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1、1 / 11 2009 年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷 ) 数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 若2loga 0，1( )2b1，则 (D) Aa1,b 0 Ba1,b 0 C. 0a1, b 0 D. 0a 1,b 0 2对于非0 向时 a,b, “ a/b ”的确良（A）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3将函数y=sinx的图象向左平移(02)的单位后，得到函数y=sin()6x的图象，则等于（D）A6B56 C. 76 D.1164如图
2、1，当参数2时，连续函数(0)1xyxx的图像分别对应曲线1C和2C , 则 B A10 B10C 120 D 2105.从 10 名大学生毕业生中选3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知 D 是由不等式组2030 xyxy，所确定的平面区域，则圆224xy在区域 D 内的弧长为 B A 4 B2 C 34 D327正方体ABCD 1A1B1C1D的棱上到异面直线AB ，C1C的距离相等的点的个数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，
3、共 11 页2 / 11 （C）A2B3 C. 4 D. 5 8.设函数( )yf x在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数( ),( )( ),( )kf xf xKfxK f xK取函数( )f x=12xe。若对任意的(,)x，恒有( )kfx=( )fx，则AK 的最大值为2 B. K 的最小值为2 CK 的最大值为1 D. K 的最小值为1 【D】二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共30 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_
4、12_ 10在323(1)(1)(1)xxx的展开式中，x的系数为 _7_(用数字作答 ) 11、若 x(0,2) 则 2tanx+tan(2-x)的最小值为22. 12、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C 的离心率为6213、一个总体分为A，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数数位 50 。14、在半径为13 的球面上有A , B, C 三点， AB=6 ，BC=8 ，CA=10 ，则（1）球心到平面ABC 的距离为 12 ；（2）过
5、， B 两点的大圆面为平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 15、将正 ABC 分割成n2（n2，nN）个全等的小正三角形（图2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3 时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2 ， f(3)=103， ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 / 11 f(n)=16(n+1)(n+2) 三
6、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12 分）在ABC，已知2233AB ACABACBC，求角 A，B，C 的大小。解：设,BCa ACb ABc由23AB ACABAC得2cos3bcAbc，所以3cos2A又(0,),A因此6A由233ABACBC得23bca，于是23sinsin3sin4CBA所以53sinsin()64CC，133sin(cossin)224CCC，因此22sincos2 3sin3,sin 23cos20CCCCC，既sin(2)03C由 A=6知506C，所以3，4233C，从而20,3C或2,3C，既
7、,6C或2,3C故2,636ABC或2,663ABC。17.（本小题满分12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的.12、13、16，现在3 名工人独立地从中任选一个工程参与建设。（I）求他们选择的工程所属类别互不相同的概率；（II ）记为 3 人中选择的工程属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 的分布列及数学期望。解:记第1 名工人选择的工程属于基础设施工程、民
8、生工程和产业建设工程分别为事件1A,1B,1C， i=1，2，3.由题意知1A23A A相互独立，1B23B B相互独立，1C23C C相互独立，1A,1B,1C（ i， j， k=1， 2， 3，且i， j， k 互不相同）相互独立，且P（1A） =， P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的工程所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C） =6121316=16(2) 解法1 设 3 名工人中选择的工程属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13），且=3。所以 P（=0）=P（=3）=13C31( )3=127， P（=1）=P（=2）=
9、23C31( )32( )3=29P（=2） =P（=1）=13C1( )322()3=49P（=3） =P（=0）=03C32( )3=827故的分布是0 1 2 3 P 1272949827的数学期望E=0127+129+249+3827=2 解法 2 第 i 名工人选择的工程属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3 ，由此已知，1D D，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C） =P（1A） +P（1C）=12+16=23所以-2(3,)3B,既3321()() ( )33KKKPKC，0,1,2,3.k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、 - - - - -第 4 页，共 11 页5 / 11 故的分布列是01 2 3 p127294982718.（本小题满分12 分）如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD 是11AB的中点，点E在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACC A（II ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解 （I） 如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC又 DE平面 A1B1C1，所以 DEAA1. 而 DEAE 。 AA1AE=A 所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE ，故平面ADE平面 ACC1A1。（2） 解法1如图所示，设F 使 A
11、B 的中点，连接DF 、DC 、CF，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D 是 A1B 的中点知A1BC1D， A1BDF 又 C1DDF=D ，所以 A1B平面 C1DF，而 ABA1B，所以AB平面 C1DF，又 AB平面 ABC ，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 平面 ABC1平面 C1DF。过点 D 做 DH 垂直 C1F 于点 H，则 DH平面 ABC1。连接 AH ，则HAD 是 AD 和平面 ABC1所成的角。由已知 AB=2AA1，不妨设AA1=2，则 AB=2 ，DF=2，D
