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1、第2章 轴向拉伸与压缩第2章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩的概念2.1轴向拉（压）杆的内力2.2轴向拉（压）杆的应力2.3轴向拉（压）杆的变形 胡克定律2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5许用应力与安全系数2.6轴向拉（压）杆的强度计算2.7简单的拉（压）超静定问题2.82.1 轴向拉伸与压缩的概念图2.1 横担结构中的轴向拉（压）杆图2.2 屋架和斜拉桥中的轴向拉（压）杆产生沿轴线方向的拉伸或压缩变形的杆件称为轴向拉压杆。2.1 轴向拉伸与压缩的概念FF拉伸F F 压缩轴向拉（压）杆的共同特点：作用于杆件上的外力的合力作用线与杆件轴线重合，杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短。2.2
2、轴向拉（压）杆的内力2.2.1 内力的概念当构件受到外力作用而发生变形时，构件的任一部分与另一部分之间产生的相互作用力。不是物体内分子间的结合力，而是由外力引起的一种附加相互作用力。内力也称抗力：物体在外力作用下，内力会伴随着变形的产生而产生，这时内力又具有力图保持物体原形状、抵抗变形的性质。内力的计算对保证构件安全工作具有重要意义，通常最大内力所在的截面为危险截面。由于前面有均匀连续性假设，所以这种物体内部相邻部分间的相互作用力实际上是分布于截面上的一个连续分布的内力系，我们将分布内力系的合成(力或力偶) ，简称为内力。材料力学中所研究的内力是指：2.2 轴向拉（压）杆的内力2.2.2 截面
3、法截面法截面法是用来分析构件内力的一种方法。将构件截开为两部分，并取其中一部分为隔离体，建立静力平衡方程求截面上内力的方法称为截面法。2.2 轴向拉（压）杆的内力取被截开的构件的一部分为隔离体，用作用于截面上的内力代替另一部分对该部分的作用建立关于隔离体的静力平衡方程，求解未知内力用假想的截面将构件在待求内力的截面处截开截开代替平衡 截面法可按以下三步完成：2.2 轴向拉（压）杆的内力2.2.3 截面法求轴力采用截面法分析图(a)所示杆AB任一横截面上的内力：截开：用假想的截面m-m将杆截开为 左、右两部分，代替：取左段或右段任一部分为隔 离体(这里取左段为隔离体)， 将另一部分(右段)对左段
4、隔 离体的作用用截面上的内力 来代替，如图(b)所示。平衡：建立静力平衡方程。0 xFN0FFNFF若取右段为隔离体，如图(c)，同样可求得FN = F，两部分的相互作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上，符合作用与反作用公理。2.2 轴向拉（压）杆的内力2.2.3 截面法求轴力内力FN的作用线通过横截面形心并与杆的轴线重合，这种内力称为轴力。轴力正负规定：u 轴力离开其所作用的截面时为正的轴力，即轴向拉力为正；u 轴力指向其所作用的截面时为负的轴力，即轴向压力为负。轴力常用的单位：牛顿(N)或千牛顿(kN)。计算轴力时，通常将未知的轴力按正方向假设：若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与
5、所假定的指向相同，轴力为拉力。若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所假定的指向相反，轴力为压力。2.2 轴向拉（压）杆的内力【例2.1】如图所示直杆AD，已知F1 = 30kN， F2 = 39kN， F3 = 18kN。求指定横截面1-1、2-2和3-3上的轴力。【解】：求支座反力0 xF9kNDF 1230DFFFF截面1-1的内力计算（截面法）0 xF1N10FFN1130kNFF 截面2-2的内力计算（截面法）N2129kNFFF 截面3-3的内力计算（截面法）N39kNDFF 2.2 轴向拉（压）杆的内力轴力图形象地表明杆内轴力随横截面位置的变化情况用平行于杆件轴线的坐标表示横截面
6、位置用垂直于杆件轴线的坐标表示轴力的数值表示轴力与横截面位置关系的图线竖距表示各横截面上轴力的大小，用“+”、“-”号表示其方向反映了杆件所有横截面上的轴力沿杆长度方向的分布情况2.2.4 轴力图2.2 轴向拉（压）杆的内力选取坐标，用平行于杆件轴线的坐标表示横截面位置，用垂直于杆件轴线的坐标表示轴力数值。按选定的比例，根据各横截面上轴力的大小和正负画出杆的轴力图，并在轴力图上注明正负号。用截面法确定各杆段的轴力数值。一般以轴向荷载作用面来划定计算轴力的杆段。 轴力图绘图步骤：2.2 轴向拉（压）杆的内力【例2.2】如图所示混凝土柱，其横截面面积A = 0.6m2，柱高H = 12m，材料密度
