D3.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.答案y=2x4.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a
11、2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x考点三直线与双曲线的位置关系(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案22C组教师专用题组考点一双曲线的定义及标准方程1.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y
12、24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=1答案B2.(2016天津,6,5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x24-3y24=1B.x24-4y23=1C.x24-y24=1D.x24-y212=1答案D3.(2015天津,6,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x221-y228=1B.x228-y
13、221=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1答案D4.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案C5.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.14B.13C.24D.23答案A考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是()A.(-2,0),(2,0)B.(-2
14、,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-2),(0,2)答案B2.(2018课标,5,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案A3.(2018课标,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B4.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,
15、C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e20)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2答案D9.(2015重庆,10,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-2,0)(
16、0,2)D.(-,-2)(2,+)答案A10.(2014课标,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B.3C.3mD.3m答案A11.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是.答案212.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案213.(2016北京,13,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的
17、焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案214.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是.答案21015.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案3216.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:x2a2-y2b2=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案5【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019贵州黔东南
18、州一模,9)双曲线M与双曲线N:y24-x22=1有共同的渐近线,且M经过抛物线y=-x2-4x的顶点,则M的方程为()A.y216-x28=1B.y28-x24=1C.x26-y212=1D.x214-y228=1答案B2.(2019新疆乌鲁木齐二模,6)已知F1,F2是双曲线x2-y2=1的焦点,以F1F2为直径的圆与一条渐近线交于P,Q两点,则F1PQ的面积为()A.22B.1C.2D.2答案C3.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113-y211=1B.x22-y2=1C.y2113-x211
19、=1D.y211-x2113=1答案A4.(2020届河南天一大联考段考(一),8)已知双曲线E:x23-y2=1,F为E的左焦点,P,Q为双曲线E右支上的两点,若线段PQ经过点(2,0),PQF的周长为83,则线段PQ的长为()A.2B.23C.4D.45答案B5.(2019四川南充第二次适应性考试,5)P是双曲线x23-y24=1右支上的一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为()A.3B.2C.7D.3答案A6.(2020届陕西部分学校摸底考试,6)设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF
20、2|+|BF2|的最小值为()A.13B.12C.11D.10答案C7.(2018陕西榆林一模,11)已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,2)答案A8.(2020届四川成都摸底考试,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),又点N-c,3b22a.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|4b,则双曲
21、线C的离心率的取值范围为()A.133,5B.(5,13)C.1,133(5,+)D.(1,5)(13,+)答案C二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2020届河南名师联盟9月月考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,若ABP中,PBA=PAB+2,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=x10.(2019江西南康中学第二次大联考,15)点P是椭圆x2a12+y2b12=1(a1b10)和双曲线x2a22-y2b22=1(a20,b20)的一个交点,F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,F1PF2=3,则b1b2的值是.答案311.(2020届四川五校联考,15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若AF2B=60,ABF2的面积为3a2,则双曲线的渐近线方程为.答案y=3x12.(2018山西太原4月联考,14)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,再反向延长FM交另一条渐近线于N,若2MF=FN,则双曲线C的离心率e=.答案233