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1、2010 中考数学分类汇编一、选择题1234567891011 12131415161718 192021 222324 252627282930二、填空题1 （ 2010 江苏盐城） 写出图象经过点(1， 1)的一个函数关系式 【答案】 y=-x 或 y=-1x或 y=x2-2x，答案不唯一234567891011 12131415161718 192021 222324 252627282930三、解答题1 （2010 安徽蚌埠二中） 已知O过点D（3，4）,点H与点D关于x轴对称， 过H作O的切线交x轴于点A。 求HAOsin的值； 如图，设O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的
2、动点（与点P不重合） ，连接并延长DE、DF交O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索CGOsin的大小怎样变化，请说明理由。【答案】y H A D O O C P F y G D E x B 53sinAOHOHAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页（2）试探索CGOsin的大小怎样变化，请说明理由. 解：当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），CGOsin的值不变过点D作EFDM于M，并 延长DM交O于N， 连接ON，交BC于T。因为DEF为等腰三角形，EFDM，所以DN
3、平分BDC所以弧 BN= 弧 CN，所以BCOT，所以MNOCGO所以CGOsin=53sinONOMMNO即当E、F两点在OP上运动时（与点P不重合），CGOsin的值不变。2 （ 2010 安徽蚌埠提前）如图 1、2 是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。 在图 3 中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与BCAC、交于点FE,，如图 4。求证：222EFBFAE； 若在图 3 中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点FE、，如图 5，此时结论222EFBFAE是否仍然成立？若成立，请给
4、出证明；若不成立，请说明理由。D 图 1 B A C 图 2 D A C B 图 3 D E C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页图 4 如图，在正方形ABCD中，FE、分别是边CDBC、上的点，满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AFAE、分别与对角线BD交于NM、， 试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。【答案】在图 4 中，由 于BDAD，将AED绕点D旋转180，得DEB，EBAE、DEED。连接FE90CABABCEABABC
5、EFB在FEBRt中有222FEBFBE又FD垂直平分EEEFEF代换得222EFBFAE在图 5 中， 由BCAC， 将A E C绕点C旋转90， 得CEBECCEEBAE,连接FE90CABABCECBABCEFB在FEBRt中有222FEBFBE又可证CEFFEC，得EFEFV 代换得222EFBFAE(3)将ADF绕点A瞬时针旋转90，得ABG，且AGAFGBFD,因为CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，所以,BECEFDCFCBCDCFEFCEF E D B A C N F M E B D A C A N F M D A G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
6、师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页化简得EGEF从而可得AEGAEF，推出45EAGEAF此时该问题就转化为图5 中的问题了。由前面的结论知：222DNBMMN，再由勾股定理的逆定理知：线段BM、MN、DN可构成直角三角形。3 （2010 安徽中考 ）如图，已知ABC 111CBA，相似比为k（1k） ，且 ABC 的三边长分别为a、b、c（cba） ，111CBA的三边长分别为1a、1b、1c。若1ac，求证：kca；若1ac，试给出符合条件的一对ABC 和111CBA，使得a、b、c和1a、1b、1c进都是正整数，并加以说明；若1ab，1bc，是否存在ABC 和
7、111CBA使得2k？请说明理由。【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页4 （ 2010 江苏盐城）（本题满分12 分）已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为B，与 y 轴的交点为A，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B，求 P 点的坐标；（3）在 (2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M，试探索点M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出M 点
8、的坐标；若不在，请说明理由【答案】解 ： （1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共 点 (1分) 当a0 时，=1- 4 a=0，a = 14，此时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=14x2+x+1 （3 分）（2）设 P 为二次函数图象上的一点，过点 P作 PCx 轴于点 C y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=14x2+x+1，则顶点为B（-2， 0） ，图象与y轴的交点坐标为 A（0，1） （ 4 分）以 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点BPBAB则 PBC= BAORtPCBRtBOAAOBCOBPC，故 PC
9、=2BC，（5 分）设 P 点的坐标为 (x，y)， ABO 是锐角， PBA 是直角， PBO 是钝角， x-2 BC=-2-x， PC=-4-2x，即 y=-4-2x， P 点的坐标为 (x，-4-2x) 点 P 在二次函数y=14x2+x+1 的图象上，-4-2x=14x2+x+1（6 分）解之得： x1=-2，x2=-10 x-2 x=-10， P 点的坐标为： (-10，16)（7 分）（3）点 M 不在抛物线y=ax2+x+1上 （8 分）由（ 2）知： C 为圆与 x 轴的另一交点，连接CM，CM 与直线 PB 的交点为Q，过点 M作 x 轴的垂线，垂足为D，取 CD 的中点 E
10、，连接 QE，则 CMPB，且 CQ=MQA x y O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页QE MD，QE=12MD，QECECMPB，QECEPCx 轴 QCE=EQB=CPBtanQCE= tanEQB= tanCPB =12CE=2QE=2 2BE=4BE，又 CB=8，故 BE=85， QE=165Q 点的坐标为 (-185，165) 可求得 M 点的坐标为 (145，325) （11 分）14(145)2+(145)+1 =14425325C 点关于直线PB 的对称点 M 不在抛物线y=ax2+x+
11、1上（12 分）(其它解法，仿此得分) 5 （ 2010 辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点 H 的坐标为（8，0） ，点 N 的坐标为（6， 4） （1）画出直角梯形OMNH 绕点 O 旋转 180 的图形 OABC，并写出顶点A，B，C 的坐标（点 M 的对应点为A， 点 N 的对应点为B， 点 H 的对应点为C） ；（2）求出过A，B，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G 分别在线段CO，OA，AB 上，求四边形BEFG的面积 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； 面积 S是否存在最小值 ?若存在，请求出
12、这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（ 3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由1 -2 1 A x y O B P MCQEDxyOMN （-6，-4）H （-8，0）第 26 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC 1 分A， B，C 三点与 M，N，H 分别关于点O 中心对称，A（ 0，4） ，B（6，4） ，C（8，0） 3 分（写错一个点的坐标扣1 分）（2）设过 A
13、，B，C 三点的抛物线关系式为2yaxbxc，抛物线过点A（0，4） ，4c则抛物线关系式为24yaxbx 4 分将 B（6， 4） ， C（8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840abab， 5 分解得1432ab， 6 分所求抛物线关系式为：213442yxx 7 分（3） OA=4， OC=8， AF=4m，OE=8m 8 分AGFEOFBECEFGBABCOSSSSS四边形梯形21OA（AB+OC）12AF AG12OE OF12CE OAmmmmm421)8(21)4(2186421）（2882mm（ 0m 4） 10 分O M N H A C E F D B 8 (6，
14、4) x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页2(4)12Sm 当4m时， S的取最小值又 0 m4，不存在m 值，使 S的取得最小值 12 分（4）当22 6m时， GB=GF，当2m时， BE=BG 14 分6 （2010 山东青岛）问题再现现实生活中， 镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“ 平面图形的镶嵌” 中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题 今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究 . 我们知道，可以单独用
15、正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4 个正方形的内角. 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析： 我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说， 就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证 1：在镶嵌平面时，设围绕
16、某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：82180903608xy，整理得：238xy，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12xy结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1 个正方形和2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证 2：结论 2：上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法
17、，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜想3：. 验证 3：O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页结论 3：. 【答案】解： 3 个； 1 分验证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：60120360ab整理得：26ab，可以找到两组适合方程的正整数解为22ab和41ab 3 分结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2 个正三角形和2 个正六边形的内
18、角或者围绕着4 个正三角形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 5 分猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6 分验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、 n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：6090120360mnc，整理得：23412mnc，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121mnc. 8 分结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1 个正三角形、2 个正方形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形
19、和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10 分7 （ 2010 山东青岛） 已知：把 RtABC 和 RtDEF 按如图（ 1）摆放（点C 与点 E 重合），点 B、C（E） 、F 在同一条直线上ACB = EDF = 90 ， DEF = 45 ，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm如图（ 2） ， DEF 从图（ 1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向 ABC 匀速移动，在 DEF 移动的同时，点P 从 ABC 的顶点 B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点 A 匀速移动.当 DEF 的顶点 D 移动到
20、 AC 边上时， DEF 停止移动，点P 也随之停止移动DE 与AC 相交于点Q，连接 PQ，设移动时间为t（s） （0t4.5） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点A 在线段 PQ 的垂直平分线上？（2）连接 PE，设四边形APEC 的面积为y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻t，使 P、Q、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由（图（ 3）供同学们做题使用）A D B C F （E）A D B C F E P Q 精选学习资料 - - -
21、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页【答案】解： （1）点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，AP = AQ. DEF = 45 ， ACB = 90 ， DEF ACB EQC = 180 ， EQC = 45 . DEF =EQC. CE = CQ. 由题意知： CE = t，BP =2 t，CQ = t. AQ = 8t. 在 RtABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则 AP = 10 2 t. 102 t = 8t.解得： t = 2. 答：当 t = 2 s 时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. 4 分（2）过
22、 P 作PMBE，交 BE 于 M，90BMP. 在 RtABC 和 RtBPM 中， sinACPMBABBP，8210PMt. PM = 85t . BC = 6 cm，CE = t， BE = 6 t. y = SABCSBPE =12BCAC 12BE PM = 1682186tt25=24242455tt= 2484355t. 405a，抛物线开口向上. 当 t = 3 时， y最小=845. 答：当 t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845cm2. 8 分（3）假设存在某一时刻t，使点 P、 Q、F 三点在同一条直线上. 过 P 作PNAC，交 AC 于 N，
23、A B C 图（ 3）图（ 2）Q A D B C F E P M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页90ANPACBPNQ. PANBAC， PAN BAC. PNAPANBCABAC. 1026108PNtAN. 665PNt，885ANt. NQ = AQAN，NQ = 8t(885t ) = 35t ACB = 90 ， B、C（E） 、F 在同一条直线上， QCF = 90 ， QCF = PNQ. FQC = PQN， QCF QNP . PNNQFCCQ. 636559tttt. 0t663595t
24、t解得： t= 1. 答：当 t = 1s，点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 12 分8 （ 2010 山东烟台）（本题满分14 分）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a 过点 A（1,0） ，B(0,-3), 与 x 轴交于另一点C。（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使 PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以 P,Q,B,C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】C E A D B F 图（ 3）P Q N 精选学习资料 - - - -
25、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页9 （2010 四川凉山） 如图，B为线段AD上一点，ABC和BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，ABC的外接圆O交CF于点M。（1）求证：BE是O的切线；（2）求证：2ACCM CF；（3）若 过点 D 作 DGBE 交 EF 于点 G，过 G 作 GHDE 交 DF 于点 H ，则易知DHG是等边三角形；设等边ABC、BDE、DHG的面积分别为1S、2S、3S，试探究1S、2S、3S之间的数量关系， 并说明理由。ABCDEMFO第 26 题图精选学习资料 - - - - - - -
26、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页FECBABC【答案】10 （2010 四川眉山） 如图， RtAB C 是由 RtABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点E， CC 的延长线交BB 于点 F（1）证明： ACE FBE；（2）设 ABC=， CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE 与 FBE 是全等三角形，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页【答案】（1）证明： RtAB C 是由 Rt ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，AC=AC ，