7、 = 2.25103 kg/m3，若柱顶受有外荷载F = 100kN作用，求作该柱的轴力图。【解】：确定柱截面轴力绘制轴力图0y N100kNAFF 用假想截面将柱在1-1处截开，分为上下两段，取上段为研究对象，隔离体如图(b)所示。0yFN10FFGN1FFGFAy 时yHN100kN2.25 9.8 0.6 12kN259kNBFFAH 时绘制轴力图如图(c)所示，最大轴力在B截面，N,max259kNF 由于考虑了材料自重，其轴力图由两部分组成，一部分是外荷载F引起的矩形轴力图，另一部分是由材料自重引起的三角形轴力图2.3 轴向拉（压）杆的应力2.3.1 应力的概念应力是受力构件某截面上
8、的分布内力在一点处的集度。mFpA平均应力截面上分布内力一般是不均匀的，当面积A很小时，其极限值为0dlimdAFFpAA p即为点M处的内力集度，称为截面上M点处的总应力。正应力 ：应力沿其作用面的法向分量。切应力 ：应力沿其作用面的切向分量。总应力正交分解2.3 轴向拉（压）杆的应力 关于应力，以下几点应注意：应力是指受力构件某一截面上某一点处的应力，在讨论应力时必须明确 其是在哪个截面的哪个点上。应力的计算对保证构件的强度条件具有重 要意义，一般应力最大的点为危险点。某一截面上一点处的应力是矢量。一般规定正应力的指向离开所作用的 截面时为正号，反之为负号；切应力是对所研究的隔离体内一点产
9、生顺 时针力矩时为正号，反之为负号。应力的单位为Pa，1Pa=1N/m2。工程中常用MPa和和Gpa，它们间的关系 是1MPa=106Pa，1GPa=109Pa。2.3 轴向拉（压）杆的应力2.3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力观察变形：如图(a)所示，在等直杆表面上画出两条表示横截面位置的横向线ab、cd及平行于杆轴线的纵向线ef、gh。杆受轴向力F后，发生伸长变形，横向线ab、cd分别平移到了ab、cd位置，并仍与杆轴线垂直，如图 (b)所示。纵向线伸长到了ef、gh且仍与杆轴线平行。2.3 轴向拉（压）杆的应力2.3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力根据这些变形特点，可得出以下两点结论
10、：杆件在变形前为平面的横截面，变形后仍保持平面且仍垂直于杆轴线， 这即为平面假设；若将杆件看作是由许多纵向纤维组成的，在轴向拉伸或压缩时，所有纵 向纤维有相同的伸长或缩短量。2.3 轴向拉（压）杆的应力由上述结论可知，轴向拉压杆横截面上只有垂直于横截面方向的正应力，且该正应力在横截面上均匀分布，如图(c)、(d)所示。轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式为NFA式中： FN为杆横截面上的轴力； A 为所求应力点处的横截面面积。上述公式只适用于轴心受力构件。2.3.2 轴向拉（压）杆横截面上的应力2.3 轴向拉（压）杆的应力正应力在横截面上均匀分布的结论只在杆上离外力作用点稍远的部分才是正确的，杆
11、在外力作用点附近的应力分布情况较复杂，应力分布不均匀。如图所示等直杆，杆件端部受到作用方式不同但合力相等的外力作用，各杆的应力分布只是在虚线范围内有所不同，在离外力作用点稍远的部分各杆应力相同且均匀分布。在一般计算中，只要合力作用线与杆轴线重合，可以不考虑杆端所受外力的作用方式，而用其合力F代替。圣维南原理：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。2.3 轴向拉（压）杆的应力 【例2.3】如图所示，一正方形截面砖柱分上下两段，上端柱横截面的边长为24cm，下端柱横截面的边长为37cm。已知F = 20kN，试求各段柱的应力。【解】：绘制砖柱的轴力图，如图(b
12、)所示。求各段柱的应力AB段：3NII42I20 10 N0.35MPa24 24 10 mFA BC段：3NIIII42II60 10 N0.44MPa37 37 10 mFA 2.3 轴向拉（压）杆的应力2.3.3 轴向拉（压）杆斜截面上的应力如图所示两端轴向受拉等截面直杆AB，m-n为横截面，面积为A，m-m为与横截面成角的假想斜截面，面积为A，斜截面上的内力为FN、应力为p，p与杆轴线平行，且在斜截面上均匀分布。NFFp A由截面法：又：cosAA于是，得：NcoscosAFFpAA式中： 为横截面上的正应力将p分解为垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的切应力，如图(c)所示。有：2.
