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1、二次函数解析式的三种表示形式二次函数解析式的三种表示形式(1)一般式一般式(2)顶点式顶点式(3)交点式交点式)0(2acbxaxy)0 ,)(0 ,2)0)()(2121xxXcbxaxyaxxxxay轴轴交交于于两两点点（与与条条件件：若若抛抛物物线线),)0()(2khakhxay顶点坐标（ 例例1.已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点，求此函数的解析式。三点，求此函数的解析式。解解：设二次函数解析式为：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 图象过图象过A(2,-4), B(0,2) ，C(-1,2) 4a+2b+c = - 4 c
2、=2 a-b+c=2 解得解得 函数的解析式为：函数的解析式为： y=-x2-x+2一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原a=-1b=-1c=2 1. 一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0) 已知图象上已知图象上任意三点坐标任意三点坐标，特别是已知函，特别是已知函数图象与数图象与y y轴的交点坐标轴的交点坐标（0 0，c c）时，使用时，使用一般式很方便。一般式很方便。 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解得解得已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个
3、函数的解析式？二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c-3所求二次函数为所求二次函数为1-2y=x2-2x-3解：设二次函数解析式为：解：设二次函数解析式为： y=a(x-h)2+k 当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3,4) y=a(x-3)2+4 函数图象过点（函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 y= -7(x-3)2+4 = -7x2+42x-59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+
4、42x-59例例2. 已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次，试确定这个二次函数的解析式。函数的解析式。 2. 2. 顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0) 已知对称轴方程已知对称轴方程x=h、最值最值k或顶或顶点坐标点坐标（h,k） 时优先选用顶点式。时优先选用顶点式。 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，4 4），），且过点（且过点（0 0，3 3），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又点点( 0,-3)在抛物线上在抛物线上a-4=
5、-3, 所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4顶点为顶点为（1，4） a=1y=a( (x-1)1)2 2-4-4y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2-4 解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+cc=-3 16a+4b+c=0已知一个二次函数的图象过点（
6、已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1x=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？对称轴为直线对称轴为直线x=1x=1ab2=1依题意得依题意得解解: 二次函数的图象过点二次函数的图象过点B(5,0), 对称轴为直线对称轴为直线x=3 二次函数的图象与二次函数的图象与x轴另一交点的坐标为轴另一交点的坐标为(1,0) 设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5) 图象过图象过A(0,-5) - 5=a(0-1)(0-5) 即即 a= -1 y=-(x-1)(x-5) =-x2+6x-5 例例3. 二次函数二次函
7、数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(0,-5),B(5,0)两两点，它的对称轴为直线点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析，求这个二次函数的解析式式3交点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与知道抛物线与x x轴的轴的两个交点的坐标两个交点的坐标，或，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用交点式比较简便标时选用交点式比较简便解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x-x1)(x-x2) a(0+1)(0-3) =-3已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0, -30, -3） （
8、-1,0-1,0） （3,03,0） 三点，求这个函数的解析式？三点，求这个函数的解析式？所求二次函数为所求二次函数为y=x2-2x-3 y=a(x+1)(x-3)过过（-1,0） （3,0） 过过（0, -3）a=1例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法一：解法一：设解析式为A(-1,0)A(-1,0)在抛物线上在抛物线上 a = -1 = -1即：即：(a0)结果需化成一般式结果需化成一般式例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法二：解法二：设解析式为顶点顶点C C（1 1，4 4）对称轴对称
9、轴 x=1=1A(-1,0)A(-1,0)、B B点关于点关于 x=1x=1对称对称BB（3 3，0 0）A(-1,0)A(-1,0)、B B（3 3，0 0）和）和C C（1 1，4 4）在抛物线上，）在抛物线上， 解得解得 所以所以(a0)例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法三：解法三：设解析式为顶点顶点C C（1 1，4 4）对称轴对称轴 x=1=1A(-1,0)A(-1,0)、B B点关于点关于 x=1=1对称对称BB（3 3，0 0）又又CC（1 1，4 4）在抛物线上，）在抛物线上， 即即(a0)3)(1( xxay4)3)(11
10、 (xa a = -1 = -1)3)(1( xxy例例5 5 将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4 4个单位，向下平移个单位，向下平移3 3个单位，求平移后抛个单位，求平移后抛物线解析式物线解析式平移不改变形状，只改变位置选择顶点式解解： =（x+1)2+5平移后平移后的抛物线为的抛物线为 y=(x+5)2+2 即即y=x2+10 x+27 1、抛物线、抛物线y=3x2-12x+13关于关于x轴对称的轴对称的 解析式是什么？解析式是什么？ 2、抛物线、抛物线y=3x2-12x+13关于关于y轴对称的轴对称的 解析式是什么？解析式是什么？ 3、抛物线、抛物线y=3x2-12x+13关于原点对称的关于原点对称的 解析式是什么？解析式是什么？