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1、优秀学习资料欢迎下载一元二次不等式及其解法1. 下列结论正确的是 . 不等式 x24 的解集为 x| x 2 不等式 x2-9 0 的解集为 x| x3 不等式 ( x-1)22 的解集为 x|1-2 x1+2 设 x1, x2为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且x1x2, 则不等式 ax2+bx+c0 的解集为 x| x1xx2 答案2. （2007湖南理） 不等式12xx0 的解集是 . 答案（-1，23. （2008天津理） 已知函数 f ( x)=,0, 1,0,1xxxx则不等式 x+(x+1) f( x+1) 1 的解集是 . 答案 x| x2 -1 4. 在 R 上定义运算:
2、 xy=x(1- y). 若不等式 (x- a)( x+a) 1 对任意实数x 成立 , 则 a 的取值范围是 . 答案-21a235. (2008 江苏， 4) A=x|( x-1)23x-7 ，则 A Z 的元素的个数为 . 答案0 例 1解不等式23352x21( x2-9)-3 x. 解原不等式可化为 -23x2+2521x2-29-3 x, 即 2x2-3 x-70. 解方程 2x2-3 x-7=0, 得 x=4653. 所以原不等式的解集为4654346543xx. 例 2 已知不等式ax2+bx+c0 的解集为 (,), 且 0,求不等式cx2+bx+a0 的解集 . 解方法一由
3、已知不等式的解集为(，) 可得 a0, ，为方程 ax2+bx+c=0 的两根，由根与系数的关系可得00)(acab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载a0, 由得 c0, 则 cx2+bx+a0 可化为 x2+xcb+ca0, 得cb=)(=-110, 由得ca=1=110, 1、1为方程 x2+cbx+ca=0 的两根 . 0, 不等式 cx2+bx+a0 的解集为11xxx
4、或. 方法二由已知不等式解集为(,), 得 a0, 且，是 ax2+bx+c=0 的两根，+=-ab,=ac, cx2+bx+a0acx2+abx+10 () x2-(+) x+10(x-1)(x-1) 0 1x1x0. 0, 11, x1或 x1, cx2+bx+a0 的解集为11xxx或. 例 3已知不等式11xax0 ( aR). (1) 解这个关于x 的不等式 ; (2) 若 x=- a 时不等式成立 , 求 a 的取值范围 . 解 (1)原不等式等价于 ( ax-1)( x+1)0. 当 a=0 时, 由-( x+1) 0, 得 x-1; 当 a0 时, 不等式化为ax1( x+1)
5、0, 解得 x-1 或 xa1; 当 a0 时, 不等式化为ax1( x+1)0; 若a1-1, 即-1 a0, 则a1x-1; 若a1=-1, 即 a=-1, 则不等式解集为空集; 若a1-1, 即 a-1, 则-1 xa1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载综上所述 , a-1 时, 解集为axx11; a=-1 时, 原不等式无解 ; -1a0 时, 解集为11xax;
6、 a=0 时, 解集为 x| x-1; a0 时, 解集为axxx11或. (2) x=- a 时不等式成立 , 112aa0, 即- a+10, a1, 即 a 的取值范围为a1. 例 4 （14 分）已知 f ( x)= x2-2ax+2, 当 x -1，+）时， f ( x) a 恒成立，求a 的取值范围 . 解方法一f (x)=( x- a)2+2- a2, 此二次函数图象的对称轴为x=a, 2 分 当a (- ,-1)时 ， 结 合 图 象 知 , f （ x) 在 -1 ， + ） 上 单 调 递 增 ， f ( x)min=f (-1)=2 a+3, 4 分要使 f (x) a
7、恒成立，只需f (x)mina, 即2a+3a,解得a-3,又a-1,-3a-1; 6 分当 a -1， +） 时， f ( x)min=f (a)=2- a2, 8分由 2- a2a, 解得 -2 a1, 又 a-1, -1a1. 12 分综上所述，所求a的取值范围为-3a1. 14 分方法二由已知得 x2-2 ax+2- a0 在 -1， +） 上恒成立， 4分即=4a2-4（2- a）0或0) 1(10fa, 10 分解得-3a1. 14 分1. 解下列不等式：（1）- x2+2x-320;(2)9 x2-6 x+10. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
8、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解 （1）- x2+2x-32 0 x2-2 x+320 3x2-6x+20 =120, 且方程 3x2-6 x+2=0 的两根为x1=1-33, x2=1+33, 原不等式解集为331331xx. (2)9 x2-6x+10(3 x-1)20. xR, 不等式解集为R. 2. 已知关于 x 的不等式（ a+b）x+(2a-3b) 0 的解集为31xx，求关于 x 的不等式 ( a-3 b)x+( b-2 a
9、)0的解集 . 解（ a+b）x+(2 a-3 b) 0 的解集是31xx, .0,0)32(31)(bababa于是 a=2b0, b0, 不等式 ( a-3b) x+(b-2a) 0, 即为 - bx-3b0, 亦即 - bx3b, x-3. 故所求不等式的解集为 x| x-3. 3. 解关于 x 的不等式2axax0 （aR）. 解2axax0( x- a)( x-a2) 0, 当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为；当 a0 或 a1 时， aa2，此时 axa2; 当 0a1 时， aa2，此时 a2xa. 综上，当 a0 或 a1 时，原不等式的解集为x| axa2 ；当 0
