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1、第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布7.4.2 超几何分布 学案一、学习目标1. 理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布；2. 会求服从超几何分布的随机变量的均值，能够利用超几何分布模型解决实际问题.二、基础梳理1. 概念：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为_，.其中，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.2. 均值：_.三、巩固练习1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( )A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB.从7
2、男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X2.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中任意抽取4个，则抽到的正品数比次品数少的概率为( )A.B.C.D.3.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( )A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的4.一个盒子里装有大小、材质均相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X
3、，则等于的是( )A.B.C.D.5.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，记选出的代表中男生人数为X，则( )A.2B.2.5C.3D.3.56.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3名学生代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中女生的人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于( )A. B.C. D.7.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是( )A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中
4、任选两名学生，他们选修不同课程的概率是_.9.箱中装有4个白球和m个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的3个球所得分之和.（1）若，求m的值；（2）当时，求X的分布列.10.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n个人数超过1000的大集团和8个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，已知一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.（1）求n的值；（2）若抽取的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X
5、的分布列和期望.答案解析基础梳理1. ；2.巩固练习1.答案：B解析：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B.2.答案：A解析：抽到的正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，抽到0个正品4个次品的概率，抽到1个正品3个次品的概率，所以抽到的正品数比次品数少的概率为.故选A.3.答案：C解析：对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和有2个坏的三种情况，概率为.故选C.4.答案：B解析：由条件，知随机变量X服从参数为，的超几何分布，其中X的取值范围为，且，.故选
6、B.5.答案：B解析：方法一：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.故随机变量X的分布列为X1234P所以随机变量X的数学期望.故选B.方法二：已知X服从参数为8，4，5的超几何分布，所以.故选B.6.答案：C解析：由题意得，所以.故选C.7.答案：B解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布，故，所以，.故选B.8.答案：解析：随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中.依题意所求概率为.9.答案：（1）由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量，即所以.（2）由题意得，当时，X的可能取值为3，4，5，6.X的分布列为X3456P10.答案：（1）题意知共有个集团，抽取2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有种，故全是小集团的概率，整理得，即，解得（舍去）.（2）若抽取的2个集团全是大集团，则共有种情况；若抽取的2个集团全是小集团，则共有种情况，故所求概率为.（3）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，故X的分布列为P01234X所以.学科网（北京）股份有限公司