13、3 轴向拉（压）杆的应力角是自横截面的外法线量起，到所求斜截面外法线为止，逆时针转为正，顺时针转为负。、及角的正负号规定，如下图所示。由公式可知，轴向拉压杆内某一点处的最大正应力发生在通过该点的横截面上，最大切应力发生在与横截面成45的斜截面上,2coscos1sinsin22ppmaxmax22.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律2.4.1 轴向拉（压）杆的纵向变形杆件在轴向外力作用下，其主要的变形特征是沿纵向伸长或缩短。由实验得知：轴向受拉杆在沿纵向伸长的同时，伴随着横向尺寸的缩小；轴向受压杆在沿纵向缩短的同时，横截面尺寸有所增大。2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律2.4.1 轴向拉（
14、压）杆的纵向变形纵向变形：1lll 纵向线应变：ll拉杆的l为正，故拉杆的纵向线应变为正值；同样，压杆的l为负，则压杆的纵向线应变为负值。2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律2.4.1 轴向拉（压）杆的横向变形横向变形：1ddd横向线应变：dd拉杆的d为负值，则拉杆的横向线应变为负；相反，压杆的d为正，则压杆的横向线应变为正。2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律通过上述分析可知，杆横向线应变和杆纵向线应变的正负号相反。实验结果表明，当拉（压）杆内的应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时，其横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为一常数，通常用表示。称为横向变形系数或泊松比，是量纲为一的量。其
15、数值随材料不同而异，可通过实验测定。由于与的正负号相反，故： 2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律2.4.2 胡克定律大量实验表明，当杆内应力不超过材料比例极限时，杆的纵向变形l与杆的轴力FN、杆的原长l成正比；与杆横截面面积A成反比，即：NF llA 引进比例常数E，有：NF llEA 式中：比例常数E称为弹性模量，单位为Pa。E值的大小反映了材料抵抗弹性变形的能力。弹性模量E的值可通过实验测定。EA称为杆的抗拉压刚度，反映了杆件抵抗纵向变形的能力。胡克定律因 ， ，故可得胡克定律的另一表达式：NFAllEE或2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.4】变截面杆件ABC受力如图所示。
16、已知AB段横截面面积A1=800mm，BC段横截面面积A2=1200mm，材料的弹性模量E=200GPa。求：截面A的位移；各杆段的纵向线应变。【解】：求轴力，作轴力图，如图(b)所示。求截面A的位移AB段：BC段：N140kNFN280kNF 由胡克定律：3N1962140 10 N 1m0.25mm200 10 Pa800 10 mABABF llEA3N2962280 10 N 1m0.33mm200 10 Pa 1200 10 mBCBCF llEA 2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.4】变截面杆件ABC受力如图所示。已知AB段横截面面积A1=800mm，BC段横截面面积A
17、2=1200mm，材料的弹性模量E=200GPa。求：截面A的位移；各杆段的纵向线应变。【解】：截面A相对于截面C的位移uA为AB段：BC段：0.25mm0.33mm0.08mmAABABull 负号表示杆件的总长度缩短，A截面向右移动0.08mm。求各杆段的纵向线应变330.25mm0.25 101 10 mmABABABll330.33mm0.33 101 10 mmBCBCBCll 2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.5】图示杆系结构由钢杆AC和BC在点C铰接而成。已知两杆与铅垂线均夹角=30，长度均为l=1m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量E=210GPa。在节点C处悬挂
