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1、静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能2一、静电力的功一、静电力的功点电荷点电荷 从从 P 经任意路径到经任意路径到 Q点，点，电场所作的功为：电场所作的功为：0q QprrqqAArrQP d4d200q0qQrQPrPlEqlFAddd0erEqlEqdcosd00ldEq0rqrdrQPQcrP 在点电荷在点电荷q的场中移动试探电荷的场中移动试探电荷q0，求电场力作的功求电场力作的功A：rrqE3041)11(400QPrrqq电场力所做的功只与始点和电场力所做的功只与始点和末点的位置有关末点的位置有关3)11(400QPrrqq rrqqAAQPQP d4d200任何一个带电体
2、都可看成是由无数电荷元组成，任何一个带电体都可看成是由无数电荷元组成， 由由场强叠加原理可得到电场强度场强叠加原理可得到电场强度 E=E1+E2+En， 试探电荷试探电荷q0从从P 移动到移动到Q，电场力作的功为：，电场力作的功为：QPnQPQPlEEElErEAd)(dd21QPnQPQPlElElEddd21 任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与起始和终了的位置有关与起始和终了的位置有关,而与路径无关。而与路径无关。 这一特性说明：这一特性说明： 静电场是保守场静电场是保守场 。点电荷的静电场力所作的功与积分路径无关。点电荷的静电场力所作的功与
3、积分路径无关。注意注意：运动电荷的场不是保守场，而是：运动电荷的场不是保守场，而是非保守场非保守场。 4 在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分等于零。称为静电场的环路定理。等于零。称为静电场的环路定理。二、电势能二、电势能 电势电势 静电场是保守场，可引入仅与位置有关静电场是保守场，可引入仅与位置有关的电势能概念。用的电势能概念。用WP和和WQ分别表示试探分别表示试探电荷电荷q0在电场中在电场中P点和点和Q点的电势能。电场点的电势能。电场力对试探电荷力对试探电荷q0所作的功可以表示为所作的功可以表示为q0qQrQPrPACBDLADBACBBDAAC
4、BlElElElElE0ddddd因为保守力的数学形式为因为保守力的数学形式为0d LlFLlE0d可以证明在静电场中有可以证明在静电场中有00dPQQPQPPQAqElWWq U 5 电场中电场中P、Q两点间的电势差就是单位正电两点间的电势差就是单位正电荷在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点荷在这两点的电势能之差，等于单位正电荷从点P移到点移到点Q电场力所作的功。电势差也称电压。电场力所作的功。电势差也称电压。 由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电场在场在P、Q两点的状况所决定。可把两点的状况所决定。可把(WP/q0)- -(WQ/q0)称为电
5、场中称为电场中P、Q两点的电势差，并用两点的电势差，并用VP VQ来表示来表示， 于是有于是有: 实际中为了确定实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须在电场中一点的电势能，必须选择一个电势能为零的参考点。选择一个电势能为零的参考点。QPQPQPVVqWWlEd06 我们把我们把VP 和和VQ 称为点称为点P 和点和点Q 的电势，显然它们分别等的电势，显然它们分别等于单位正电荷在点于单位正电荷在点P和点和点Q的电势能。电势差（或电压）为：的电势能。电势差（或电压）为： QQPPQlEVVUPd 为了确定某点的电势，应选择一个电势为零的参考点。当为了确定某点的电势，应选择一个电势为零的参考点
6、。当电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。在实际电荷分布在有限空间时，可选择无限远处的电势为零。在实际问题中，常选择大地的电势为零。电势能零点的选择与电势零问题中，常选择大地的电势为零。电势能零点的选择与电势零点的选择是一致的。点的选择是一致的。PPlEVd 当选择无限远处的电势为当选择无限远处的电势为0时，电场中某点时，电场中某点P 的电势，等于的电势，等于把单位正电荷从把单位正电荷从P 点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所点经任意路径移动到无限远处时，静电场力所作的功。作的功。 电势电势(electric potential )是标量，单位为伏特（是标量，单位为伏特（V ），
7、也称为），也称为焦耳焦耳/库仑，即库仑，即1V= 1 J /C。当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：时电场力所做的功：PQQPPQVVqlEqA)(d007三、电势的计算三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布点电荷产生的电场中的电势分布 可用场强分布和电势的定义直接积分。可用场强分布和电势的定义直接积分。 rerqE204rrqlEVpppd4d20pEqrpprqV04负点电荷周围的场电势为负负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。离电荷越远，电势越
8、高。正点电荷周围的场电势为正正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低。离电荷越远，电势越低。注意注意：点电荷：点电荷电势电势也可以由库仑定律也可以由库仑定律直接求出：直接求出：02000)d4()d(qrrqqqlFVPPPPrq0482. 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势：在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势： 空间有空间有n个点电荷个点电荷q1, q2, , qn ，求任意一点，求任意一点P的的电势。由于点电势。由于点P的电场强度的电场强度E等于各个点电荷单独等于各个点电荷单独在点在点P产生的电场强度的矢量之和。所以点产生的电场强度的矢量之和。所以点P的电的电势可以用电势的叠加
9、原理表示。势可以用电势的叠加原理表示。iiPPPVlEElEPV)(d)(d)(211r2r3rir1q2q3qiqPniiiPniiPrqlEVV10141d在多个点电荷产生的电场中在多个点电荷产生的电场中, ,任一点的电势等于各个任一点的电势等于各个点电荷单在该点所产生的电势的代数和。点电荷单在该点所产生的电势的代数和。同样要注意同样要注意，电势的叠加原理可以利用库仑力的合成，电势的叠加原理可以利用库仑力的合成来证明，不一定要用电场强度的叠加原理。来证明，不一定要用电场强度的叠加原理。9VPrqV04dVrVrV04d)(体密度为体密度为 的带电体的带电体SrSrV04d)(面密度为面密度
10、为 的带电体的带电体LrlrV04d)(线密度为线密度为 的带电体的带电体 可以把带电体看为很多很小电荷可以把带电体看为很多很小电荷元的集合体。它在空间某点产生的元的集合体。它在空间某点产生的电势，等于各个电荷元在同一点产电势，等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和。生电势的代数和。 VdqdrP 3. 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势在任意带电体产生的电场中任意一点的电势10 规定规定两个相邻等势面的电势差相等两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。场强较小。正电荷的场正电荷的场
11、负电荷的场负电荷的场均匀电场均匀电场电力线的方向指向电势降落的方向电力线的方向指向电势降落的方向 因沿电力线方向移动正电荷，电场力做正功，正电荷因沿电力线方向移动正电荷，电场力做正功，正电荷的电势能减少，故电势减小。的电势能减少，故电势减小。11二、电场强度与电势的关系二、电场强度与电势的关系 设电荷设电荷q0在场强为在场强为E的电场中作位移的电场中作位移dl，在，在dl的范围内的范围内电场是匀强的。若电场是匀强的。若q0完成位移完成位移dl 后，电势增高了后，电势增高了dV，则，则其电势能的增量为其电势能的增量为q0 dV， 这时电场力必定作负功，这时电场力必定作负功， lVEllEqVqd
12、d00ElVV Vld也就是电场强度在任意方向的分量，等于电势沿也就是电场强度在任意方向的分量，等于电势沿该方向的变化率的负值。该方向的变化率的负值。 dV = E cos dl 式中式中 是电场强度是电场强度E与位移与位移dl之间的夹角。之间的夹角。等号右边等号右边Ecos 就是就是E在位移在位移dl方向的方向的分量，用分量，用El 表示；等号左边是表示；等号左边是V沿沿dl方方向的方向微商，负号表示向的方向微商，负号表示E指向电势降指向电势降低的方向。于是可以写为低的方向。于是可以写为12VizViyVixVEzyx;xVEx;yVEyzVEz电势梯度电势梯度 是一个矢量，是一个矢量，它的
13、方向是该点附它的方向是该点附近电势升高最快的方向。近电势升高最快的方向。V 直角坐标系中，电势在直角坐标系中，电势在xyz三个方向上变化率的三个方向上变化率的负值即为电场强度的三个分量，也就是：负值即为电场强度的三个分量，也就是：zyxiziyix 定义梯度算符：定义梯度算符： 则电场强度为：则电场强度为：13nVE电势梯度的物理意义电势梯度的物理意义:图中所画曲面图中所画曲面是等势面，其法线方向单位矢量用是等势面，其法线方向单位矢量用n表示，指向电势增大的方向。电场强表示，指向电势增大的方向。电场强度度E的方向沿着的方向沿着n的反方向。根据前的反方向。根据前式，电场强度的大小可以表示为式，电
14、场强度的大小可以表示为 结论：结论：电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势电势梯度是一个矢量，它的大小等于电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿着电势增大的方向。增大的方向。EnVV VndnnVE电场强度矢量必定电场强度矢量必定可以表示为可以表示为14前面通过电势梯度给出了电场强度前面通过电势梯度给出了电场强度E：VE 利用这个电场强度与电势梯度之间的关系式，可以根据利用这个电场强度与电势梯度之间的关系式，可以根据电势分布求场强。我们已知点电荷产生电场的电势公式为：电势分布求场强。我们已知点电荷产生电场的电势公式为：rqV04 同时电势也满足标量叠加
15、原理，任何复杂带电体系的电同时电势也满足标量叠加原理，任何复杂带电体系的电势会很容易计算出。一般标量的计算较为简便，因此在求出势会很容易计算出。一般标量的计算较为简便，因此在求出电势分布后，只需进行微分运算就可计算出场强的各个分量，电势分布后，只需进行微分运算就可计算出场强的各个分量，从而避免直接计算场强时有较复杂的矢量运算。从而避免直接计算场强时有较复杂的矢量运算。 这样，电势可以通过电场强度的路径积分求出，同样电这样，电势可以通过电场强度的路径积分求出，同样电场强度也可以通过电势的梯度求出。先求电势还是电场强度场强度也可以通过电势的梯度求出。先求电势还是电场强度可根据具体情况而定。可根据具体情况而定。