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1、函数综合一、选择题1.（2017 北京）小苏和小林在右图所示的跑道上进行4 50 米折返跑 .在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：） 与跑步时间 （单位：）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（）A两人从起跑线同时出发，同时到达终点B小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C. 小苏前 15 跑过的路程大于小林前15 跑过的路程D小林在跑最后 100的过程中，与小苏相遇2 次【答案】 D. 考点：函数图象2.（2017 甘肃）如图 ，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 以每ymtsssm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
2、 -第 1 页，共 27 页秒 2cm 的速度从点 A 出发，沿 AB BC 的路径运动，到点 C 停止过点 P 作 PQBD，PQ 与边 AD（或边 CD）交于点 Q，PQ 的长度 y（cm）与点 P 的运动时间x（秒）的函数图象如图 所示当点P运动 2.5秒时， PQ的长是（）A B C D【考点】 E7：动点问题的函数图象【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ 的长，根据线段的和差，可得 CP的长，根据勾股定理，可得答案【解答】解：点 P 运动 2.5 秒时 P点运动了 5cm，CP=85=3cm，由勾股定理，得PQ=3cm，故选： B3.（2017 湖北荆州）规定：如果关于x 的一元二
3、次方程ax2+bx+c=0（a0 ）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2 倍，则称这样的方程为 “ 倍根方程 ” 现有下列结论：方程 x2+2x8=0 是倍根方程；若关于 x 的方程 x2+ax+2=0 是倍根方程，则 a= 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页若关于 x 的方程 ax26ax+c=0（a0 ）是倍根方程， 则抛物线 y=ax26ax+c与 x 轴的公共点的坐标是（ 2，0）和（ 4，0） ；若点（ m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x 的方程mx2+5x+n=0 是倍根方程上述结论中正
4、确的有（）ABCD【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；根与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点【分析】通过解方程得到该方程的根，结合“ 倍根方程 ” 的定义进行判断；设 x2=2x1，得到 x1?x2=2x12=2，得到当 x1=1 时，x2=2，当 x1=1时，x2=2，于是得到结论；根据“ 倍根方程 ” 的定义即可得到结论；若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到 mn=4，然后解方程 mx2+5x+n=0 即可得到正确的结论；【解答】解： 由 x22x8=0，得（x4） （x+2）=0，解得 x1=4，x2=2，x12x2，或 x22x1，方程 x22x8=0 不是倍根方
5、程故错误；关于 x的方程 x2+ax+2=0是倍根方程，设 x2=2x1， x1?x2=2x12=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页x1= 1，当 x1=1 时，x2=2，当 x1=1 时，x2=2，x1+x2=a= 3，a= 3，故正确；关于 x 的方程 ax26ax+c=0（a0 ）是倍根方程， x2=2x1，抛物线 y=ax26ax+c 的对称轴是直线 x=3， 抛物线 y=ax26ax+c与 x 轴的交点的坐标是（ 2，0）和（ 4，0） ，故正确；点（m，n）在反比例函数y=的图象上， mn=4，解
6、mx2+5x+n=0 得 x1=，x2=，x2=4x1，关于 x 的方程mx2+5x+n=0 不是倍根方程；故选 C4. （2017四川泸州） 下列曲线中不能表示y是x的函数的是 （）【答案】 C. 【解析】二、填空题1.（2017 重庆 B 卷）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从 A 地到 B 地，乙驾车从 B 地到 A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6 分钟后，乙才出发，在整个过程中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图
7、所示，当乙到达终点A 时，甲还需分钟到达终点 B【答案】 78考点：函数的图象2.（2017 湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 A、 C 分别在 x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限将矩形 OABC 绕点 O顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上， 得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M若经过点 M 的反比例函数 y= （x0）的图象交 AB 于点 N，S矩形OABC=32，tanDOE=，则 BN 的长为3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页【考点】 R7：坐标与图形