10、a1 时，原不等式的解集为 x| a2xa; 当 a=0 或 a=1 时，原不等式的解集为. 4. 函数 f （x）=x2+ax+3. (1) 当 xR时, f ( x) a 恒成立 , 求 a 的取值范围 . (2) 当 x-2,2 时, f ( x) a 恒成立 , 求 a 的取值范围 . 解 (1)xR时, 有 x2+ax+3-a0 恒成立 , 须=a2-4(3- a) 0, 即 a2+4a-12 0, 所以-6 a2. (2) 当 x-2,2 时, 设 g( x)= x2+ax+3- a0, 分如下三种情况讨论( 如图所示 ): 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -
11、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载如图 (1), 当 g(x) 的图象恒在x 轴上方时 , 满足条件时 , 有=a2-4(3- a) 0, 即-6a2. 如图 (2), g( x) 的图象与 x 轴有交点 , 但在 x -2,+ ) 时, g( x) 0, 即0)2(,220gax即0324220)3(42aaaaa37462aaaa或解之得 a. 如图 (3), g( x) 的图象与 x 轴有交点 , 但在 x(- ,2 时 ,g
12、( x) 0, 即0)2(,220gax即0324220)3(42aaaaa7462aaaa或-7 a-6 综合得a -7，2. 一、填空题1. 函数 y=) 1(log221x的定义域是 . 答案-2 ,-1 ）（ 1，2 2. 不等式412xx0 的解集是 . 答案(-2,1)(2,+ ) 3. 若( m +1) x2-( m -1) x+3(m -1) 0 对任何实数 x 恒成立，则实数m的取值范围是 . 答案m -11134. 若关于 x 的不等式： x2-ax-6a0 有解且解区间长不超过5 个单位，则a 的取值范围是 . 答案-25 a-24 或 0a1 5. (2009 启东质检
13、 ) 已知函数 f ( x）的定义域为（ - ， +） ，f ( x) 为 f (x) 的导函数，函数y=f( x) 的图象如右图所示，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载且 f (-2)=1,f (3)=1, 则不等式 f ( x2-6) 1 的解集为 . 答案(2,3) (-3,-2) 6. 不等式组030122xxx的解集为 . 答案 x|0 x1 7. 若不等式 2xx2
14、+a 对于任意的x -2 ，3恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案(- ,-8) 8. 已知 x| ax2- ax+10=, 则实数 a 的取值范围为 . 答案0a4 二、解答题9. 解关于 x 的不等式 56x2+ax- a20. 解原不等式可化为 (7 x+a)(8 x- a)0, 即7ax8ax0. 当 -7a8a, 即 a0 时,-7ax8a; 当 -7a=8a, 即 a=0 时, 原不等式解集为; 当 -7a8a, 即 a0 时, 8ax-7a. 综上知 : 当 a0 时, 原不等式的解集为87axax; 当 a=0 时, 原不等式的解集为; 当 a0 时, 原不等式的解集为78
15、axax. 10. 已知 x2+px+q0 的解集为3121xx，求不等式qx2+px+10 的解集 . 解x2+px+q0 的解集为3121xx, -21,31是方程 x2+px+q=0 的两实数根，由根与系数的关系得qp)21(312131, 6161qp, 不等式 qx2+px+10 可化为 -0161612xx, 即 x2- x-6 0, -2 x3, 不等式 qx2+px+10 的解集为 x|-2 x3. 11. 若不等式 2x-1m ( x2-1) 对满足 | m | 2 的所有 m都成立，求x 的取值范围 . 解方法一原不等式化为 ( x2-1) m -(2 x-1) 0. 令
16、f ( m )=( x2-1) m -(2 x-1)(-2m 2). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载则.0) 12() 1(2)2(, 0) 12() 1(2)2(22xxfxxf解得271x231. 方法二求已知不等式视为关于m的不等式，（1）若 x2-1=0 ，即 x=1 时，不等式变为2x-1 0, 即 x21, x=1, 此时原不等式恒成立. （2）当 x2-1 0
17、 时，使1122xxm对一切 | m | 2 恒成立的充要条件是1122xx2, 1x231. (3) 当 x2-1 0 时，使1122xxm对一切 | m | 2 恒成立的充要条件是1122xx-2. 271x1. 由（ 1） （2） （3）知原不等式的解集为213217xx. 12. 已知函数 f ( x)= ax2+a2x+2b-a3, 当 x(-2,6)时，其值为正，而当x(- ,-2) (6,+ ）时，其值为负 . （1）求实数 a, b 的值及函数f( x) 的表达式；（2）设 F（x）=-4kf (x)+4( k+1) x+2(6 k-1), 问 k 取何值时，函数F（x）的值恒
18、为负值？解 (1)由题意可知 -2 和 6 是方程 f ( x)=0 的两根，126224623aaba, 84ba, f ( x)=-4 x2+16x+48. (2) F( x)=-4k(-4 x2+16x+48)+4( k+1) x+2(6 k-1) =kx2+4x-2. 当 k=0 时， F( x)=4 x-2 不恒为负值；当 k0 时，若 F( x) 的值恒为负值，则有08160kk,解得 k-2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -