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1、细解“直线与圆锥曲线的位置关系”一、直线与圆锥曲线的位置关系判断1、直线，圆锥曲线的位置关系有三种:相离-相离时零个公共点相交-相交时两个公共点或一个公共点：为交点相切-相切时一个公共点：为切点说明：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点（是相交而不是相切）；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点（是相交而不是相切）2、直线和圆锥曲线的位置关系的判断方法：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，即通过代数方法即解方程组的办法来研究。此时要注意用好分
2、类讨论和数形结合的思想方法。 设直线，圆锥曲线，联立直线的方程与圆锥曲线的方程得到二元二次方程组消去得到关于的一元二次方程结合一元二次方程的相关知识 ()得到：（1）直线与曲线无交点 方程无根；（2）直线与曲线一个交点方程两等根；（3）直线与曲线两个交点方程两不等根. 例题1：已知双曲线C：与点P(1，2)，求过点P的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解： 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=
3、0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.例题2：直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解：把代入整理得：（1）当时，。由0得
4、且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，则有0 ，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；同理当时，A、B两点在双曲线的两支上。练习：1）椭圆上的点到直线距离的最大的值是 .2）过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。解析：设双曲线的方程为，渐近线，则过的直线方程为，则，代入得，即得，即得到。（依据图像特征易得斜率之间的关系）二、直线与圆锥曲线相交的基本内容直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的重中之重，应熟练掌握解决此类问题的基本思想和方法。这类问题常涉及到直线的基本知识和圆锥曲线的性质，特别是当直线与圆锥曲线相交时，涉
5、及到的基本问题有：弦长问题、弦中点问题、垂直问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；将弦所在直线的斜率与弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。1、直线与圆锥曲线相交的弦长：设直线，圆锥曲线：，它们的交点为A、B，且由，消去得，。则弦长公式为：=例题：已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。解析：a=3,b=1,c=2，则。由题意知：与联立消去y得：。设A、B，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=练习：1) 求直线被双曲线截得的弦
6、长。解：设直线与双曲线交于两点，联立得即（*）则方程（*）的解为，则有 得，2) AB是过椭圆的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长2、直线与圆锥曲线相交弦的中点：例题：中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程。解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得把直线方程代入椭圆方程整理得：。设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：，又AB的中点横坐标为，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：。点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，最后解关于a、b的方程组即可。
7、练习：1）求与椭圆相交于AB两点,并且线段AB的中点为M(1,1)的直线方程.2）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。解析：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b=1.椭圆C的方程为y21由得10x236x270，因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设，则x1x2，故线段AB的中点坐标为（）3）已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点，若线段中点的横坐标是，求直线的方程。3、直线与圆锥曲线中的对称问题（垂直）：圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上
8、的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。例题：若抛物线上存在关于直线的两点，求实数m的取值范围解：设抛物线上两点关于直线练习：抛物线上有关于对称的相异两点，求的取值范围。三、直线与圆锥曲线解题方法的程序化过程以及需要注意的关键点 直线与圆锥曲线的基本内容包括位置关系的判断相交弦长相交弦的中点垂直问题等，通过几种基本问题的解决不难发现，对直线与圆锥曲线这一类问题的处理，前一阶段的准备工作可以从程序化的角度来加以认识和把握。包括的基本步骤有 步骤（一）：1、设直线方程时要考虑直线斜率不存在或为0的特殊情况，（有时设成横截距形式也可）例题：椭圆中心是坐
9、标原点O，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且.求椭圆离心率e的取值范围。解：,当PQx轴时，F（c , 0）， |OF|=|FP|即, , .当PQ不垂直x轴时，设得 设，即, 亦即 解得 ，又，得,解得 综合上述情况得e的范围是. 例题：垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为双曲线上异于的动点，且直线分别交轴于，证明：为定值例题：过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，若中点为，当的面积最大时，求直线的方程。练习：1）过点与相切的直线有 条。2）若曲线上存在两点关于直线对称，求的范围。（要讨论2、求圆锥曲线方程时要熟练掌握圆锥曲线的定义方程和性质以及基本方法（待定系数法）步骤（二）
10、：一般来讲习惯整理成关于的方程。但在某些具体题目中，有时整理成关于的方程更便于问题的解决。本步骤要求结果准确，否则下面全是无用功。练习：1）将整理成关于的方程2) 将整理成关于的方程步骤（三）：因为考题中都是直线与圆锥曲线相交的情况，因此必有两交点，同时理解交点的坐标与方程组的解以及整理后方程的根之间的对应关系。（由曲线方程的定义可知，两曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共实数解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几个实数解，两曲线就有几个交点，方程组没有实数解，两条曲线就没有交点。即两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。可见，求曲线的交点问题就是求方程
11、组的实数解的问题。求曲线的相交问题，就转变为研究方程组问题。）步骤（四）： 例题：1）双曲线与直线交于不同的两点，求双曲线离心率的范围。2）直线与曲线恰有一个公共点，求的值。会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的（尤其含有待定的系数时，否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是。因此判别式在直线与曲线位置关系中起着非常重要的作用，在解决某些参数范围问题时，应用这一不等关系是一条重要途径，但何时需要，何时能够省略考虑，有时可以简化运算。例题：已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(2，0)，F2(2
12、，0)，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)因为椭圆C的左、右焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，所以c2.由椭圆定义可得2a2，解得a.所以b2a2c2642，所以椭圆C的标准方程为1.(2)不存在满足条件的直线l.理由如下：假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由于|F
13、1M|F1N|，设线段MN的中点为E，连接F1E，则F1EMN，所以kF1E1，又E，所以E，所以kF1E1，解得t4.当t4时，不满足2t2.所以不存在满足条件的直线l.例题：已知双曲线与点,直线过点交双曲线于，是否存在直线使得为弦的是中点，存在求出，不存在，说明理由.例题：已知椭圆与点,直线交椭圆于，是否存在使得弦的中垂线经过点，存在求出范围，不存在，说明理由.例题：在抛物线上是否存在两点关于直线对称，若存在求出直线的方程，不存在，说明理由.3、结合具体题目条件如何用得上韦达定理是最关键的问题如果说前面的几个环节是直线与圆锥曲线问题解决的一般共性步骤的话，那么涉及到具体题目时，如何用的上韦
14、达定理就显得非常重要了。除了前面弦长公式，弦中点，垂直等基本应用韦达定理的形式外，下面也是常见类型。已知椭圆的右焦点，过且斜率为的直线与椭圆交于两点，求的值例题：设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解：显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或 又，又，即 故由、得或例题：练习：例题：如图所示，已知椭圆，过作直线，使得与该椭圆交于两点，与轴的交点为，且，求直线的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以
15、，又 故得，所求的直线方程为。例题：已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,且经过点为椭圆右焦点，的方程为.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与O相切，与F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记O的面积为，求取最大值时，直线l的方程.（1）解：设C的方程为.由题设知因为F的标准方程为，所以F的坐标为，半径.设左焦点为，则的坐标为.由椭圆定义，可得由解得.所以C的方程为.（2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在F内，Q在F外，在直线l上的四点满足.由消去y得 因为直线l过椭圆C内的右焦点F，所以该方程的判别式恒成立. 设由韦达定理，得.又因为F的直径,所以.可化为.因为l与O相
16、切，所以O的半径，所以.所以例题：已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 练习:如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点. 直线交椭圆于两不同的点. 练习：已知椭圆的右焦点，左顶点，过垂直于长轴的直线与椭圆在第一象限交于点，平行于直线的直线与椭圆交于点，试判断直线是否关于直线对称，并说明理由。练习：例题：过点的直线交曲线于两点，交轴于点（点与曲线的顶点不重合）当且，求直线的方程。练习：1）直线过双
17、曲线的右焦点，与双曲线交于，满足，求双曲线的方程。2）已知抛物线方程为在轴上截距为2的直线与抛物线交于两点，且以线段为径的圆过原点，求直线的方程。3）设椭圆的左、右焦点分别为.是椭圆上的一点,原点到直线的距离为；（1）求椭圆的离心率；（2）若左焦点设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线与x轴交于,求点横坐标的取值范围.解：（1）解法1：由题设AF2F1F2,及F1（c,0）,F2（c,0）,不妨设点A（c,y）,其中y0.由于点A在椭圆上,有即.2分直线AF1的方程为由题设,原点O到直线AF1的距离为4分将,进而求得6分解法2：设O到直线AF1的垂足为E,则RtOEF1Rt
18、AF2F1, （*）由已知条件可求得3分又4分代入（*）式得将代入并化简,得进而求得6分（2）左焦点F1（1,0）椭圆的方程为 7分设直线BC的方程为代入椭圆方程并整理得记B则 10分BC的垂直平分线NG的方程为 11分令y=0得12分13分即点G横坐标的取值范围为 14分例题：已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：(I)由题意设椭圆的标准方程为， (II)设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时
19、，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为例题：已知椭圆的中心在原点，一个顶点为A(0,1),焦点在轴上,其右焦点到直线的距离为,()求椭圆方程;()椭圆与直线相交于不同的两点,当时,求的取值范围.解：（）由已知设椭圆方程为，（ab0）, 其中b=1，设右焦点为（c,0），则=3，解得，y=kx+mx2+3y23=0椭圆方程为（）设P为MN的中点,解方程组得(3k2+1)x2+6mkx+3(m21)=0, = 12m2+36k2+120,得m2m2，解得0m1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1
20、）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.练习：练习：已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于。（1）求动点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴的两个交点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，证明：的周长为定值。练习：在平面直角坐标系中，A1，A2两点的坐标分别为，直线A1M，A2M相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点作直线交曲线E于P，Q两点，且点P位于轴上方，记直线A1Q，A2P的斜率分别为.证明：为定值.设点Q关于轴的对称点为Q1，求面积的最大值.已知E、F分别为椭圆C：的短轴端点，过点的直线交椭圆C于
21、。直线交于点。证明点恒在一定直线上。练习：已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，过点作直线的垂线，垂足为，证明直线过定点，并求出定点的坐标。练习：已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆C上异于左右顶点A，B的任一点，当PF1F2的面积最大值为时，PF1F2为正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设PB交直线x=4于M，AM交椭圆C于Q. www.yunliankao.ne#t%()证明:kAPkAQ为定值;()求APQ面积的最大值.【解析】：（1）由题意可得： （ 1分）解得： 椭圆的标准方程为 （3分）注：a,b,c值错一个则后面分都没有，没有写出a,b,c的值，椭圆标准方程对不扣分。（
22、1） （i）证明:由题意设，, 又, （4分）， （5分）注：表示出M点的纵坐标得1分，只写出直线BP方程没有分。代入上式可得： （7分）注：没有化简得过程直接得出结果扣1分 （8分）注：表示出一组韦达定理得1分，只写出联立得到的一元二次方程没有分。 （9分） （10分），（12分）注：最值求解也可利用导数处理，没有说明单调性的不扣分；没有写出m=0不扣分。已知点，过点的直线交椭圆于两点，直线，分别交轴于两点，若，求证：为定值例题：已知椭圆C：过点点(2，1)，离心率位，抛物线的准线l交x轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；（2）若M是线段AN的中点，求
23、直线MN的方程；（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由【解析】例题：已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，AF1F2是面积为4的直角三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）设圆O：x2+y2=83上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，问：PMPN是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解：（1）由为直角三角形，故，又，可得，解得，所以，所以椭圆C的方程为；（2）当切线l的斜率不存在时，其方程为将代入，得，不妨设，又，所以，同理当时，也有当切线l的斜率存在时，设方程为，因为l与圆相切，所以，即，将代入，得，所以，又，又，将代入上式，得，综上，如何用得上韦达定理已知椭圆与直线交于两点，为坐标原点，试将下列问题转化为关于的坐标表达式联立,消去整理得：由韦达定理得：弦长和的面积 （以为邻边的平行四边形的面积）弦中点（为直径的圆过原点）（点在以为直径的圆上） （的中垂线过点）为锐角 （点在以为直径的圆外）（转化为两直线斜率之间的关系）例题：已知直线与椭圆交于两点，为椭圆与轴正半轴的交点，若重心恰好为椭圆的右焦点，则直线的方程是 40学科网（北京）股份有限公司