27、AB=AB ， CAB=C AB （1分） CAC =BAB ACC =ABB （ 3分）又 AEC=FEB ACE FBE （4 分）（2）解：当2时， ACE FBE（5 分）在 ACC 中， AC=AC ，1801809022CACACC （6 分）在 RtABC 中，ACC +BCE=90 ，即9090BCE，FECBABC BCE= ABC=， ABC=BCE（8 分）CE=BE由（ 1）知： ACE FBE， ACE FBE（9 分）11 （2010 浙江嵊州提前） （ 10 分）（ 1）请在图的正方形ABCD 内，画出使APB90 的一个点P，并说明理由。（ 2）请在图的正方形A
28、BCD 内（含边），画出使 APB 60 的所有的点P，并说明理由。（ 3）如图，现在一块矩形钢板ABCD ，AB 4，BC3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB 和 CPD 钢板，且 APB CPD60 ，请你在图中画出符合要求的点P 和 P。图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页【答案】 (1)如图，点P为所求（2）如图，圆上实线部分弧EF 为所求（3）如图，点p、p为所求12 （2010 重庆市潼南县） （12 分）如图 , 已知抛物线cbxxy221与 y 轴相交于C，与x 轴相交于 A、B
29、，点 A 的坐标为（ 2，0） ，点 C 的坐标为（ 0，-1）. （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点E作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由. ABCEDxyo题图26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页【答案】解： （1）二次函数cbxxy221的图像经过点A（2，0）C(0,1) 1022ccb解得：b=21c=1-2分二次函数的解析
30、式为121212xxy-3 分（2）设点 D 的坐标为（ m，0） （0m2） OD=mAD=2- m由 ADE AOC 得，OCDEAOAD-4分122DEmDE=22m-5分 CDE 的面积 =2122m m =242mm=41) 1(412m当 m=1 时， CDE 的面积最大点 D 的坐标为（ 1，0）-8分（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为121212xxy设 y=0 则1212102xx解得： x1=2 x2= 1ABCxyo备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页点 B 的坐标为（1，0）C（
31、0， 1）设直线 BC 的解析式为：y=kxb10bbk解得： k=-1 b=-1 直线 BC 的解析式为 : y= x1 在 RtAOC 中， AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5点 B(1,0) 点 C（ 0， 1） OB=OC BCO=450当以点C 为顶点且PC=AC=5时，设 P(k, k1) 过点 P 作 PHy 轴于 H HCP=BCO=450CH=PH= k在 RtPCH 中k2+k2=25解得 k1=210， k2=210P1（210，1210） P2（210，1210）-10 分以 A 为顶点，即AC=AP=5设 P(k, k1) 过点 P 作 PGx
32、轴于 G AG= 2 kGP= k1在 Rt APG 中AG2 PG2=AP2（ 2k)2+(k1)2=5 解得： k1=1,k2=0(舍) P3(1, 2) -11分以 P 为顶点， PC=AP 设 P(k, k1) 过点 P 作 PQy 轴于点 Q PLx 轴于点 L L(k,0) QPC 为等腰直角三角形PQ=CQ= k由勾股定理知CP=PA=2k AL= k-2, PL= k1在 RtPLA 中(2k)2=(k2)2(k1)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页解得： k=25P4(25,27) -12分综
33、上所述：存在四个点： P1（210，1210）P2（-210，1210）P3(1, 2) P4(25,27) 13 （2010 江苏宿迁）（本题满分12 分）已知抛物线2yxbxc交 x 轴于 A(1,0)、B(3,0)两点，交y 轴于点 C，其顶点为D（ 1）求 b、c 的值并写出抛物线的对称轴；（ 2）连接 BC，过点 O 作直线 OE BC 交抛物线的对称轴于点E求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（ 3） 抛物线上是否存在点Q， 使得 OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）求出：4b，3c，抛物 线 的 对称轴为： x
34、=2 (2) 抛物线的解析式为342xxy，易得 C 点坐标为（ 0，3） ，D 点坐标为（ 2，-1）设抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（ 2，0） ，连接 OD，DB，BE OBC 是等腰直角三角形，DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（ 2，2） ， BOE= OBD=45OE BD 四边形ODBE 是梯形5分在ODFRt和EBFRt中，OD=5122222DFOF，BE=5122222FBEFOD= BE 四边形ODBE 是等腰梯形7分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页(3)
35、 存在，8 分由题意得：29332121DEOBSODBE四边形9分设点 Q 坐标为（ x，y） ，由题意得：yyOBSOBQ2321三角形=23293131ODBES四边形1y当 y=1 时，即1342xx，221x，222x， Q 点坐标为（ 2+2，1）或 (2-2，1) 11 分当 y=-1 时，即1342xx，x=2，Q 点坐标为（ 2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2， 1） ，Q2(2-2，1) ，Q3（2，-1）使得OBQS三角形=ODBES四边形31 12 分14 151617 18192021 222324 252627282930E F Q1Q3Q2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页