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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年一般高等等学校招生全国统一考试 湖南卷 数学（理工农医类）一、挑选题：本大题共8 小题,每道题5 分,共 40 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；1 如log a 0,1 2b 1,就 D a1, b 0 D. 0a 1,b 0 Aa1,b 0 Ba1,b 0 C. 02对于非 0 向时 a,b, “a/b ” 的确良（A）必要不充分条件 既不充分也不必要条件A充分不必要条件 B. C充分必要条件 D. 3将函数y=sinx的图象向左平移 02 的单位后,得到函数y=sin x6的图象,就等于（ D）11 6A
2、6B5 6 C. 7 D.6y1xxx0的图像分别对应曲线C 和C , 4如图1,当参数2时,连续函数就 B A01 B0111 人入选,而丙没有入C 120 D 205.从 10 名高校生毕业生中选3 个人担任村长助理,就甲、乙至少有选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知 D 是由不等式组x2y0,所确定的平面区域,就圆2 xy24在区域 D 内x3y0的弧长为 B A 4 B2A 1 C 3 4 D3 2AB ,CC 的距离相等的点的个数为7正方体ABCD B 1C 1D 的棱上到异面直线1 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
3、,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （C）A2B3 C. 4 D. 5 8.设函数 y f x 在（,+）内有定义；对于给定的正数 K,定义函数f x , f x Kf k K f x K取函数 f x = 2 x e 1；如对任意的 x , ,恒有 kf x = f x ,就AK 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 CK 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 【D】二、填空题：本大题共 7 小题,每道题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9某班共 30 人,其中 15 人宠爱篮球运动,10 人宠爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不
4、宠爱,就宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为 _12_ 3 2 310在 1 x 1 x 1 x 的绽开式中,x 的系数为 _7_用数字作答 11、如 x0, 就 2tanx+tan-x的最小值为 2 2 . 2 212、已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 o ,就双曲线 C 的离心率为 6213、一个总体分为 A ,B 两层,其个体数之比为 4：1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 1,就总体中的个数数位 50 ；2814、在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点, AB=6 ,B
5、C=8 ,CA=10 ,就（1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2）过, B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 3 15、将正 ABC 分割成 n 2 （ n 2,nN）个全等的小正三角形（图 2,图 3 分别给出了n=2,3 的情形）,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于ABC 的三遍及平行于某边的任始终线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列,如顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记全部顶点上的数之和为 fn ,就有 f2=2 , f3=10, ,32 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11
6、 页精选学习资料 - - - - - - - - - fn=1 6n+1n+2 三解答题：本大题共 6 小题,共 75 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；16.（本小题满分12 分）0在ABC ,已知2AB AC3ABAC3BC2,求角 A,B,C 的大小；解：设BCa ACb ABc由 2AB AC3ABAC 得 2 bccosA3 bc,所以cosA32又A0,因此A6由3ABAC32 BC 得bc2 3 a ,于是sinCsinB3sin2A34所以sinCsin5C3,sinC1cosC3sinC3,因此642242sinCcos C2 3sin2C3,sin 2 C3cos
7、2C0,既 sin2C3由 A=6知0C5,所以3,2 C34,从而632C30,或 2 C3,既C6,或C2,故3A6,B2,C6,或A6,B6,C2；3317.（本小题满分12 分）为拉动经济增长,某市打算新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含工程的个数分别占总数的.1 2、1 3、1 6,现在 3 名工人独立地从中任选一个工程参加建设；（I）求他们挑选的工程所属类别互不相同的概率；（II ）记 为 3 人中挑选的工程属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求3 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选
8、学习资料 - - - - - - - - - 的分布列及数学期望；解:记第 1 名工人挑选的工程属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为大事1A , B , 1 C , i=1 ,2,3.由题意知 A 1 A A 相互独立,1B B B 相互独立,C 1 C C 相互独立,A , B , C （ i, j, k=1 , 2, 3,且 i, j, k 互不相同）相互独立,且 P（1A ） =, P（1B ）= 1,P（C ）=13 6（1）他们挑选的工程所属类别互不相同的概率P=3！P（A 1 B 2 C ）=6P（3 A ）P（B ）P（2 C ） =61 3 1 1 =12 3 6 6
9、2 解法 1 设 3 名工人中挑选的工程属于民生工程的人数为,由己已知,-B（3,1）,且 =3；3所以 P（=0）=P（=3）= C 3 1 1 3 =1,3 27 P（=1）=P（=2）= C 3 2 1 3 2 =23 3 9P（=2） =P（=1）= C 3 1 1 2 2 =43 3 9P（=3） =P（=0）= C 3 0 2 3 =83 27故 的分布是0 1 2 3 P 1 2 4 827 9 9 27的数学期望 E =0 1 +12 +24 +3 8=2 27 9 9 27解法 2 第 i 名工人挑选的工程属于基础工程或产业工程分别为大事 D ,i=1,2,3 ,由此已知,D
10、 D,D 相互独立,且P（D ）-（1A ,C ） =P（A ） +P（C ）=1 +1 =22 6 3所以-B 3, 2 ,既 P K C 3 K 2 K 1 3 K,k 0,1,2,3.3 3 34 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故 的分布列是01 2 A B C 13 48p1227992718.（本小题满分12 分）平面如图 4,在正三棱柱ABCA B C 中,AB2AAD 是A B 的中点,点E 在AC 上,且 DEAE ；（I）证明平面 ADE平面ACC A 1（II ）求直线 AD 和平
11、面 ABC 所成角的正弦值；解 （I） 如下列图,由正三棱柱ABCA B C 的性质知AA 1又 DE 平面 A 1 B 1C 1 ,所以 DE AA 1 . 而 DE AE ； AA 1 AE=A 所以 DE 平面 ACC 1 A 1,又 DE 平面 ADE ,故平面ADE 平面 ACC 1 A 1；（2） 解法 1 如下列图,设 F 使 AB 的中点,连接 DF 、DC 、CF,由正三棱柱 ABC-A 1 B 1C 1的性质及 D 是 A1B 的中点知 A 1 B C1 D, A 1 B DF 又 C 1 D DF=D ,所以 A 1B 平面 C 1 DF,而 AB A 1 B,所以AB平
12、面 C 1DF,又 AB平面 ABC ,故5 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平面 ABC 1 平面 C 1DF；过点 D 做 DH 垂直 C 1F 于点 H,就 DH平面 ABC 1；2 ,DC 1 =3 ,连接 AH ,就HAD 是 AD 和平面 ABC 1 所成的角；由已知 AB=2AA1,不妨设 AA1 =2 ,就 AB=2 ,DF=C 1 F=5 ,AD=AA 12AD2=3 ,DH=DFDC1=25330 ,5C 1F所以 sinHAD=DH=10 ；5AD即直线 AD 和平面 ABC 1
13、所成角的正弦值为10 ；5解法 2如下列图,设O 使 AC 的中点,以O 为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA 1 = 2 ,就 AB=2 ,相关各点的坐标分别是A0,-1,0 , B（3 ,0,0）, C 1（0,1,2 ）, D（3 ,-1 ,2 ）；2 2易知 AB = 3 ,1,0,AC =0, 2,2 , AD = 3 ,-1 ,2 ）2 2设平面 ABC 1的法向量为 n=（x,y,z）,就有nAB 3 x y ,0nAC 1 2 y 2 z 0 ,解得 x=-3y, z=-2 y,3故可取 n=1,-3 ,6 ；所以, cosnAD = nAD= 2 3= 10 ；nAD 10
14、3 56 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由此即知,直线AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为10 ；519.（本小题满分 13 分）某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m M ,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经猜测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x M 的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x x万元；假设桥墩等距离分布,全部桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元；（）试写出 y 关于 x的函数关系式；（）当 m =640M 时,需新建多少个桥墩才
15、能使 y 最小？解 （）设需要新建 n 个桥墩, n 1 x m,即 n= m 1x所以 y=fx=256n+n+12+ x x=256 m-1+ m 2 x xx x256 xm x 2 m 256.x3 3（）由（）知,f 2562 m 1mx 2 m2 x 2 512.x 2 2 x3令f 0,得x2512,所以 x =64 3当 0 x 64 时f x 0. f x 在区间（ 64,640）内为增函数,所以f x 在 x =64 处取得最小值,此时,nm164019.x64故需新建 9 个桥墩才能使y 最小；20（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中,点 P 到点 F（3,0
