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1、同济六版高等数学第八章第同济六版高等数学第八章第一节课件一节课件上页下页铃结束返回首页一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量. v向量 有向线段的长度表示方向的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.v向量的表示法 下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a; (2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).下页上页下页铃结束返回首页向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a)
2、. 负向量三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立. 与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 下页上页下页铃结束返回首页 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向当0时与a相同, 当2.向量与数的乘法 当=-1时, 有(-1)a =-a. 当=1时, 有1a=a; 下页上页下页铃结束返回首页 (1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. 向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化 于是a=|a|
3、ea. 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向当0时与a相同, 当 v定理1(向量平行的充要条件) 定理证明 给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox. 对于轴上任一点 P, 必有唯一的实数 x, 使OP=xi, 并且 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x. 实数x称为轴上点P的坐标. v数轴与点的坐标 首页上页下页铃结束返回首页说明：三、空间直角坐标系 v空间直角坐标系 y轴 z轴原点 x轴 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的
4、数轴, 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系. (2)数轴的的正向通常符合右手规则. (1)通常把x轴和y轴配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线;下页上页下页铃结束返回首页 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. 坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.下页上页下页铃结束返回首页 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面. 坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.卦限 坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫
5、做卦限, 分别用字母I、II、III、IV等表示. 下页上页下页铃结束返回首页v向量的坐标分解式 +=+=OROQOPNMPNOPOMr 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 任给向量 r, 对应有点 M, 使r=OM. 设 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 则 kjirzyxOM+=. 下页+=+=OROQOPNMPNOPOMr, 上页下页铃结束返回首页v向量的坐标分解式 kjirzyxOM+=. 上式称为向量r的坐标分解式. xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量. 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 任给向量r, 存在点M及xi、yj、z
6、k, 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); 有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z). ) , ,(zyxzyxOMM+=kjir. 下页上页下页铃结束返回首页v向量的坐标分解式 kjirzyxOM+=. 上式称为向量r的坐标分解式. xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量. 任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); 有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z). 向量 称为点M关于原点O的向 径. =OMr下页上页下页铃结束返回首页 坐标面上
7、和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 点M在zOx面上的点, y=0; 点M在xOy面上的点, z=0. 点M在x轴上, 则y=z=0; 点M在y轴上,有z=x=0; 点M在z轴上的点, 有x=y=0. 点M为原点, 则x=y=z=0.v坐标轴上及坐标面上点的特征首页上页下页铃结束返回首页提示：四、利用坐标作向量的线性运算 下页 a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, a =(ax)i+(ay)j
8、+(az)k. 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上页下页铃结束返回首页四、利用坐标作向量的线性运算 例 2 求解以向量为未知元的线性方程组=-=-byxayx2335, 例2其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次线性方程组, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b. 以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11,
9、-2, 16). 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 下页上页下页铃结束返回首页v利用坐标判断两个向量的平行 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因为 b/a b=a, 即 b/a (bx, by, bz)=(ax, ay, az), 所以 b/a 下页zzyyxxababab=. 四、利用坐标作向量的线性运算 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz
10、), 上页下页铃结束返回首页) 1 ,1 ,1 (212121+=zzyyxx, 从而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM, -=OAOMAM, 解 例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1, 在直线 AB 上求一点 M, 使= MBAM. 这就是点M的坐标. 由于 , -=OMOBMB, 首页上页下页铃结束返回首页五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量 r=(x, y, z), 作r=OM, 则 +=OROQOPOMr, 按勾股定理可得 222|OROQOPOM+=r, 由 i xOP=, j yOQ
11、=, kzOR=, 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐标表示式222|zyx+=r. 下页上页下页铃结束返回首页1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r=(x, y, z), 作, 则 222|zyx+=r. 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则-=OAOBAB=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是点A与点B间的距离为 212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 下页五、向量的模、方向角、投影 上页下页铃结束返回首页 例4 求
12、证以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r=(x, y, z), 作, 则 222|zyx+=r. 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 所以|M2M3|=|M1M3|, 即DM1M2M3为等腰三角形. |M1M3|2 =6, =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 |M2M3|2 =14, =(7-4)2+(1-3)2+(2-1
13、)2 |M1M2|2 解 因为 下页五、向量的模、方向角、投影 上页下页铃结束返回首页解之得914=z. 于是, 所求的点为 例5 在z轴上求与点A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点. 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r=(x, y, z), 作, 则 222|zyx+=r. 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2设所求的点为M(0, 0, z), 解 依题意有|MA|2=|MB|2, =(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)
14、2. 下页五、向量的模、方向角、投影 914=z. 于是, 所求的点为)914 , 0 , 0(M. 上页下页铃结束返回首页14) 2(13|222=-+=AB, 例6 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求与 方向相同的单位向量e. AB 解 因为) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB 解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7 (-=-=AB) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7 (-=-=AB, 所以 ) 2 , 1 , 3 (141|-=ABABe. 下
15、页上页下页铃结束返回首页2.方向角与方向余弦 两个向量的夹角下页 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角, 记作(a,b)或(b,a). 如果向量a与b中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. 上页下页铃结束返回首页向量的方向角和方向余弦 下页 非零向量r与三条坐标轴的夹角、称为向量r的方向角. cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦. |cosrx=, |cosry=, |cosrz=. 设r=(x, y, z), 则rerr=|1)cos ,cos ,(cos.
16、 显然 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量er. cos2+cos2+cos2=1. 因此 上页下页铃结束返回首页32=, 3=, 43 =. 21cos-=, 21cos=, 22cos-=; 下页 解 rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 例 3 设已知两点)2 , 2 , 2( A)和 B (1, 3, 0), 计算向量 例7 AB的模、方向余弦和方向角. 解 )2 , 1 , 1()20 , 23 , 21 (-=-=AB; 2)2(1) 1(|222=-+-=AB; 上页下页铃结束返回首页3.向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴. 任给向量 r,
17、 作r=OM, 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M, 则向量 MO称为向量 r 在 u 轴上的分向量. 设e=MO, 则数称为向量 r 在 u 轴上的投影, 记作 Prjur或(r)u. 下页上页下页铃结束返回首页 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax, ay, az就是a在三条坐标轴上的投影, 即ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 性质3 (a)u=(a)u (即Prju(a)=Prjua).性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)=Prjua+Prjub); 性质1 (a)u=|a|cos (即Prjua=|a|cos), 其中为向量与u轴的夹角; v投影的性质 3.向量在轴上的投影 结束上页下页铃结束返回首页作业作业P12 3,5,15