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1、课题二项式定理授课时间45分钟学生高二授课人XX教学内容分析本节内容选自人教A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第六章第3节第1小节。二项式定理是初中多项式乘法的继续，不过将多项式的个数扩充到n个。本节内容是在学习了计数原理、排列数公式和组合数公式之后学习二项式定理，一方面，它是计数原理的一个应用，另一方面，作为统计与概率的一个部分，在学习了二项式定理之后，可以通过类比的方法，探索概率中的二项分布。总之，二项式定理具有联系不同内容的作用。学情分析学生在本节课之前，已经可以利用多项式乘法对二项式的平方、立方等进行计算，同时也学习了计数原理的相关知识，但并没有意识将多项式乘法与计数原理的知识进行
2、联系，对多项式乘法没有一个新的视野。并且，在探究每一项系数与组合数的联系时，学生还会存在困难，因此需要进一步的引导。教学目标1.通过多项式的乘法运算建立过程性表格，发现展开式中每一项的由来。2.利用计数原理解析展开式的项数以及每一项a、b的次数和系数的变化。3.通过发现规律猜想a+bn的展开式，并给出证明4掌握二项式定理和展开式的通项公式，明确二项式系数和系数的区别。5.在探究过程中，培养学生观察总结的能力，以及培养学生从特殊到一般的数学思想。教学重点二项式定理的内容教学难点利用计数原理证明二项式定理课堂教学过程教学流程学生活动设计意图(一)提出问题，引发思考如果今天是周二，那么再过810天后
3、，是周几？要求810天后是周几，即求810除以7的余数是几，810如果要进行运算，这无疑是复杂的，能否将810写成7的倍数的形式？由于8=7+1，则82=7+12=72+27+1，83=7+13=73+372+37+1。可以发现，对于82和83，都可以写成7的倍数加上1的形式，那么，810=7+110是否也是这样的形式呢？你能尝试展开试试吗？接下来要利用计数原理和排列组合的相关知识，来探究，形如a+b10、a+bn这样的式子的展开式。（二）回顾已知，加强印象之前，已经学到了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并且，习得了排列组合公式，你能回忆起两个公式的计算方法吗？排列数公式：Anm=nn1n
4、2(nm+1)组合数公式：Cnm=AnmAmm=nn1n2(nm+1)m!我们已经知道，完全平方公式指出，可知 a+b2=a2+2ab+b2，a+b3=a+ba+b2=a3+3a2b+3ab2+b3(二)引导探究，发现规律将a、b一般化，利用多项式乘法运算法则计算乘积a1+b1a2+b2a3+b3，观察其展开式，展开式中的每一项是如何得到的？1、求出各项，探究项数【问题一】数一数，展开式一共有几项？每一项的构成有什么特点，完成以下表格。从a1+b1中取从a2+b2中取从a3+b3中取构成乘积1a1a2a3a1a2a32a1a2b3a1a2b33a1b2a3a1b2a34a1b2b3a1b2b3
5、5b1a2a3b1a2a36b1a2b3b1a2b37b1b2a3b1b2a38b1b2b3b1b2b3【问题二】可以发现，展开式的每一项都包含了从三个因式中选出一个字母相乘的所有可能结果，每一项都是三次项。你能利用计数原理，来证明展开式拥有8项吗？2、合并同类项，探究系数令表格中a1=a2=a3=a, b1=b2=b3=b,在表格后新增一列，观察此时每一项的变化，此时原式a1+b1a2+b2a3+b3变为a+ba+ba+b，即a+b3。合并同类项，展开式变为a3+3a2b+3ab2+b3，其中每一项都是关于a、b的三次项。对比a1、a2、a3、b1、b2、b3的选取过程，来分析每一项的系数，
6、即每一项展开后出现的个数，可以发现，（1）a3的出现，是在三个因式中同时选取a,即都不选b。从而，只能形成C30=1，这1个a3（2）a2b的出现，是在三个因式中，挑选一个因式取b,其余两个因式取出a。从而，能形成C31=3个a2b【问题三】你能利用相同的思路分析出剩下两项的形成原因吗？因此，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 =C30a3+C31a2b+C31ab2+C33b34、找寻规律【问题四】对于a+b3的展开结果，（1）此时等式右边展开式中有几项？（2）观察展开式的每一项，字母a、b的指数有什么变化规律？（3）观察展开式，其中每一项都是一个三次项，你能利用这个特征，将每一项中a
7、、b的变化写成一个与k(k=0,1,2)有关的通式吗？（三）猜测定理，类比证明以上是3个a+b相乘的情况，你能猜测出4个a+b相乘的结果，以及n个a+b相乘的结果吗？根据a+b3的展开结果和问题四中发现的规律，猜测a+bn=Cn0an+Cn1an1b+Cnranrbr+Cnnbn类比a+b3的研究方法，对猜想的正确性加以说明。1、求出每项，探究项数由于a+bn是n个（a+b）相乘，由分步乘法计数原理，从每一个（a+b）中都选择一个a或者b，在合并同类项之前，a+bn的展开式一共有C21C21C21C21=2n项其中每一项都可以表示为ankbk（k=0,1,2,3n）的形式。2、合并同类项，探究