18、一重为F=200kN的重物，试求节点C的位移C。【解】：求各杆轴力 取节点C为研究对象， 受力分析列方程。0 xFN2N1sinsin0FF0yFN1N2coscos0FFF 得N1N22cosFFF求各杆变形 由胡克定律得N1122cosF lFlllEAEA 2.4 轴向拉（压）杆的变形 胡克定律【例2.5】图示杆系结构由钢杆AC和BC在点C铰接而成。已知两杆与铅垂线均夹角=30，长度均为l=1m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量E=210GPa。在节点C处悬挂一重为F=200kN的重物，试求节点C的位移C。【解】：（3）求节点C的位移分别以A、B为圆心，以两杆伸长后的长度AC1、BC2
19、为半径作圆弧，交点C即为C点变形后的位置，CC即为节点C的位移。根据小变形假定，近似用垂线代替圆弧，分别过C1、C2作两杆的垂线交于C，CCCC。由对称性知C必与C在同一铅垂线上，由图(c)所示几何关系可得1cosClCC 代入得3329262200 101 41.293 10 m1.293mm2cos2 210 102510cos 30CFlEA 2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.1 材料的拉伸和压缩实验材料的力学性能材料在外力作用下所呈现的有关强度和变形方面的特性杆件进行强度和刚度计算的重要依据通常采用试验的方法测定实验条件：常温、静载拉伸试验标准试件：压缩试验标准试件：10ld
20、或5ld11.3lA或5.65lA2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能用于材料拉伸和压缩试验的设备主要有两类：一类是在试件上施力的设备，如拉力试验机、压力试验机和可作拉伸、 压缩、剪切、弯曲等试验的万能试验机，这些设备是通过试验机的夹头 或承压平台的位移，对放在其中的试件施加拉力或压力，并使试件发生 相应的位移；另一类是量测试件变形的变形仪，可将微小的变形放大，能在所需的精 度范围内量测试件的变形。低碳钢和灰口铸铁是工程上广泛使用的金属材料，它们的力学性能具有典型的代表性，本节重点介绍这两种材料在常温、静载下，拉伸和压缩时的力学性质。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.2 低碳钢在拉伸
21、时的力学性能低碳钢试件拉伸图（F-l曲线）2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能FAll因 ， ，于是可得应力-应变曲线：低碳钢拉伸时的应力-应变曲线2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能应力-应变曲线的四个阶段：u 第 阶段弹性阶段 (OB段) 比例极限 弹性极限PeEtanEu 第 阶段屈服阶段 (BC段)失去抵抗变形的能力（屈服或流动）45方向滑移线 屈服极限su 第 阶段强化阶段 (CD段)恢复抵抗变形的能力 强度极限bu 第 阶段颈缩破坏阶段 (DE段)颈缩现象颈缩现象缩口2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能两个塑性指标延伸率：断面收缩率：1100%lll1100%AAA材料的延伸率反映
22、了材料在破坏时所发生的最大塑性变形程度，它是衡量材料塑性性能的重要指标。为塑性材料为脆性材料5% 5% 2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能卸载规律与冷作硬化材料拉伸试验时，如在强化阶段的某点b处卸载，则荷载与变形之间的关系遵循与Oa大致平行的直线bc回到c点，这一规律称为卸载规律卸载规律。在强化阶段中，试件的变形，包括卸载后消失的弹性变形le和残留下来的塑性变形lp两部分。若在强化阶段卸载后再加载，则荷载与变形之间的关系遵循卸载时的同一直线bc上升到b点，然后仍沿bde变化直到破坏。重新加载后，试件在线弹性范围内承受的最大荷载有所增加，即相当于提高了材料的屈服极限，但同时塑性变形和延伸率下降
23、，这种现象称为冷作硬化冷作硬化。工程上常利用冷作硬化提高钢筋等材料在线弹性范围内的承载力。若在强化阶段的某点b处卸载，经过一段时间后再受拉，则其线弹性范围的最大荷载还有所提高，这种现象称为冷作时效冷作时效。冷作时效不仅与卸载后至加载的时间间隔有关，而且与试件所处的温度有关。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.3 其他塑性材料在拉伸时的力学性能不同材料拉伸时的-曲线不一定都存在低碳钢拉伸时的四个阶段。将如图所示的几种典型金属材料在拉伸时的-曲线与低碳钢的-曲线比较可发现，强铝等材料没有屈服阶段，而其它三个阶段却很明显；另外一些材料如锰钢，则仅有弹性阶段和强化阶段，没有屈服阶段和局部变形阶
24、段。这些材料的共同特点是延伸率较大，都属塑性材料。在工程实际中，对没有屈服阶段的塑性材料，通常规定以产生塑性应变p=0.2%时的应力为名义屈服极限，以p0.2表示。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.4 铸铁在拉伸时的力学性能铸铁是典型的脆性材料，其-曲线如图所示：与低碳钢的-曲线比较，它具有显著的特点，即：几乎从一开始就不是直线，没有低碳钢的四个变形阶段，并且试件断裂时的应力和应变都非常小。衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限b。工程中规定取总应变为某一值时-曲线的割线(图中的虚线)代替曲线在开始部分的直线，从而确定其弹性模量，并称为割线弹性模量。砖石砌体、混凝土等脆性材料的弹性模量
25、也是根据这一原则确定的。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.5 材料在压缩时的力学性能低碳钢在压缩时的力学性质低碳钢压缩时的应力-应变曲线试件最后呈鼓形是由于其端部受到与压板间的摩擦，不能象其中间部分那样自由地发生横向变形而引起的。低碳钢在压缩过程中不会发生断裂，只是受压面积越来越大，所以低碳钢的压缩强度极限无法测定。低碳钢拉伸和压缩的应力应变曲线在弹性阶段和屈服阶段基本重合。拉、压时的比例极限e、弹性极限P、屈服极限s和弹性模量E等均相同。强化阶段后，试件在压缩时的应力随值的增大而明显增大，试件愈压愈扁。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能灰铸铁在压缩时的力学性质2.5.5 材料在压
26、缩时的力学性能灰铸铁压缩时的应力-应变曲线灰铸铁试件受压破坏时，断口较为光滑，断口与试件轴线大约成5055倾角，这表明灰铸铁发生了剪切破坏，其抗剪能力比抗压能力差。其他脆性材料，如混凝土、石材等，抗压强度也远高于抗拉、抗剪强度。因此脆性材料均宜用作受压构件，不宜用作受拉构件。土木工程中的受弯构件常在混凝土中配置钢筋来承担拉力，称为钢筋混凝土构件。铸铁压缩时的强度极限bc和延伸率都比拉伸时大得多。铸铁压缩时的强度极限bc远高于拉伸时的强度极限bt，其关系大约为bc=(3-5)bt 。铸铁压缩和拉伸时的-曲线中直线部分都非常短。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能2.5.6 塑性、脆性材料的力学性
27、能比较变形方面u 塑性材料破坏前有较大的塑性变形；脆性材料破坏前变形非常小。强度方面u 塑性材料在拉伸和压缩时抵抗屈服的能力是相等的，抗剪能力较差；脆性材料的抗压能力最强、抗剪能力次之、抗拉能力最差。故受拉构件一般宜采用塑性材料，脆性材料宜用作受压构件，不宜用作受拉构件。抗冲击能力u 塑性材料在破坏前的变形较大，其抗冲击的能力强于脆性材料，所以塑性材料也适用于受冲击或受振动的构件。应力集中的影响u 实验和理论分析证明，轴心受力杆件在杆横截面尺寸突然变化处，应力不再均匀分布，如在杆件上钻孔、开槽等，都会造成横截面突变处的局部区域内，应力的急剧增大，离开突变区域稍远处，应力又趋于均匀。通常将这种横
28、截面尺寸突然变化处，应力急剧增大的现象称为应力集中。2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大为max。 理论应力集中系数：maxkmm为削弱面上的平均应力。 截面尺寸改变越急剧，应力集中的程度就越严重， k值越大。在静荷载情况下，由塑性材料及由组织不均匀的脆性材料（如铸铁）制成的杆件，可以不考虑应力集中的影响；由组织均匀的脆性材料制成的杆件，应考虑应力集中的影响。在动荷载情况下，无论是塑性材料还是脆性材料制成的杆件，都应考虑应力集中的影响。为了避免和减小应力集中对杆件的不利影响，在设计时应尽量使杆件外形平缓光滑，不使杆截面尺寸发生突然变化。当杆件上必须开有孔洞时
