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1、1.2.11.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数之三角函数线之三角函数线1.1.设设是一个任意角是一个任意角, ,它的终边与单位圆交于点它的终边与单位圆交于点P P（x,yx,y）, ,角角的三角函数是怎样定义的？的三角函数是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 3.3.公式公式 sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ新课讲授新课讲授 问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆为第一象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则）
2、，则 ， 都是正数，都是正数，你能分别用一条线段表示角你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx问题问题2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，都是负数，此时角此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为了简化上述
3、表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号值符号. .根据实际需要，我们规定根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段有向线段. .由由上分析可知，当角上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP=
4、sin，OM=cosOM=cos，那么当角那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考：思考：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点，过点P P作作x x轴的轴的垂线，垂足为垂线，垂足为M M，称，称有向线段有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的正弦线的正弦线和余弦线和余弦线. .当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和的正弦线和余弦线的含义如何？余弦线的含义如何？P PO Ox xy y
5、M MO Ox xy yP PP P思考：思考：设设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1A AT T问题问题3 3：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的为第一象限角，其终边与单位圆的交点为交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段是正数，用哪条有向线段表示角表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T问题问题4 4：若角若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为为第四象限角，其
6、终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表是负数，此时用哪条有向线段表示角示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表是负数，此时用哪条有向线段表示角示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考：思考：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为第三象限角，其终边与单位
7、圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表是正数，此时用哪条有向线段表示角示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考：思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反向的终边或其反向延长线相交于点延长线相交于点T T，则，则AT=tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考：思考：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边
8、在坐标轴上时，角的正切线的含义的正切线的含义如何？如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线是一个点；的正切线是一个点；当角当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. .sin(yMPMPrOP 正弦线正弦线) )cos(xOMOMrOP 余弦线余弦线) )tan(yATATxOA 正切线正切线) )xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()思考：思考：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ sinta
9、n666pppsi ntan444pppsi ntan333ppp思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？si ntanaaaO Ox xy y2( ,)33ppaP PM MP P1 1P P2 232y=例例3 3 求函数求函数 的定义域的定义域. .( )2cos1f aa=-O Ox xy yP P2 2M MP P1 112x=2,2()33kkkZppapp -+P P例例4 4 比较大小：比较大小：54sin,32sinM M1 1P PO Ox xy yP P1 1M M1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具工具. .2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点和正切线的始点都是定点，分别是原点O O和点和点A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想. .