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1、二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（） 。注：因为二次根式（）表示 a 的算术
2、平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质， 和绝对值、 偶次方类似。 这个性质在解答题目时应用较多，如若， 则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a
3、 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中， 而中 a可以是正实数， 0，负实数。 但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页而2、相同点： 当被开方数都是非负数，即时
4、，=；时，无意义， 而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、 x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、 （ x+y）2 、 x2+2xy+y2等（ 3）最终结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法1. 积的算数平方根的性质ab=ab（a0，b0）2. 乘法法则ab=ab（a0，b0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。3. 除法法则ab=ab（a0，b0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算
5、数平方根。4. 有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式。知识点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。知识点十：二次根式的混合运算1 确定运算顺序2 灵活运用运算定律3 正确使用乘法公式4 大多数分母有理化要及时5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化精选学习资料
6、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I. 分母是单项式如: a/ b=ab/ bb=ab/b II.分母是多项式要利用平方差公式如 1/ ab=ab/( ab)( ab)=ab/a b 如图注意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页“二次根式”经典练习题【典型例题 】一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0a（a0） ，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）1.
7、下列各式中一定是二次根式的是（） 。A、3；B、x；C、12x；D、1x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（ 1）;2x（ 2）121x（ 3）xx21（ 4）45xx（ 5）1213xx（6）若1) 1(xxxx，则 x 的取值范围是（7）若1313xxxx，则 x 的取值范围是。（7）注：（书写格式（4） 由 5+x0 且 x+40 得 x 5 且 x 4当 x 5 且 x 4 时代数式45xx在实数范围内有意义）3.若13m有意义，则m能取的最小整数值是4. 若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是 _5.当 x 为何整数时，1110 x有最小整数值，这个最小整数值为。6.
8、 若20042005aaa，则22004a=_7若433xxy，则yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页8. 设 m、n 满足329922mmmn，则mn= 。9. 若m适合关系式35223199199xymxymxyxy，求m的值10.若三角形的三边a、b、c 满足3442baa=0，则第三边c 的取值范围是11. 方程0|84|myxx，当0y时， m的取值范围是（） A 、10mB、2mC、2mD、2m二 利用二次根式的性质2a=|a|=)0()0(0)(aaabaa(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对
9、值)来解题1. 已知233xxx3x，则（）A.x0 B.x 3 .x 3 D. 3x0 2. 已知 ab，化简二次根式ba3的正确结果是（）Aaba Baba Caba Daba3. 若化简 | 1-x | -1682xx的结果为2x-5 则 x 的取值范围是（）A、 x 为任意实数 B 、1x 4 C 、x1 D、x4 4. 已知 a，b，c 为三角形的三边，则222)()()(acbacbcba= 5.当-3x5 时，化简25109622xxxx= 。6、 化简)0(|2yxxyx的结果是（）Axy2 By Cyx2 Dy7、已知：221aaa=1，则a的取值范围是（） 。A、0a； B
10、、1a；C、0a或 1；D、1a8、把21)2(xx根号外的因式移入根号内，化简结果是（） 。A、x2； B、2x； C、2xD、x2三二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页积商算术平方根的性质及二次根式的性质：（a）2=a（a0） ，即|2aa。 ）1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833（2）224041（3）2255m（4）224yxx2.下列各式中哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101；（2）,
11、533cba323cba，4cab，abca3.计算： （1） 6)33(27（2）49123aab；（3）accbba53654（ 4）24182（5）545321（6）)(23522cabcba4.计算（ 1）25051122183133（2）)254414()3191(3323yyxxyyxx5已知1018222xxxx，则 x 等于（）A 4 B 2 C2 D 4 6.已知12,12yx，求xyxyxyyx33的值。四二次根式的分母有理化1 已知：132x，求12xx的值。2. .已知 :x=2323,2323y，求代数式3x25xy+3y2的值。3.2113214311009914.
12、已知21915xx，试求xx1519的值。五关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1. 估算31 2的值（）A在 1 和 2 之间 B在 2 和 3 之间 C在 3 和 4 之间 D 在 4 和 5 之间2若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页3.已知 9+13913与的小数部分分别是a 和 b，求 ab3a+4b+8 的值4.若 a，b 为有理数，且8+18+81=a+b2，则 ba= .六二次根式的比较大小（1）3220051和（2） 5566和（3）13151517和（倒
13、数法）二次根式提高测试题一、选择题1使131xx有意义的x的取值范围是（）2一个自然数的算术平方根为0a a，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（）（A）1,1aa（B）1,1aa（C）221,1aa（D）221,1aa3若0 x，则2xx等于（）（A）0 （B）2x（C）2x（D）0 或2x4若0,0ab，则3a b化简得（）（A）aab（B）a ab（C）aab（D）aab5若1ymy，则21yy的结果为（）（A）22m（B）22m（C）2m（D）2m6已知,a b是实数，且222aabbba，则a与b的大小关系是（）（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab7已知下列命题：225
14、25；2336；22333aaa；22abab其中正确的有（）（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）3 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8若246m与234m化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（）（A）203（B）5126（ C）138（ D）1589当12a时，化简214421aaa等于（）（A）2 （B）24a（C）a（D）0 10化简2244123xxx得（）（A）2 （B）44x（C）2（D）44x二、填空题11若21x的平方根是5，则41_x12当_x时，式子534xx有意义13已知：最简
15、二次根式4ab与23a b的被开方数相同，则_ab14若x是8的整数部分，y是8的小数部分，则_x，_y15已知2009xy，且0 xy，则满足上式的整数对,x y有 _16若11x，则211_xx17若0 xy，且32x yxyx成立的条件是 _18若01x，则221144xxxx等于 _三、解答题1 9计算下列各题： （1）311520653；（2）32134273108 .333aaaaaa20已知200620070225522522a，求24aa的值21已知yx,是实数，且329922xxxy，求yx65的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页22若42yx与212yx互为相反数，求代数式32341yyxx的值 . 23若abS、 、满足357,23abSab，求S的最大值和最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页