29、，应尽量将孔洞置于低应力区内。2.6 许用应力与安全系数2.6.1 极限应力极限应力0是指构件断裂或产生过大的变形不能正常使用的应力值。塑性材料脆性材料0sP0.2或0b2.6.2 许用应力许用应力是构件在工作时容许承担的最大应力。为了安全，许用应力是将极限应力0除以大于1的系数而得到的，用表示，即0n式中n为大于1的系数，称为安全系数。安全系数的确定十分复杂，安全系数过大，将造成材料的浪费，而安全系数过小，则可能使构件发生破坏。2.6 许用应力与安全系数正确的选择安全系数要考虑以下几方面的问题：实际工程材料的极限应力值，有可能低于这种材料由试件抽样试验的给定极限值；实际构件尺寸可能会小于给定
30、的尺寸；由于荷载估算存在较大的难度，实际荷载可能超过设计中采用的设计荷载；计算简图与实际结构有一定的差异，可能产生偏于不安全的结果。在常温、静荷载作用下，塑性材料的安全系数一般为1.22.5；脆性材料的安全系数一般为2.53.0。材料名称牌号许用应力/MPa轴向拉伸轴向压缩低碳钢Q235170170低合金钢16Mn230230灰铸铁 34-54160-200混凝土C200.447混凝土C300.610.3红松（顺纹） 6.410常用材料的许用应力约值：（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉压杆）2.7 轴向拉（压）杆的强度计算2.7.1 强度条件杆件中所有横截面上正应力的最大值称为最大工作应
31、力，用max表示。最大工作应力所在的截面为危险截面。要使拉压杆有足够的强度，要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即强度条件为：max 对于等直杆，由于横截面面积相同，所以强度条件可写为：N maxmax FA，A为杆件的净截面面积，当杆件有钉孔时，应减去钉孔面积。根据强度条件可对杆件进行强度校核，截面选择和承载力计算。2.7 轴向拉（压）杆的强度计算2.7.2 强度条件的应用强度校核u 利用强度条件对杆件的强度进行验算。已知杆件的轴力FN，截面面积A和材料的许用应力，如果满足max= FN,max/A，则杆件的强度满足要求，否则杆件就可能发生破坏。截面选择u 已知杆件的轴力FN和材料的
32、许用应力，可根据强度条件确定杆件所需的横截面面积A，计算公式为 。承载力计算u 已知杆件横截面面积A和材料的需用应力，可根据强度条件确定杆件所能承受的最大轴力FN,max，计算公式为FN,maxA，由最大轴力FN,max可进一步确定结构的最大承载力。N,max FA2.7 轴向拉（压）杆的强度计算【例2.6】如图所示结构，在刚性杆AC上作用有集中荷载F120kN，钢拉杆BC由L568的等边角钢制成，其许用应力140MPa。试校核拉杆BC的强度。【解】：计算拉杆BC的轴力FN强度校核对刚性杆AC由型钢表查得拉杆BC的横截面面积A8.367cm2，则杆BC横截面上的应力为：0AMNsin2.4m1
33、.2mFF又3sin3.8 得N76kNF 3N4276 10 N90.8MPa 140MPa8.367 10 mFA故拉杆BC满足强度要求。2.7 轴向拉（压）杆的强度计算【例2.7】若例2.6中拉杆BC由等边角钢制成，但角钢型号未知，其它条件不变。试选择拉杆BC的角钢型号。【解】：计算拉杆BC的轴力FN截面选择 例2.6中已求出查型钢表可选565的等边角钢，其横截面面积A=5.415cm2 5.429cm2 ，满足要求。N76kNF 32N676 10 N5.429cm 140 10 PaFA2.7 轴向拉（压）杆的强度计算【例2.8】三角形杆系结构如图所示。AC杆和BC杆均为直径d=20
34、mm的圆截面钢杆，材料的许用应力150MPa。试确定该结构的容许荷载F。【解】确定各杆内力与外荷载的关系求各杆的许用内力取C结点为隔离体，由平衡方程0yFNNcos30cos450ACBCFFF得：0 xFNNsin45sin300BCACFF N0.732ACFFN0.518ABFFAC、BC杆的许用内力均为：226N0.02 m 150 10 Pa47.1kN4FA 求许可荷载按AC杆确定结构的许可荷载F为：N47.1kN 64kN0.7320.732FF 2.8 简单的拉（压）超静定问题2.8.1 超静定问题及其求解方法静定与超静定问题仅用静力平衡方程就可求解出全部未知力的结构称为静定结
