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1、2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例 5 如图 1，抛物线经过点A(4 ，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在， 请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC上方的抛物线是有一点D，使得 DCA的面积最大， 求出点 D 的坐标,图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧”、“P 在 x轴上方”和
2、“ P 在 A右侧”，可以显示PAM 与OAC相似的三个情景双击按钮“第 (3) 题”，拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC的中点时， DCA的面积最大思路点拨1已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边
3、对应成比例，分两种情况列方程4把 DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于 A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点 C的 坐标（ 0， 2），解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点 P 的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点 P 在 x 轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点 P 的坐标为（ 2，1）如图
4、3，当点 P 在点 A 的右侧时， x4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点 P 的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时， x1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 P 的坐标为)14,3(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解方程214)4)(1(21xx
5、x，得0 x此时点 P 与点 O重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ 2，1）或)14,3(或)2, 5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交AC于 E直线 AC的解析式为221xy设点 D 的横坐标为m)41 (m，那么点 D 的坐标为)22521,(2mmm，点 E的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时， DCA的面积最大，此时点D 的坐标为（ 2，1）图 5 图 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么 DCA的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去 CDN和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（ m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42例 6 如图 1，ABC中， AB5，AC3，cosA310D 为射线 BA上的点（点D 不与点 B 重合），作DE/ BC交射线 CA于点 E.(1) 若 CEx，
7、BDy，求 y与 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE 的长度；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - (3) 当点 D 在 AB 边上时，BC边上是否存在点F，使 ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由图 1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09 闸北 25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动双击按钮“第（ 2）题”，
8、拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次双击按钮“第（ 3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“ DE 为底边”，可以体验到， DEF 为等腰三角形思路点拨1先解读背景图，ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的DEF也是等腰三角形2用含有 x 的式子表示BD、DE、MN 是解答第（ 2）题的先决条件，注意点E 的位置不同， DE、MN 表示的形式分两种情况3求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意4第（ 3）题按照 DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题满分解答名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
9、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）如图 2，作 BHAC，垂足为点 H在 RtABH 中，AB5，cosA310AHAB，所以 AH3212AC所以 BH 垂直平分 AC ，ABC 为等腰三角形， ABCB5因为 DE/ BC，所以ABACDBEC，即53yx于是得到53yx，（0 x）（2）如图 3，图 4，因为 DE/ BC，所以DEAEBCAC，MNANBCAC，即|3|53DEx，1|3|253xMN因此5|3|3xDE，圆心距5| 6|6xMN
10、图 2 图 3 图 4 在 M 中，115226MrBDyx，在 N 中，1122NrCEx当两圆外切时，5162xx5 | 6|6x解得3013x或者10 x如图 5，符合题意的解为3013x，此时5(3)15313xDE当两圆内切时，5162xx5 | 6|6x当 x6 时，解得307x，如图 6，此时 E 在 CA的延长线上，5(3)1537xDE；当 x6 时，解得10 x，如图 7，此时 E 在 CA的延长线上，5(3)3533xDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
11、- 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 图 5 图 6 图 7 （3）因为 ABC是等腰三角形，因此当ABC与 DEF相似时， DEF 也是等腰三角形如图 8，当 D、E、F 为ABC的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF2.5根据对称性，当F 在 BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1如图 9，当 DE 为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时12534BF图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展第（ 3）题的情景是一道典型题，如图10，如图 11，AH 是 ABC的高， D、E、F为 ABC的三边的中点
12、，那么四边形DEHF 是等腰梯形例 7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 如图 1，在直角坐标系xOy 中，设点 A （0，t），点 Q （t，b）平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：顶点为Q；与 x 轴相交于 B、C两点（ OBOC），连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果 AQBC，且 tanABO23，求抛物线F 对应的二次函数
13、的解析式图 1 动感体验请打开几何画板文件名“08 杭州 24”，拖动点 A 在 y 轴上运动，可以体验到，AQ与 BC保持平行， OAOB与 OAOB保持 32双击按钮“ t3”，“ t06”，“ t06”，“ t3”，抛物线正好经过点 B（或 B）思路点拨1数形结合思想，把OCOBOA2转化为212txx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2如果 AQBC，那么以 OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t
14、b3分类讨论 tanABO23，按照 A、B、C的位置关系分为四种情况A 在 y 轴正半轴时，分为B、C在 y 轴同侧和两侧两种情况；A 在 y 轴负半轴时，分为B、C在 y轴同侧和两侧两种情况满分解答（1）因为平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为btxty2)(因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0bt令0y，得tOBtb，tOCtb所以tOCOB( |tb)( ttb)|2|t22|OAttb即22bttt所以当32tb时，存在抛物线F使得|2OCOBOA（2）因为 AQ/ BC，所以 tb，于是抛物线F 为ttxty2)(解得1, 121txtx
15、当0t时，由|OCOB，得)0, 1(tB如图 2，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得3t此时二次函数的解析式为241832xxy如图 3，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得t53此时二次函数的解析式为y532x2518x12548名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 图 2 图 3 如图 4，如图 5， 当0t时，由|OCOB，将t代t,可得t53，3t 此时二次函数的解析式为y532x2518x12548或241832xxy图 4 图 5 考点伸展第（ 2）题还可以这样分类讨论：因为 AQ/ BC，所以 tb，于是抛物线F 为2()yt xtt由3tan2OAABOOB，得23OBOA把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得3t（如图 2，图 5）把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得35t（如图 3，图 4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -