最新同济六版高等数学第八章第五节课件幻灯片.ppt-淘文阁

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1、同济六版高等数学第八章第同济六版高等数学第八章第五节课件五节课件上页下页铃结束返回首页一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面, 这向量就叫做该平面的法线向量. v法线向量平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 当平面上一点M0(x0, y0, z0)和它的一个法线向量n=(A, B, C)为已知时, 平面的位置就完全确定了. v唯一确定平面的条件下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b

2、, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0). 将其代入所设方程, 得下页解由此得 aDA =, bDB=, cDC=. 因为点P、Q、R都在这平面上, 所以它们的坐标都满足所设方程, 即有 aAD=0, bBD=0, cCD=0, 设所求平面的方程为AxByCzD=0. 0=DzcDybDxaD, 即0=DzcDybDxaD 即1=czbyax. 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距. 上页下页铃结束返回首页三、两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2)

3、, 那么平面1和2的夹角应满足下页22222221212121212121| ) ,cos(|cosCBACBACCBBAA=nn. 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.上页下页铃结束返回首页例5 求两平面 xy2z6=0和2xyz5=0的夹角. 平面A1xB1yC1zD1=0和A2xB2yC2zD2=0夹角的余弦: n1=(1, 1, 2), n2=(2, 1, 1). 因为解下页222222212121212121|cosCBACBACCBBAA=. 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA= 211122) 1(1| 121) 1(2

4、1 |222222=, 所以, 所求夹角为3=. 上页下页铃结束返回首页平面A1xB1yC1zD1=0和A2xB2yC2zD2=0互相垂直的充要条件是 A1A2B1B2C1C2=0. v两平面垂直的条件 v两平面平行的条件平面A1xB1yC1zD1=0和A2xB2yC2zD2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 下页平面A1xB1yC1zD1=0和A2xB2yC2zD2=0夹角的余弦:222222212121212121|cosCBACBACCBBAA=. 上页下页铃结束返回首页例6 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)且垂直于平面

5、 xyz=0, 求它的方程. 设所求平面的法线向量为n=(A, B, C). 因为M1和M2在所求平面上, 所以nn1, 即 A2C=0, A=2C. 又因为所求平面垂直于平面xyz=0, 所以nn2, 即 ABC=0, B=C. 由点法式方程, 所求平面为 2C(x1)C(y1)C(z1)=0, 即 2xyz=0. 从点M1到点M2的向量为n1=(1, 0, 2),平面xyz=0的法线向量为n2=(1, 1, 1). 解下页方法一：上页下页铃结束返回首页所求平面的法线向量n可取为n1n2. 因为所以所求平面方程为 2(x1)(y1)(z1)=0, 即 2xyz=0. 下页例6 一平面

6、通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)且垂直于平面 xyz=0, 求它的方程. 从点M1到点M2的向量为n1=(1, 0, 2),平面xyz=0的法线向量为n2=(1, 1, 1). 解方法二：kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21, 上页下页铃结束返回首页提示：例7 设P0(x0, y0, z0)是平面AxByCzD=0外一点, 求P0到这平面的距离. 下页解设en是平面上的单位法线向量. 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1),|01nPPde = 222101010

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