12、C1=3，C1F=5，AD=221ADAA=3，DH=FCDCDF11=532530，所以 sinHAD=ADDH=510。即直线 AD 和平面 ABC1所成角的正弦值为510。解法 2如图所示，设O 使 AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则 AB=2 ，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0) ， B（3，0，0）， C1（0，1，2）， D（23，-21，2）。易知AB=(3，1，0)，1AC=(0， 2，2)，AD=(23，-21，2）设平面 ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有,022, 031zyACnyxABn解得 x=-33y， z=-y2，故可
13、取 n=(1，-3，6)。所以，cos(nAD)=ADnADn=31032=510。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 由此即知，直线AD 和平面 ABC1所成角的正弦值为510。19.（本小题满分13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距mM，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为xM 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（）试写出y关于x的函数关
14、系式；（）当m=640M 时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解 （）设需要新建n个桥墩，(1)1mnxmx，即 n=所以(2)mmxx xxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx（）由（）知，2332222561( )(512).22mmfxmxxxx令( )0fx，得32512x，所以x=64 当 0 x64 时( )fx0. ( )f x在区间（ 64，640）内为增函数，所以( )fx在x=64 处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建9个桥墩才能使y最小。20（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点 F
15、（3，0）的距离的4 倍与它到直线x=2 的距离的3倍之和记为d，当 P点运动时， d 恒等于点P的横坐标与18 之和（）求点P的轨迹 C；（）设过点F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段MN 长度的最大值。解（）设点P的坐标为（ x， y），则224 (3)dxy3x-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 由题设当 x2 时，由得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy当2x时 由得22(3)3,xyx化简得212yx故点 P 的轨迹C 是椭圆221:13627xyC在直
16、线x=2 的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2 的左侧部分（包括它与直线x=2 的交点）所组成的曲线，参见图1 （）如图2 所示，易知直线x=2 与1C，2C的交点都是A（2，2 6），B（2，2 6），直线AF，BF 的斜率分别为AFk=2 6，BFk=2 6. 当点 P在1C上时，由知162PFx. 当点 P在2C上时，由知3PFx若直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为(3)yk x（i）当kAFk，或kBFk，即k-26时，直线I 与轨迹C 的两个交点M（1x，1y）， N（2x，2y）都在 C1上，此时由知MF = 6 -121xNF= 6 -122x从而 MN =
17、 MF + NF= （ 6 -121x）+ （6 -122x）=12 - 12( 1x+2x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 由22(3)13627yk xxy得2222(34)24361080kxk xk则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk* MN =12 - 12（1x+2x） =12 - 221234kk因为当22 6,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkk当且仅当2 6k时，等号成立。（ 2 ） 当,2626A EA Nkkkk时
18、 ， 直 线L与 轨 迹C的 两 个 交 点1122(,),(,)M x yN xy分别在12,C C上，不妨设点M在1C上，点2C上，则知，1216,32MFxNFx设直线 AF 与椭圆1C的另一交点为E00012(,),2.xyxx x则1021166,33222MFxxEFNFxAF所以MNMFNFEFAFAE。而点 A，E 都在1C上，且2 6,AEk有（ 1）知100100,1111AEMN所以若直线的斜率不存在，则1x=2x=3，此时12110012()9211MNxx综上所述，线段MN 长度的最大值为1001121.（本小题满分13 分）对于数列nu若存在常数M0,对任意的nN，
19、恒有1121.nnnnuuuuuuM则称数列nu为 B-数列（1）首项为 1，公比为(1)q q的等比数列是否为B-数列？请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2）设nS是数列nx的前n项和，给出下列两组论断；A 组：数列nx是 B- 数列数列nx不是 B-数列B 组：数列nS是 B-数列数列nS不是 B- 数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命
20、题的真假，并证明你的结论；（3） 若数列,nnab都是B数列，证明：数列nna b也是B数列。解（ 1）设满足题设的等比数列为na,则1nnaq，于是21211 ,2nnnnnaaqqqqn因此1na-na+na-1na+2a-1a=211 (1.).nqqqq因为1,q所以21111.,11nnqqqqqq即11211.1nnnnqaaaaaaq故首项为1，公比为q(1)q的等比数列是B-数列。（2）命题 1：若数列nx是 B-数列，则数列nS是 B-数列次命题为假命题。事实上，设1,nxnN，易知数列nx是 B- 数列，但nSn1121.nnnnSSSSSSn由n的任意性知，数列nS是 B
21、-数列此命题为。命题 2：若数列nS是 B-数列，则数列nx是 B-数列此命题为真命题事实上，因为数列nS是 B-数列，所以存在正数M，对任意的1,n有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 1121.nnnnSSSSSSM即12.nnxxxM。于是1121.nnnnxxxxxx1121122.222nnnxxxxxMx所以数列nx是 B-数列。（III）若数列na nb是B数列，则存在正数12.M M，对任意的,nN有11211.nnnnaaaaaaM11212.nnnnbbbabbM注意到112211.nnnnnaaaaaaaa11221111.nnnnaaaaaaaMa同理：21nbMb记222KMb，则有222KMb111111nnnnnnnnnnnnaba baba ba ba b1111111nnnnnnnnnnbaaabbK aak bb因此111212112(.)nnnnKbbbbaak Mk M +111212112(.)nnnnKbbbbaak Mk M故数列nna b是B数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页