2022年一元二次方程韦达定理2讲义 .pdf

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1、精品资料欢迎下载特尔教育一对一个性化辅导讲义学科:数学任课教师:徐老师授课时间: 2015 年月日(星期 ) 姓名年级性 别总课时 _ 第_ 课教学目标通过根与系数的关系的发现与推导韦达定理,进一步培养学生分析、 观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力;难点重点韦达定理与推论是重点。难点是如何灵活应用韦达定理与推论。教学过程一、知识回顾1复习提问(1)一元二次方程的一般形式?说出二次项系数,一次项系数及常数项(2)一元二次方程的根的判别式是什么?用它怎样判别根的情况?2写出问题( 2)的正确答案,反之,即此命题的逆命题也成立,即“一元二次方程ax2+bx+c0,如果方程有两个不相等的实数根,则

2、0;如果方程有两个相等的实数根,则 =0;如果方程没有实数根,则0 ”即根据方程的根的情况,可以决定值的符号,的符号,可以确定待定的字母的取值范围不解一元二次方程,判断根的情况。不解方程,判别下列方程的根的情况:(1)2x23x-4 0;(2)16y2924y;(3)5(x21)-7x 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载已知ax2+bx+c=0(a 0)且 b2-4ac 0,试推

3、导它的两个根x1=242bbaca,x2=242bbaca分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c? 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去解:移项,得: ax2+bx=-c 二次项系数化为1,得 x2+bax=-ca配方,得: x2+bax+(2ba)2=-ca+(2ba)2 即(x+2ba)2=2244bacab2-4ac 0 且 4a20 2244baca0 直接开平方,得: x+2ba=242baca即 x=242bbacax1=242bbaca,x2=242bbaca由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c 而定,

4、因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当 b-4ac 0时,? 将 a、b、c 代入式子 x=242bbaca就得到方程的根(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根二、新课讲解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载如果这个一元二次方程是一般形式ax2+b

5、x+c=0(a0) ,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题问题 : 已知 ax2+bx+c=0 (a0) 且 b2-4ac 0, 试推导它的两个根 x1=242bbaca,x2=242bbaca.042acb由此得出,一元二次方程的根与系数的关系(一元二次方程两根和与两根积与系数的关系)韦达定理设方程 ax2bxc0 (a0)的两根为 x11, x2则 x11x2ab,x11x2ac,这个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理,也叫韦达定理。1. 若两个数 x11,x2满足 x11x2ab,x11x2ac,则 x11,x2是方程 ax2bxc0 (

6、a0)的两个根,这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x11, x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个实数根,则必有b24ac0,反之亦成立。若12,xx是方程2220070 xx的两个根,试求下列各式的值:名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(1) 2212xx; (2) 1211xx; (3) 12(5)(5)xx;(4) 12|xx【典型例题】例 1:已知 x11,x2是方程

7、 x23x10 的两个根,求 x21x2 x11x22的值。解:x1, 32121xxx原式 x32121xxx例 2:如果 a,b 是方程 x2x10 的两个实数根, 求代数式 a3a2bab2b3的值。解:ab1 , ab 1 . 又 a32222abbab原式 a32222babababba例 3. 若实数 x,y 满足(x1)233(x 1), 3(y1)3(y 1)2,求xyyx的值。解:(x1)03132x, (y1)03132y. 且021若 xy. 则 x,y 为方程 t0152t的两实根xy5,xy1 原式232222xyxyyxxyyx若 xy ,则原式 2 . 原式 2

8、或 23 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 4:验证 x1131,x2231 为方程 x233x530 的实数根。解:若是,则 x35,331121yxx以 x2, 1为根的一元二次方程为x035332x显然 x2, 1为给定方程的两实根。例 5:请写出一个两个实数根之和为1 的一个一元二次方程。解:设 x121x,x为常数kkx21, 则由韦达定理之逆,得 x02kx但 x2

9、1x为方程两实根 . 041k. k41比如设 x2121x. 则方程为 x0412x等等。例 6:已知 2 x25x30,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根是原方程两根的倒数。解:设所求方程两根为y1、y2,则22111,1xyxy, y21212121211,xxyyxxxxy但 x23,252121xxx. y32,352121yyy所求的方程为 y032352y. 即 3y0252y例 7:设 x1,x2为方程( xa)(x b)cx 的实根,求证:关于 x 的方程( xx11)(xx2)cx0 的两实根为 a,b 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

10、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解: (xa)(xb)cx 02abxcbaxcbaxx21abxx212121xxabcxxba021212xxxcxxx021212cxxxxxxx命题得证【巩固练习】1. 若 x23x10 的两根是 x1,x2,则11x21x_ 2. 已知 x1,x2是方程 3 x214x 的两根,不解方程,则212xx221xx_ 3. 设 x123是方程 x24x10 的一个实根,则另一个实根x2_ 4. 方程

11、3 x22x20 的两根差的平方为()A928B328C 94D3725. 以方程 3 x22x60 的各根的负倒数为根的一个一元二次方程是()A6 x22x10 B6 x22x30 C6 x22x10 D6 x22x30 6. 已知方程 2 x25ax3b0 的两根之比为2:3,方程 x22bx8a0 的两名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载根相等( ab0),求证:当m为任意实数

12、时,方程ax2(bm 1)x(m 1)0 恒有实数根。课堂小结设方程 ax2bxc0 (a0) 的两根为 x11, x2则 x11x2ab,x11x2ac,这个方程的根与系数a,b,c 的关系叫做根与系数的关系定理,也叫韦达定理。1. 若两个数 x11,x2满足 x11x2ab,x11x2ac,则 x11,x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个根,这个定理称为韦达定理的逆定理。2. x11, x2是方程 ax2bxc0 (a0)的两个实数根,则必有b24ac0,反之亦成立。课后作业1. 巳知 a、 b 是一元二次方程 x22x1=0的两个实数根, 则代数式(ab) (a+b2)+ab 的值

13、等于 _2. 已知关于 x 的方程 x2+mx 6=0的一个根为 2,则 m= ,另一个根是3. 若 x1,x2 是方程 x2+x1=0 的两个根,则 x12+x22= 4. 已知一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2,则( y11) (y21)的值为5. 已知关于 x 的方程 x2+(2k+1)x+k22=0 的两实根的平方和等于11,则 k 的值为6. 若 x1、x2 是方程 x22x5=0的两根,则 x12+x1x2+x22= 7. 若关于 x 的一元二次方程x24xk30 的两个实数根为 x1、 x2,且满足 x13x2,试求出方程的两个实数根及k 的值名师归纳总结

14、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载8. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是 x1和 x2(1)求 k 的取值范围;(2)如果 x1+x2x1x21 且 k 为整数,求 k 的值9. 阅读材料:如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,那么,12bxxa,12cxxa这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题:已知 m与 n 是方程 2x26x+3=0

15、的两根(1)填空: m+n= ,m ?n= ;(2)计算nm11的值10. 已知关于 x 的方程 x22(k1)x+k2=0有两个实数根 x1,x2(1)求 k 的取值范围;(2)若| x1+x2|= x1x21,求 k 的值11. 已知: x1、x2是一元二次方程 x24x+1的两个实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载求: (x1+x2)2(2111xx)的值课堂检测听课及知识掌握情况反馈教学需 : 加快 ; 保持 ; 放慢; 增加内容课后作业签字名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -

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