8、系数ankbk的出现，是在n个因式中挑选n-k个因式取出a，其余k个因式取出b，且b取出后，a的选法也随之确定，因此，ankbk出现的次数相当于从n个因式中取出k个b的组合数Cnk。所以，合并同类项后，ankbk的系数是Cnk （k=0,1,2,3n）从而，猜想正确，a+bn=Cn0an+Cn1an1b+Cnranrbr+Cnnbn3、探究规律【问题五】（1）此时展开式共有几项？是n项吗？（2）展开式的每一项，字母a、b的指数有什么变化规律？（3）展开式的第一项是什么？第二项？第n项是？最后一项是？（4）你能发现项数与k的关系吗？【得出定理】这个公式称为二项式定理，等式右边的式子称为a+bn的
9、二项展开式，a+bn的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnk （k=0,1,2,3n）称为二项式系数，式中，Cnkankbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1来表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk+1=Cnkankbk。特别地，若设a=1，b=x，则得到公式：1+xn=1+Cn1x+Cn1x2+Cnrxr+xn（四）回归问题，应用解决再过810天，即计算7+110的展开式，根据公式7+110=1+C1017+C10172+710观察到，除了第一项外，每一项都是7的倍数，因此，可知，810除以7余1，所以，如果今天是周二，那么再过810天后是周三。学生动手计算7+12和7+13，并思考7+
10、110的展开形式。学生自行默写排列组合公式，并回忆计数原理的定义。计算a1+b1a2+b2a3+b3=a1a2a3+a1a2b3+a1b2a3+a1b2b3+b1a2a3+b1a2b3+b1b2a3+b1b2b3并填充完表格的最后一列【预设回答】展开式一共有8项，每一项都含有3个字母，这三个字母都分别来自于3个因式【预设回答】根据分步乘法计数原理，从三个因式中分别选出一个字母，因此，最终的展开式一共有C21C21C21=222=8种结果，即拥有8项。【预设回答】（3）ab2是在三个因式中挑选两个因式出b，从而，能形成C32=3个ab2（4）b3是在三个因式中都取出b，从而，只能形成1个b3【预
11、设回答】（1）此时式中有4项（2）字母a的指数从3开始递减至0，字母b的指数从0递増至3（3）写成a3kbk(k=0,1,2)的形式【预设回答】（1）展开式共有n+1项（2）字母a的指数从n开始递减至0，字母b的指数从0递増至n（3）展开式的第1项是Cn0an，第2项是Cn1an1b，第n项是Cnn1abn1，最后一项是第n-1项，为Cnnbn（4）项数=k+1学生回到最初的问题，利用公式尝试计算。利用常见数学问题，引出二项式的乘法。将实际问题一般化，从问题出发，吸引学生的探究兴趣。复习旧知，提示本节课所用方法，形成初步印象。一般化a、b，进行一个过渡。列表显示展开式中利用乘法运算各项的形成过
12、程，更能清晰的体会从每个因式中取出一个的过程，从而引导学生利用计数原理进行计算。根据表格的内容，指出计数原理的方法，初步尝试用计数原理进行项数的运算。从一般再到特殊，正式形成a+b3，并对比上述表格中的形成过程，利用计数原理来探究各项出现的个数，即系数问题。找寻规律，明确每一项的特征，巩固已有思想，为后续猜测a+bn做准备。类比a+b3展开式的形成过程，分步骤对a+bn的展开式进行验证，体现从一般到特殊的数学研究方法，培养学生的归纳总结能力。探求展开式中的规律，为得出定理内容做铺垫，同时为得出Tk+1项，即通项做铺垫。回到问题，体现数学来源于生活并应用于生活的作用。强化训练，巩固提升【例1】求
13、x+1x6的展开式解：根据二项式定理，x+1x6=x+x16=C60x6+C61x5x1+C62x4x2+C63x3x3+C64x2x4+C65xx5+C66x6=x6+6x4+15x2+20+15x2+6x4+x6【例2】（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数解：第4项是T3+1=C731732x3=C7323x3=358x3=280x3则展开式第4项系数为280，第4项的二项式系数为C73=35（2）求2x1x6的展开式中x2的系数是？解：通项为C6k2x6x1xk=1k26kC6kx3k求x2的系数，即令3-k=2，k=1，因此，x2的系数为：（-1）25C61=192学生独立完成，并
14、核验答案和计算过程。学生在黑板上演示做题过程，并尝试进行讲解。例1针对二项式定理进行应用，使学生熟悉公式，初步掌握计算方法例2（1）对展开式的二项式系数和系数进行区别，形成做题的易错点（2）针对展开式的通项公式进行训练，明确先求k，再通项的解题技巧。并强调-1对系数的影响。小结归纳，回顾反思 1.通过探讨a+b3的展开式，形成a+bn的展开式，得到二项式定理，了解二项式系数、通项公式2.明确 1+xn的展开式3.明确二项式系数与系数的区别4.能利用二项式定理解决二项式的展开问题，能求出展开式中的任意一项。学生分小组举手回答归纳概括，形成知识体系，引导学生结合自身理解，形成认知。作业布置，分层训练层次一：教材P31练习1、2、4层次二：教材P31练习3、5板书设计6.3.1二项式定理1、实际问题：a+b10 a+b3 的探究 复习：2、a+bn的探究3. 二项式定理 内容：二项式系数： 【例1】 总结：通项： 1+xn： 【例2】 作业： 学科网（北京）股份有限公司