《2022年中考压轴题函数中的动点与三角形问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考压轴题函数中的动点与三角形问题 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载第 1 节函数中动点与三角形的存在性本节 4 个案例，其中案例1 主要是以三角形之间的面积关系为主线，探索三角形的存在； 案例 2 则是用分类思想讨论等腰三角形的存在；案例 3 讨论直角三角形存在的个数问题；案例 4 研究的是相似三角形的存在性方程思想、分类思想、数形结合都渗透其中案例 1 （20XX 年重庆市 A 卷第 25 题）如图 1，对称轴为直线1x的抛物线cbxaxy2)0(a与x轴相交于A、 B 两点，其中点 A的坐标为)0,3(. （1）求点 B 的坐标；（2）已知1a，C为抛物线与 y 轴的交点 . 若点P在抛物线上，且BOCPOCSS4，求点 P 的坐标； 设
2、点Q是线段 AC 上的动点，作xQD轴交抛物线于点 D ， 求线段QD长度的最大值 . 【思路探究】 （1）由抛物线的对称性可直接写出点B的坐标；（2）由1a和抛物线与x轴的两个交点坐标直接写出抛物线的解析式，以及抛物线与y轴的交点坐标，要求BOCPOCSS4，注意到两个三角形有一条公共边OC，因此以这条边为底边，面积的关系就转化成这条边上的高之间的关系，也就是点P与B横坐标之间的关系，问题由此得解；由于点Q是线段AC上的动点， 点D在抛物线上， 且yQD /轴，因此它们的横坐标相同，可建立关于它们横坐标的函数关系式，然后根据函数的性质求线段QD长度的最大值【动感设计】 打开“2013 重庆市
3、 A卷第 25 题” ，点击按钮 “面积 4 倍(1) ” ， “面积 4 倍(2) ” ，观察此时P点运动到的位置，体会分类讨论在解题中的作用，再点击按钮 “Q点运动 / 停止” ，同时观察坐标系内函数图象（红色）, 体会二次函数最值的情形. 【试题解答】 （1）由题意知，点A、B关于 直线1x对称，点A的坐标为)0,3(， 点B的坐标为)0, 1(（2）抛物线过点A、B，且1a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载抛物线的解析式为) 1)(3(xxy，即322xxy当0 x时，3y点C的坐标为)3
4、,0(过点P作OCPH于点H，如图 2.PHOCSPOC21，OBOCSBOC21又BOCPOCSS4，OBPH4，即4x或4当4x时，21y；当4x时，5y；点P的坐标为)21,4(或)5 ,4(；设直线AC的解析式为bkxy，则303bbk，解得31bk，直线AC的解析式为3xy，设)3,(mmQ点Q在线段AC上，03m由于xQD轴，且点D在抛物线上，点)32,(2mmmD49)23(3)32(3222mmmmmmQD当23m时，QD长度最大，最大值为49. 【易错点评】 根据两个三角形的面积关系探求点P的坐标时， 疏于观察图形， 不能发现两个三角形有一条公共边的隐含条件，从而找不到解决问
5、题的突破口，或很繁琐的根据点P的坐标求POC的面积后列方程求解. 另外，最后一问中用点D、Q的纵坐标表达式求线段QD长度的函数关系式时符号容易出错. 【反思与启迪】观察能导致发现，题中告诉我们“BOCPOCSS4”引导我们去观察两个POC、BOC，发现它们有一条公共边OC，从而将三角形面积之间的关系转化成线段之间的关系，得出点P的横坐标，使问题顺利解决，解题的成功要靠正确思路的选择，观察能引导你发现正确而简捷的思路.【变式练习】（ 20XX 年兰州市第28 题）如图 3，在平面直角坐标系xOy中， A、B 为 x 轴上两点， C、D 为 y 轴上的两点，经过点A、 C、B 的精选学习资料 -
6、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载抛物线的一部分1C与经过点A、D、B 的抛物线的一部分2C组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点 C 的坐标为)23, 0(，点 M 是抛物线2C：mmxmxy322（0m）的顶点（1）求 A、 B 两点的坐标；（2） “蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得 PBC 的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 BDM 为直角三角形时，求m 的值案例 2 （20XX 年湘西州第25 题）如图 1，已知抛物线4412bxxy与x轴相交于
7、 A、 B 两点，与 y 轴相交于点C，若已知 A 点坐标为)0,2(A. （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求C点坐标，连接 AC 、 BC 并求线段 BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB是否相似？并说明理由 ; （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 【思路探究】（1）由抛物线4412bxxy与x轴相交于)0 ,2(A，将点)0,2(A代入抛物线的解析式中，解方程可得b的值，再根据求二次函数对称轴的公式或用配方法写出它的对称轴方程；（2）在抛物线的解析式中，令0 x，求与y轴的交点C的坐标
8、；令0y，求与x轴的交点B；再将B、C两点的直线解析式中，解方程组求线段BC所在直线的解析式；（3）在直角坐标系中A、B、C三点的坐标有了，因而线段OA、OB、OC、AC、BC线段的长度也就有了，试试“两边对应成比例并且夹角对应相等的两个三角形相似”或用“三边对应成比例的两个三角形相似”判断AOC与COB是否相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载（4）对于是否存在类的探究题，通常是假设存在，本题探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，因此设点Q的坐标为),3(m，根据A、C、Q三点的坐标，求出线段AC、
9、AQ、CQ的长，但由于没有明确等腰三角形的底和腰，因此要分AQAC、CQCA、QCQA三种情况一一讨论. 【动感设计】 打开“ 20XX年湘西州第25 题” ，点击按钮“等腰三角形ACQ(1)” ， “等腰三角形 ACQ(2)” ， “等腰三角形ACQ(3)” ，观察右侧度量值“AC-CQ ” 、 “ QA-CQ ”的变化，体会不同的等腰三角形。【试题解答】 （1）抛物线4412bxxy的图象经过点)0,2(A04)2()2(412b23b 抛物线解析式为423412xxy配方得425) 3(414234122xxxy 对称轴方程为3x（2）在423412xxy中，令0 x则4y 点)4 ,0
10、(C令0y，则0423412xx，解得81x，22x)0 ,2(A)0 ,8(B设直线BC的解析式为bkxy，把)0 ,8(B，)4 ,0(C的坐标分别代入解析式则408bbk421bk直线BC的解析式为421xy（3）可判定COBAOC 成立 .理由如下：在AOC与COB中2OA，4OC，8OB2142OCOA，2184OBOCOBOCOCOA，又90BOCAOCCOBAOC （4）抛物线的对称轴方程为：3x，Q点在对称轴3x上，如图 2， 设点),3(mQ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载52
11、AC，225mAQ，9)4(2mCQ分三种情况讨论ACQ为等腰三角形：当AQAC时，有52252m， 两边平方后整理得52m， 此时方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；当CQCA时，有9)4(522m，两边平方后整理得11)4(2m，114m或114m，)114,3(1Q，)114, 3(2Q当QCQA时，有9)4(2522mm，两边平方后整理得0m)0,3(3Q故满足条件的Q点坐标为：)114,3(1Q，)114,3(2Q，)0, 3(3Q【易错点评】（1）直觉判断AOC与COB是相似， 但说理时疏忽平面直角坐标系的特点，只想到去找角的相等证明两三角形相似，导致解题陷于困境.有了平面
12、直角坐标系，要有数形结合的思想，更多的从“数”的角度思考“形”，开辟解题的新天地； （2）在“求符合条件的Q点，使ACQ为等腰三角形”时，思维单一，不分类讨论，导致漏解是常见的错误【反思与启迪】 在解答直角坐标系的问题时，要注意几何图形的性质，数形结合， 往往能使解题思路简洁明快此题主要考查了一次函数、二次函数知识的综合应用、两三角形相似的判定、 等腰三角形的性质等知识，综观本题，点的移动贯穿始终，其中对于等腰三角形的确定需要分类讨论，在具体求点Q坐标时，还要充分注意图形的几何特点，数形结合【变式练习】 （20XX年泰安市第29 题） 如图 3，抛物线cbxxy221与y轴交于点)4,0(C，
13、与x轴交于点A， B，且 B 点的坐标为)0 ,2(B（1）求该抛物线的解析式（2） 若点 P是 AB 上的一动点， 过点 P 作 PEAC ， 交 BC 于 E，连接 CP，求PCE面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点M 是线段 AC 上一点，且OMD为等腰三角形，求M 点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载案例 3 （20XX 年湖州市第24 题）如图，O为坐标原点，点 B在x轴的正半轴上，四边形 OACB是平行四边形，54sinAOB，反比例函数xky)0(k在第一象限内的图象
14、经过点 A，与 BC 交于点 F （1）若10OA，求反比例函数解析式；（2）若点 F 为 BC 的中点，且AOF 的面积12S，求 OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点 F 作OBEF /，交OA于点 E （如图），点 P 为直线 EF 上的一个动点，连接 PA、PO是否存在这样的点 P ， 使以 P 、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图【思路探究】 （1）先过点A作OBAH，构造Rt，根据54sinAOB，10OA，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式
15、；（2）先设aOA)0(a，过点F作xFM轴于M，根据54sinAOB，得出aAH54，aOH53，求出225621aAHOHSAOH，根据12AOFS，求出平行四边形OACB的面积， 根据点F为BC的中点， 求出6OBFS，根据aBF21，AOBFBM，得出aFM52，aBM103，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载250321aFMBMSBMF，25036aSOFM，再根据点A、F都在反比例函数xky的图象上，得OFMAOHSS，列方程求出a，从而得出OA、AH、OH的长度，再根据24AHOBS
16、AOBC平行四边形，得出33ACOB，即可求出点C的坐标；（3） 分别根据当90APO时， 在OA的两侧各有一点P， 得出1P，2P； 当90PAO时，求出3P；当90POA时，求出4P即可【动感设计】打开“ 20XX年湖州市第 24 题” ，点击按钮“直角三角形1” ， “直角三角形 2” ， “直角三角形 3” ，体会不同的直角三角形所在的位置.【试题解答】 （1） 过点A作OBAH于H， 在AOHRt中，54sinAOB，10OA，8AH，6OH，点A的坐标为)8 ,6(，又 反比例函数xky在第一象限内的图象经过点A，68k，即48k，反比例函数解析式xy48（0 x）（2）设aOA)
17、0(a，过点F作xFM轴于M，在AOHRt中，54sinAOB，aAH54，aOH53，225621aAHOHSAOH，12AOFS，平行四边形OACB的面积为24，点F为BC的中点，6OBFS，aBF21，AOBFBM，aFM52，aBM103，250321aFMBMSBMF，25036aSSSBFMOBFOFM，点A、F都在反比例函数xky的图象上，OFMAOHSS即225036256aa，解之3310a，舍去负值得3310OA338AH，32OH，又24AHOBSAOBC平行四边形，33ACOB，)3,35(C；（3）存在三种情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
18、纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载当90APO时，在OA的两侧各有一点P，分别为：)334,332(1P)334,338(2P， ；当90PAO时，)334,3934(3P，当90POA时，)334,3916(4P【易错点评】 解答第（ 2）问时想不到第（1）问的解题思路对其暗示作用，从而找不到解决问题的突破口第（3）问是动点问题，由于点P的位置没有确定，需要自己画图探索，学生易疏忽点O为直角顶点，造成漏解.【反思与启迪】 此题主要考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解答时特别要注意运用数形结合、分类讨
19、论等数学思想.第（1）问看似是特殊的一种情况，所得结论虽不能应用于第（2） 、 （ 3）问，但它暗示了解题思路，指明第（2）问的解题方向“设aOA)0(a” ，解题的突破口正是受第（1）问中“10OA”的影响 . 【变式练习】 （20XX 年广州市第24 题） 如图 4，抛物线343832xxy与 x 轴交于 A、B两点（点A在点 B的左侧），与 y 轴交于点C（1）求点 A、B的坐标；（2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于 ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点 E)0,4(， M为直线l上一动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线
20、l解析式案例 4 （20XX 年日照市第22 题）已知，如图 1，抛物线cbxaxy2经过点)0 ,(1xA，)0,(2xB，)2, 0(C，其顶点为 D .以 AB为直径的 M 交 y 轴于点 E 、 F ，过点 E 作 M 的切线交x轴于点 N .30ONE，821xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）连结 AD 、 BD ,在（1）中的抛物线上是否存在一点 P ，使得ABP与ADB相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图
21、2,点Q为弧 EBF 上的动点（ Q 不与 E 、F 重合） ，连结AQ交 y 轴于点 H ，问：AQAH是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【思路探究】（1）结合圆的性质解直角三角形，计算出OM、OA、OB等线段的长度，从而写出相关点的坐标，用然后用待定系数法求出抛物线的解析式，配方得顶点D的坐标；（2）首先由抛物线的对称性知ADB是等腰三角形，因此要使ABP与ADB相似，则ABP也必须是等腰三角形且与ADB对应的角要能相等. 同样由对称性， 直觉告诉我选择角的相等入手比较容易，求出顶点D关于x轴的对称点D，这样便有一对底角相等，再判断它是不是等腰三角形，从而得出是否存在
22、符合要求的P点的坐标； （3） 由乘积式AQAH想到相似三角形，为此连AF、QF，构造相似三角形AQF、AFH，将AQAH转化为2AF，再由勾股定理计算出162AF为定值【动感设计】 打开“ 20XX年日照市第22 题” ，点击按钮“右侧对应角相等”， “左侧对应角相等” ，可以看到此时BP-AB0，即 ABP不是等腰三角形，即不存在相似三角形；点击按钮“ Q在弧上运动 / 停止”，可以发现随着Q的运动， AHAQ的值不变 .【试题解答】（1）以AB为直径的M的半径4212121xxABr连结ME， NE 是切线，NEME在MNERt中，30ONE，4MEMA，60EMN，8MN2OM，2OA
23、，6OB，)0 ,2(A，)0,6(B抛物线经过点A、B，设抛物线的解析式为)6)(2(xxay精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载又抛物线经过点)2,0(C，代入得61a抛物线的解析式为23261)6)(2(612xxxxy配方得38)2(612xy，顶点D的坐标为)38,2(2）如图 3，由抛物线的对称性可知：BDADADB为等腰三角形 . 若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P， 使ABP与ADB相似必须有BADBPABAP设AP交抛物线的对称轴于D点，显然)38,2(D，直线AP的解析式为343
24、2xy由2326134322xxx，得21x（舍去），102x)8 ,10(P54PB，而8AB，ABPB，即BPABAP，PAB与BAD不相似同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点所以在该抛物线上不存在点P，使得与PAB与相似(3)连结AF、QF，如图 4，在AQF和AFH中，由垂径定理易知：弧AE=弧AF， AFHAQF, 又HAFQAF，AQFAFH，AFAHAQAF，2AFAQAH在AOFRt中，16222OFAOAF，16AQAH为定值【易错点评】 探索是否存在符合要求的P点坐标，通常都是存在的多，学生受思维定势的影响，在求出“直线AP与抛物线的交点坐标”后，往往 不
25、加验证就说明存在，直接写出2个P点的坐标 .而本题恰恰相反，是不存在.【反思与启迪】 解决存在性问题的基本思路是：先假设存在， 然后根据问题的已知条件去探索，但对于按部分条件得出的结论还需要验证是否真正满足题目的要求，如果不存在满足题目要求的点，也要敢于下结论，切不可纠结于常规，形成思维定势，以为自己做错而拚命的去查找，浪费考场上宝贵的时间，影响考试心态. 记住：解题经验固然重要，但真理更可贵. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载【变式练习】 （20XX 年盐城市第28 题） 如图 5，若二次函数
26、cbxxy263的图象与x轴交于)0,2(A、)0,3(B两点， 点 A 关于正比例函数xy3的图象的对称点为C. （1）求b、c的值；（2）证明：点C 在所求的二次函数的图象上；（3）如图 6，过点 B 作xDB轴交正比例函数xy3的图象于点D，连结 AC ，交正比例函数xy3的图象于点E，连结 AD、 CD.如果动点P 从点 A 沿线段AD 方向以每秒2 个单位的速度向点D 运动，同时动点Q 从点 D 沿线段 DC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动，当其中一个到达终点时，另一个点随之停止运动，连结 PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE 平分APQ，同时 QE 平分PQC，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页