35、构，这类问题称为静定问题。仅用静力平衡方程不能求解出全部未知力的结构称为超静定结构，这类问题称为超静定问题。在工程实际中，经常采用在静定结构上增加约束的方式减小构件的内力或变形（位移），增加的这个约束习惯上称为多余约束。由于多余约束的存在，未知力的数目多于独立的静力平衡方程式数目。未知力数目多出独立静力平衡方程数目的个数称为超静定次数。2.8 简单的拉（压）超静定问题分析结构受力，确定未知力的数目、独立平衡方程的数目，进而确定超静定次数。由静力平衡条件列出所有独立的静力平衡方程。由变形协调条件和力与变形之间的物理关系建立补充方程。 补充方程的数目应等于超静定的次数。联立求解静力平衡方程和补充方
36、程。超静定问题的求解方法2.8 简单的拉（压）超静定问题【例2.9】如图所示结构，刚性杆AB的A端铰支，B端作用有集中荷载F=50kN，CD、EF为两根长度相等，材料相同的链杆，求两根链杆的轴力。【解】：建立静力平衡方程建立变形协调方程 刚性杆AB的受力图，如图所示。0AMN1N2230F aF aFaN1N2230FFF 由变形几何关系：212ll 建立补充方程N11F llEA N22F llEAN2N12FF 联立解得N13350kN30kN55FFN26650kN60kN55FF2.8 简单的拉（压）超静定问题2.8.2 装配应力与温度应力简介装配应力在工程实际中，构件的制造难免会有微
37、小的误差，这种误差只会略微改变静定结构的几何形状，并不会在构件中产生应力。在超静定结构中，由于有多余约束的存在，装配时会在构件中产生应力，这种应力是强行装配引起的，一般称为装配应力装配应力。装配应力是结构在荷载作用前就存在的应力，是一种初应力。计算装配应力时，建立变形协调方程是关键。在工程实际中，装配应力的存在，有时是不利的，应尽量避免。有时也有意识的利用装配应力，比如预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件的承载能力。2.8 简单的拉（压）超静定问题2.8.2 装配应力与温度应力简介（2）温度应力温度的变化会引起构件的伸长或缩短。在静定结构中，由于构件可以自由变形，在构件中不会引起应
38、力。在超静定结构中，由于有多余约束的存在，构件的变形受到限制，当温度变化时，就会在构件中产生应力。这种因温度变化而引起的应力称为温度应力温度应力。温度应力也是一种初应力。计算温度应力的关键同样是要确定变形协调方程。在实际应用中，常要考虑温度变化的影响，采取一些措施来降低或消除温度应力。比如在铁道中两段钢轨的接头处、混凝土路面中，都留有适当的空隙；在承受高温的管道中，要设置伸缩节等。采用这些措施调节温度变化引起的伸缩，能有效地降低温度应力的影响。p 本章小结 轴力FN是轴向拉（压）杆横截面上的内力，轴力的特点是作用线与杆轴线重合。 轴力图反映了轴向拉（压）杆的内力即轴力随横截面位置的变化情况。
39、轴向拉（压）杆横截面上只有均匀分布的正应力，45斜截面上的切应力最大。横截面上的正应力计算公式为： 胡克定律反映了材料在线弹性范围内工作时，力与变形之间的关系。对轴向拉（压）杆，其表达式为： 纵向线应变与横向线应变之间的关系为 =- 。 低碳钢是典型的塑性材料，其拉伸时的应力-应变曲线可分为：弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段。衡量其强度的指标有屈服极限s和强度极限b。 铸铁是典型的脆性材料，衡量其强度的唯一指标是强度极限b。NFANF llEEA 或p 本章小结 衡量材料塑性性能的指标有延伸率和断面收缩率。 受拉构件宜用塑性材料制造，脆性材料宜用作受压构件。 名义屈服极限P0.2是材料产生0.2%塑性应变时所对应的应力，应强调的是0.2%的应变是塑性应变，不包括弹性应变。 材料的许用应力 ，对塑性材料0= s或P0.2 ，对脆性材料0= b。 轴向拉（压）杆的强度条件，对等直杆为： 。 在利用强度条件计算时，危险截面的确定是计算的关键，应注意两点：对等直杆，可用最大内力FN,max所在截面确定危险截面；对变截面杆，用最大应力max所在截面确定危险截面。 仅用静力平衡方程不能求出全部支座反力和杆件内力的问题称为超静定问题。超静定的次数是未知力的数目与独立的静力平衡方程式数目之差。求解超静定问题的关键是建立符合约束的补充方程即变形协调方程和物理方程。0 nN,maxmax FA