8、变化旋转；G5：反比例函数系数k 的几何意义； T7：解直角三角形【分析】利用矩形的面积公式得到AB?BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到anDOE= ，所以DE?2DE=32，解得 DE=4，于是得到 AB=4，OA=8，同样在 RtOCM中利用正切定义得到MC=2，则 M（2，4） ，易得反比例函数解析式为 y=，然后确定 N 点坐标，最后计算BN 的长【解答】解： S矩形OABC=32，AB?BC=32，矩形 OABC 绕点 O顺时针旋转，使点 B落在 y 轴上， 得到矩形 ODEF，AB=DE ，OD=OA，在 RtODE 中，tanDOE=，即
9、 OD=2DE，DE?2DE=32，解得 DE=4，AB=4，OA=8，在 RtOCM 中，tanCOM= ，而 OC=AB=4 ，MC=2，M（2，4） ，把 M（2，4）代入 y=得 k=2 4=8，反比例函数解析式为y=，当 x=8 时，y=1，则 N（8，1） ，BN=41=3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页故答案为 3三、解答题1. （2017 北京）如图，是所对弦上一动点，过点作交于点，连接，过点作于点.已知，设两点间的距离为，两点间的距离为.（当点与点或点重合时，的值为 0）小东根据学习函数的经验，
10、对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：0 1 2 3 4 5 6 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象. PABABPPMABABMMBPPNMBN6ABcmAP、xcmPN、ycmPAByyxxy/x cm/y cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页（3）结合画出的函数图象， 解决问题：当为等腰三角
11、形时，的长度约为 _. 【答案】 （1）1.6， （2）见解析，（3）2.2（答案不唯一）【解析】试题分析：(1)通过画图画出大致图象， 估算当 AP=4 时，PN 1.6；（2）见解析， （3）2.2（答案不唯一）试题解析：（1）1.6 (2)如图所示：（3）作 y=x 与函数图象交点即为所求.2.2(答案不唯一 ) PANAPcm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页考点：函数图象，估算，近似数2.（2017 北京）在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于 1，则
12、称为图形的关联点（1）当的半径为 2 时，在点中，的关联点是 _ 点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围（2）的圆心在轴上，半径为 2，直线与轴、轴交于点若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围【答案】 （1），x或x， （2）2x1 或 2x2xOyPMMQPQ、PMOe1231135,0,02222PPPOePyxPOePCex1yxxyAB、ABCeC23,P P3 2222223 222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页试题解析：（1）, 点与的最小距离为，点与的最小距离为1，
13、点与的最小距离为，的关联点为和根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点 P到原点的距离在1 到 3之间时符合题意； 设点 P的坐标为 P (x ,-x) ,当 OP=1时，由距离公式可得， OP=，解得， 当 OP=3时， 由距离公式可得，OP=，,解得， 点的横坐标的取值范围为x或x12315,01,22OPPOP1P322P3P122P3P22(0)(0)1xx22x22(0)(0)3xx229xx3 22x3 2222223 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页如图 2，当圆与小圆相切时，切点为D，CD=
14、1 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页如图 3，当圆过点 A 时，AC=1，C 点坐标为 (2,0) 如图 4, 当圆过点B 时，连接BC ，此时 BC =3, 在 RtOCB 中，由勾股定理得OC=, C 点坐标为(2,0)2312 22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页 C点的横坐标的取值范围为22；综上所述点 C 的横坐标的取值范围为 或考点：切线，同心圆，一次函数，新定义. 3.（2017 浙江金华）如图1，在平面直角坐
15、标系中，四边形各顶点的坐标分别为，动点与同时从点出发，运动时间为 秒，点沿方向以单位长度 /秒的速度向点运动，点沿折线运动，在上运动的速度分别为（单位长度/秒）.当中的一点到达点时，两点同时停止运动. cx23 22cx2222cx3 22OABC)0,14(),35 ,9(),33, 3(),0 ,0(CBAOPQOtPOC1CQBC-AB-OABCABOA，2533，QP，C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页（1）求所在直线的函数表达式；（2）如图 2，当点在上运动时，求的面积关于 的函数表达式及的最大值；（
16、3）在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的值. 【答案】 (1) y=x+2;(2) ,当 t=5 时，S有最大值；最大值为;(3) t 的值为. 试题解析：（1）解：把 A（3，3 ） ，B（9，5 ）代入 y=kx+b, 得; ABQABCPQStSPQPQOABCt33321335 3(14)(2 3)14 3(26)2242Sttttt81 347 35722 3820 2,423733 395 3kbkb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页解得：; y=x+2; （2）解：在 PQ
17、C 中，PC=14-t,PC边上的高线长为; 当 t=5 时，S有最大值；最大值为. c.当 6t 10 时，线段 PQ 的中垂线经过点 C（如图 3）可得方程 14-t=25-; 解得： t=. 线段 PQ 的中垂线经过点 B（如图 4）可得方程; 解得（舍去） ；332 3kb33332 32t21335 3(14)(2 3)14 3(26)2242Sttttt81 3452t2232225(5 3)(9)(6)2tt123820 238202,72tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页此时；综上所述： t
18、的值为. 4.（2017 贵州黔东南州）如图， M 的圆心 M（1，2） ，M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为：y=x+4 与 x 轴交于点 B， 以 M 为顶点的抛物线经过x 轴上点 D （2，0）和点 C（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线 l 是M 的切线；（3）点 P为抛物线上一动点， 且 PE与直线 l 垂直，垂足为 E，PFy轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点P，使PEF 的面积最小？若存在，请求出此时点P 的坐标及 PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由382027t7 35722 38202,4237精选学
19、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页【考点】 HF：二次函数综合题【分析】 （1）设抛物线的解析式为y=a（x2） （x+4） ，将点 M 的坐标代入可求得 a 的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连接 AM ，过点 M 作 MGAD，垂足为 G先求得点 A 和点 B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB 的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明 MAG= ABD，故此可证明 AM AB；（3） ）先证明 FPE=FBD则 PF：PE：EF=：2：1则 PEF的面积 = PF2，设点 P的坐标为（ x，x2x+） ，
20、则 F（x，x+4） 然后可得到 PF 与 x 的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x2） （x+4） ，将点 M的坐标代入得： 9a=2，解得： a=抛物线的解析式为y=x2x+（2）连接 AM ，过点 M 作 MGAD，垂足为 G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页把 x=0 代入 y=x+4 得：y=4，A（0，4） 将 y=0 代入得： 0=x+4，解得 x=8，B（8，0） OA=4，OB=8M（1，2） ，A（0，4） ，MG=1，AG=2tanMAG
21、=tan ABO=MAG= ABOOAB+ABO=90 ，MAG+ OAB=90 ，即MAB=90 l 是M 的切线（3）PFE+FPE=90 ，FBD+PFE=90 ，FPE=FBDtanFPE= PF：PE：EF=：2：1PEF的面积 = PE?EF= PF?PF= PF2当 PF最小时， PEF的面积最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页设点 P的坐标为（ x，x2x+） ，则 F（x，x+4） PF=（x+4）（x2x+）=x+4+x2+ x=x2x+=（x）2+当 x=时，PF有最小值， PF的最小值为
22、P（，） PEF的面积的最小值为 = （）2=5.(2017江苏徐州） 如图，菱形 ABCD 中，AB=5cm，动点 P 从点 B 出发，沿折线 BCCDDA 运动到点 A 停止，动点 Q 从点 A出发，沿线段AB 运动到点 B 停止，它们运动的速度相同，设点P出发 xs时，BPQ 的面积为 ycm2，已知 y 与 x 之间的函数关系如图所示，其中 OM，MN 为线段，曲线 NK 为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）当 1x2 时，BPQ 的面积不变（填“ 变” 或“ 不变” ） ；（2）分别求出线段 OM，曲线 NK 所对应的函数表达式；（3）当 x 为何值时， BPQ
23、的面积是 5cm2？【考点】 LO：四边形综合题【分析】 （1）根据函数图象即可得到结论；（2）设线段 OM 的函数表达式为y=kx，把（1，10）即可得到线段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页OM 的函数表达式为 y=10 x；设曲线 NK 所对应的函数表达式y=a（x3）2，把（2，10）代入得根据得到曲线NK 所对应的函数表达式y=10（x3）2；（3）把 y=5 代入 y=10 x 或 y=10（x3）2即可得到结论【解答】解：（1）由函数图象知，当1x2 时，BPQ 的面积始终等于 10，当 1x2 时
24、，BPQ 的面积不变；故答案为：不变；（2）设线段 OM 的函数表达式为 y=kx，把（1，10）代入得， k=10，线段 OM 的函数表达式为 y=10 x；设曲线 NK 所对应的函数表达式y=a（x3）2，把（2，10）代入得， 10=a（23）2，a=10，曲线 NK 所对应的函数表达式y=10（x3）2；（3）把 y=5 代入 y=10 x 得，x=，把 y=5 代入 y=10（x3）2得，5=10（x3）2，x=3，3+3，x=3，当 x=或 3时，BPQ 的面积是 5cm2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 2
25、7 页6.(2017江苏徐州） 如图，已知二次函数y=x24 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，C 的半径为，P 为C 上一动点（1）点 B，C 的坐标分别为 B（3，0） ，C（0，4） ；（2）是否存在点P，使得 PBC 为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 连接 PB， 若 E为 PB的中点， 连接 OE， 则OE的最大值 =【考点】 HF：二次函数综合题【分析】 （1）在抛物线解析式中令y=0 可求得 B 点坐标，令 x=0 可求得 C 点坐标；（2）当 PB 与相切时，PBC 为直角三角形，如图 1， 连接 BC，根据勾股定理得到
26、BC=5，BP2=2，过 P2作 P2Ex 轴于 E，P2Fy轴于 F，根据相似三角形的性质得到=2，设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到 BE=3x，CF=2x4，于是得到 FP2=，EP2=，求得 P2（，） ，过 P1作 P1Gx 轴于 G，P1Hy 轴于 H，同理求得 P1（1，2） ，当 BCPC 时，PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页（3）如图 2，当 PB 与C 相切时， OE 的值最大，过E 作 EMy轴于 M， 过 P作 P
27、Fy 轴于 F， 根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）在 y=x24 中，令 y=0，则 x= 3，令 x=0，则 y=4，B（3，0） ，C（0，4） ；故答案为： 3，0；0，4；（2）存在点 P，使得 PBC 为直角三角形，当 PB 与相切时， PBC 为直角三角形，如图（ 2）a，连接 BC，OB=3OC=4，BC=5，CP2BP2，CP2=，BP2=2，过 P2作 P2Ex 轴于 E，P2Fy 轴于 F，则CP2FBP2E，四边形 OCP2B 是矩形，=2，设 OC=P2E=2x，CP2=OE=x，BE=3x
28、，CF=2x4，=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页x=，2x=，FP2=，EP2=，P2（，） ，过 P1作 P1Gx 轴于 G，P1Hy 轴于 H，同理求得 P1（1，2） ，当 BCPC 时，PBC 为直角三角形，过 P4作 P4Hy 轴于 H，则BOCCHP4，=，CH=，P4H=，P4（，4） ；同理 P3（，4） ；综上所述：点P 的坐标为：（1，2）或（，）或（，4）或（，4） ；（3）如图（ 3） ，当 PB 与C 相切时， PB 与 y 轴的距离最大， OE的值最大，过 E 作 EMy 轴于
29、 M，过 P作 PFy 轴于 F，OBEMPF，E 为 PB 的中点，ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页OE=故答案为：7.（2017江苏无锡）如图，以原点O 为圆心， 3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边） ，P是半径 OB 上一点，过 P 且垂直于 AB 的直线与 O 分别交于 C，D 两点（点 C 在点 D的上方） ，直线 AC，DB 交于点 E若 AC：CE=1：2（1）求点 P的坐标；精选学习资料 - - - - - - -
30、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页（2） 求过点 A 和点 E， 且顶点在直线 CD上的抛物线的函数表达式【答案】 (1) P（1，0） (2) y=x2x【解析】试题分析： （1）如图，作 EFy 轴于 F，DC 的延长线交 EF于 H设H （m， n） ， 则 P （m， 0） ， PA=m+3， PB=3m 首先证明 ACPECH，推 出， 推 出CH=2n ， EH=2m=6 ， 再 证 明DPBDHE，推出，可得，求出 m即可解决问题；（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3） （x5） ，求出 E 点坐标代入即可解决问题 . 28241
31、5 2812ACPCAPCECHHE144PBDPnEHDHn3-1264mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页，CH=2n，EH=2m=6，CDAB，PC=PD=n，PBHE，DPBDHE，m=1，P（1，0） （2）由（1）可知， PA=4，HE=8，EF=9，连接 OP，在 RtOCP中，PC=，CH=2PC=4，PH=6，12ACPCAPCECHHE144PBDPnEHDHn3-1264mm222 2OCOP22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页E（9，6） ，抛物线的对称轴为CD，（3，0）和（5，0）在抛物线上， 设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x5） ，把 E（9，6）代入得到 a=，抛物线的解析式为y=（x+3）（x5） ， 即 y=x2x考点：圆的综合题222828282415 28精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页