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1、2022年初二数学二次根式知识点解析 一般地，形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。今日学习啦我将与大家共享：初二数学二次根式相关学问点解析。详细内容如下： 二次根式的定义性质和概念 假如一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是详细的数，也可以是含有字母的代数式。 即：若 ，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。 关于二次根式概念，应留意： 被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。 二次根式的性质： 1.任何一个正数的平方根有两个
2、，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是 ，则a的另一个平方根为 ;最简形势中被开方数不能有分母存在。 2.零的平方根是零，即 ; 3.有理化根式：假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。 4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。 二次根式的几何意义 1、 (a≥0)任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解; 2、 都是非负数;当a≥0时， ;而 中a取值范围是a≥0， 中取值范围是全体实数。 3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论; 4、逆用可将根号外
3、的非负因式移到括号内，如 a0 ， a0 a≥0 ， a0 5、 留意: ，即具有双重非负性。 算术平方根 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。 0的算术平方根为0. 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 化简 化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也经常会考察这一内容。 最简二次根式 定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式) 二次根式化简一般步骤： 把带分数或小数化成假分数; 把开方数分解成质因数或分解因式; 把根号内能开得尽方的因式或因数
4、移到根号外; 化去根号内的分母，或化去分母中的根号; 约分。 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，假如他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式 留意他们必需是成对出现的两个代数式;这两个代数式都含有二次根式;这两个代数式的积化简后不再含有二次根式一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式 分母有理化 在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。 分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法： (1)干脆利用二次根式的运算法则： 例： a≥0，b0 (2)利用平方差公式： 例： a≥0，b≥0，a≠b
5、3 (3)利用因式分解： 例： (此题可运用待定系数法便于分子的分解) (4)利用约分： x0，y0 x0，y0 分子有理化 把分子中的根号化去，叫做分子有理化。 a≥0，b≥0，a≠b 换元法 换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。 例：在根式 中，令 ，即可得到 原式= 分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最终求值。 二次根式运算法则 乘除法 1.积的算数平方根的性质 (a≥0，b≥0) 2. 乘法法则 (a≥0，b≥0) 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平
6、方根。 3.除法法则 (a≥0，b0) 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 二次根式的应用 二次根式的应用主要体现在两个方面： (1)利用从特别到一般，再由一般到特别的重要思想方法，解决一些规律探究性问题; (2)利用二次根式解决长度、高度计算问题，依据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程须要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。 二次根式专项训练题目 设 . 求 的值(用含有n的代数式标识,其中n为正整数). 化简 . 已知 ， ，求 的值 ，其中 ， 已知x、y满意 ，且x≠0，求 的值 设 ，xyz0且 ，试求 的值 第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页