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1、1 / 11 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工类）一- 选择题（每小题5分，共 60 分）（1）已知集合M=x|-3 x5,N=x|-5x5,则 M N= (A) x|-5x5 (B) x|-3x5 (C) x|-5x 5 (D) x|-30,V=S-T (B) A0, V=S+T （D）A0, V=S+T （11）正六棱锥P-ABCDEF 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥 P-GAC 体积之比为（A）1：1 (B) 1 ：2 (C) 2 ：1 (D) 3 ：2 （12）若1x满足 2x+2x=5,2x满足 2x+22log(x-1)=5,1x
2、+2x= （A）52 (B)3 (C) 72 (D)4 （13）某企业有3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h， 1020h，1032h，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为 h. （14）等差数列na的前n项和为nS，且53655,SS则4a（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为3m（ 16）以知F 是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),
3、AP是双曲线右支上的动点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 / 11 PFPA的最小值为。（17）（本小题满分12 分）如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060， AC=0.1km 。试探究图中B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ， D 的 距 离 （ 计 算 结 果 精 确 到0.01km ，21.414 ，62.449）（18）
4、（本小题满分12 分）如图，已知两个正方行ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB，DF 的中点 。（I）若平面ABCD 平面 DCEF，求直线MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。（19）（本小题满分12 分）某人向一目射击4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（）若目标被击中2 次， A 表示事件“第一部分至少被击中1 次或第二部分被击中2次”，求 P（A
5、）13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 （20）（本小题满分12 分）已知，椭圆C 过点 A3(1, )2，两个焦点为（-1，0），（ 1，0）。（1）求椭圆 C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值。（21）（本小题满分12 分）已知函数f(x)=21x2-ax+(a-1)ln x，1a。（1）讨论函数( )f x的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1f
6、 xf xxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 / 11 请考生在第（22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明讲已知ABC 中， AB=AC, D 是ABC 外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至 E。（1）求证： AD 的延长线平分CDE ；（2）若BAC=30 ，ABC 中 BC 边上的高为2+3，求ABC 外接圆的面积。（23）（本小题满分10
7、分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos（3）=1，M,N 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。（1）写出 C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设 MN 的中点为P，求直线OP 的极坐标方程。（24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲设函数( )|1|f xxxa。（1）若1,a解不等式( )3fx；（2）如果xR,( )2f x,求a的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 参考
8、答案(1) B (2) D (3) B (4)B (5)A (6)B (7)D (8) C (9) A (10) C (11)C (12)C (13)1013 (14) 31 (15) 4 (16)9 (17)解: 在 ABC 中， DAC=3 0, ADC=60 DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60，故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线，所以BD=BA ， 5 分在 ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此， BD=。km33.020623故 B，D 的距离约为0.33km。 12 分（1
9、8）（ I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD ， DCEF 的边长为2，则 MG CD，MG=2 ，NG=2. 因为平面 ABCD 平面 DCED，所以 MG平面 DCEF ，可得 MNG 是 MN 与平面DCEF 所成的角。因为MN=6，所以sinMNG=36为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分解法二：设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA 为x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则 M（1,0,2）,N(0,1,0), 可得MN=(-1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面DCEF
10、的法向量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 可得 cos(MN,DA)=36|DAMNDAMN所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos36, DAMN 6分( )假设直线ME 与 BN 共面， 8 分则 A B平面 MBEN ，且平面MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面 DCEF。又 AB/CD ，所以 AB/ 平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN 。又 AB/CD/EF ，所以 EN/EF，这与 EN
11、 EF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分（19）解：（）依题意X 的分列为6 分（）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”， i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”， i=1，2. 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2） =P(B2)=0.3，11111122AA BA BA BA B, 所求的概率为11111122()()()()P AP A BP A BP A BP A B（）11111122()() () ()() ()P A BP A P BP A P BP A P B（0.1 0.90.9
12、 0.10.1 0.1 0.3 0.30.28（20）解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 （）由题意，c=1,可设椭圆方程为2219114bb，解得23b，234b（舍去）所以椭圆方程为22143xy。 4 分（）设直线AE 方程为：3(1)2yk x，代入22143xy得2223(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设(x,y )EEE,(x,y )FFF,因为点3(1, )2A在椭圆上，所以2234()122x34Fkk32EEykxk 8分又直线 AF 的斜率与AE 的斜率互为相反
13、数，在上式中以K 代 K，可得2234()122x34Fkk32EEykxk所以直线 EF 的斜率()212FEFEEFFEFEyyk xxkKxxxx即直线 EF 的斜率为定值，其值为12。 12 分(21)解： (1)( )f x的定义域为(0,)。211(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx2 分（i）若11a即2a,则2(1)( )xfxx故( )f x在(0,)单调增加。(ii) 若11a,而1a,故12a,则当(1,1)xa时，( )0fx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 当(
14、0,1)xa及(1,)x时，( )0fx故( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加。(iii) 若11a,即2a,同理可得( )f x在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加 . (II) 考虑函数( )( )g xf xx21(1)ln2xaxaxx则211( )(1)2(1)1(11)aag xxaxaaxxg由 于1a5, 故( )0g x， 即g(x) 在 (4, + ) 单 调 增 加 ， 从 而 当120 xx时 有12()()0g xg x， 即1212()()0fxfxxx，故1212()()1f xf xxx，当120 xx时，有1
15、2211221()()()()1f xf xfxf xxxxx12 分（22）解：（）如图，设F 为 AD 延长线上一点A，B，C，D 四点共圆， CDF=ABC 又 AB=AC ABC= ACB, 且 ADB= ACB, ADB= CDF, 对顶角 EDF= ADB, 故 EDF= CDF, 即 AD的延长线平分CDE. （）设O为外接圆圆心，连接AO交 BC于 H, 则 AH BC. 连接 OC,A由题意 OAC= OCA=150, ACB=750, OCH=600. 设圆半径为r, 则 r+23r=2+3,a 得 r=2, 外接圆的面积为4。（23）解：（）由得1)3cos(精选学习资料
16、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 1)sin23cos21(从而 C的直角坐标方程为)2,332(3322)0, 2(202312321NMyxyx，所以时，所以时，即（） M点的直角坐标为（2， 0）N点的直角坐标为)332,0(所以 P点的直角坐标为),6,332(),33. 1(点的极坐标为则P所以直线 OP的极坐标方程为),(,（24）解：（）当 a=-1 时， f(x) = x-1 +x+1. 由 f(x) 3 得x-1 +x+1| 3 （） x-1 时，不等式化为1-x-1-x3 即-2x 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页