16、）的距离的4 倍与它到直线x=2 的距离的倍之和记为d,当 P点运动时, d 恒等于点 P 的横坐标与18 之和（）求点P的轨迹 C；（）设过点F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M ,N 两点,求线段MN 长度的最大值；解（）设点P 的坐标为（ x, y）,就d4 x32y23x-2 7 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由题设当 x2 时,由得x32y261x,2化简得x2y21.x2y23x,36273当x2时 由得化简得y212x2 2故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C 1: x y1 在直线 x=
17、2 的右36 27侧部分与抛物线 C 2: y 2 12 x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线,参见图 1 （）如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C ,1 C 的交点都是 2A（2, 2 6 ）,B（2,2 6 ）,直线 AF ,BF 的斜率分别为kAF= 2 6 ,k BF=2 6 . M （1x ,当点 P 在C 上时,由知PF61x . 2当点 P 在C 上时,由知 2PF3x 如直线 l 的斜率 k 存在,就直线l 的方程为yk x3（i）当kk AF,或 kkBF,即k-26 时,直线I 与轨迹C 的两个交点1y ）, N（2x ,2y ）都
18、在 C 1 上,此时由知 MF = 6 -11x NF = 6 -12x22从而MN = MF + NF = （ 6 -1 21x ）+ （6 - 1 22x ）=12 - 1 2 1x +2x 8 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - yk x3由 x 2y 21 得 3 4 k 2 x 2 24 k x 2 36 k 2 108 0 就 1x ,1y 是这个方程的两根,36 272 2所以 1x + 2x = 24 k2 * MN =12 - 1（1x + 2x ） =12 - 12 k23 4 k 2
19、3 4 k由于当 k 2 6, 或k 2 6 时 , k 2 24,212 k 12 100MN 123 4 k 2 12 12 4 11 .k当且仅当 k 2 6 时,等号成立；（ 2 ） 当 k A E k k A N , 2 6 k 2 时 , 直 线 6 L 与 轨 迹 C 的 两 个 交 点M x y 1 , N x 2 , y 2 分别在 C C 上,不妨设点 M 在 C 上,点 C 上,就知,1MF 6 x 1 , NF 3 x 22设直线 AF 与椭圆 C 的另一交点为 1 E x 0 , y 0 , 就 x 0 x x 1 2 2.MF 6 1 x 1 6 1 x 0 EF
20、, NF 3 x 2 3 2 AF2 2所以 MN MF NF EF AF AE ；而点 A,E 都在 C 上,且100 100k AE 2 6, 有（ 1）知 AE , 所以 MN11 11如直线 的斜率不存在,就 1x = 2x =3,此时1 100MN 12 x 1 x 2 92 11综上所述,线段 MN 长度的最大值为 1001121.（本小题满分 13 分）对于数列 u n 如存在常数 M 0,对任意的n N ,恒有u n 1 u n u n u n 1 . u 2 u 1 M就称数列 u n 为 B-数列（1）首项为 1,公比为 q q 1 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由；
21、9 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判定所给命题的真假,并证明你的结论；（2）设S 是数列nx的前 n 项和,给出以下两组论断；A 组：数列x n是 B- 数列数列nx不是 B-数列B 组：数列S n是 B-数列数列S n不是 B- 数列请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命 题；判定所给命题的真假,并证明你的结论；（3） 如数列a n,b n都是 B数列,证明：数列a b n也是 B数列；2.qn1.解（ 1
22、）设满意题设的等比数列为a n,就a nqn1,于是qqanan1qn1qn2qn2q1 ,n2因此a n1-a +a -a n1+ +a -a =q1 1由于q1,所以1qq2.qn11qn11q,即1qa n1a na na n 1.a 2a 1q11q故首项为 1,公比为 q q1的等比数列是B-数列；（2）命题 1：如数列nx是 B-数列,就数列S n是 B-数列次命题为假命题；事实上,设nx1,nN ,易知数列x n是 B- 数列,但S nnS n1S nS nS n1.S 2S 1n由 n 的任意性知,数列S n是 B-数列此命题为；命题 2：如数列S n是 B-数列,就数列nx是
23、 B-数列此命题为真命题事实上,由于数列S n是 B-数列,所以存在正数M ,对任意的n1,有10 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - S n1S nS nS n1.S 2S 1M即x n1x n.x 2M ；于是nN,有x n1x nx nx n1.x 2x 1x n12x n2x n1.2x 22x 12Mx 1所以数列nx是 B-数列；（III）如数列a n nb 是 B数列,就存在正数M M2,对任意的a n1a na na n1.a 2a 1M1b n1b nb na n1.b 2b 1M2留意到a na na n1a n1a n2.a 2a 1a 1a na n1a n1a n2.a 2a 1a 1M1a 1同理：b nM2b 1记K2M2b ,就有K2M2b 2a n1b n1a b na n1 bn1a b n1a b n1a b nb n1a n1a na nb n1b nK a 1 n1a nk b 1 n1b n因此K1b n1b nb nb n1.a 2a 1k M1k M2 +K1b n1b nb nb n1.a2a 1k M1k M2故数列a b n是 B数列11 / 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页