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1、数学Arithmetic 整数整数性质任何一个大于2 的偶数都可以表示为两个质数的和任何两个连续整数是互质的若 3 个连续自然数的算术平均值为奇数，则这三个数的乘积必为8 的倍数在判断一个数n 是否是质数时，我们只要用1 至 n-1 去除 n，看看能否整除即可。但我们有更好的办法。先找一个数m，使 m 的平方大于n，再用小于等于m 的质数去除 n（n 即为被除数） ，如果都不能整除，则n 必然是质数。最小公倍数和最大公约数求解最小公倍数求法：1.将所有的数分别表示为各自质因数的乘积；2.挑出相同的质因子，只保留指数较大的作为公因子；3.将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法：1.将所有的
2、数分别表示为各自质因数的乘积；2.挑出相同的质因子，只保留指数较小的作为公因子；3.将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除：4后两位能被4 整除； 6能同时被2 和 3 整除； 8最后 3 位能被 8 整除； 9各位数之和能被9 整除； 11奇数位的和减去偶数位的和所得的差可被 11 整除。当一整数被除，不能被除尽时的余数特征：整数的各位之和被3（9）除余几，则这个整数被3（9）除余几；整数的后两位被4 除余几，则这个整数被4 除余几；整数的最后一位被5 除余几，则这个整数被5 除余几；整数的后3 位被 8 除余几，则这个整数被8 除余几。若一个等式b+c+ .+f=m+n+ +s中仅除一项之
3、外其余各项均可被a 整除，则此项也能被 a 整除。如果 a=mn（23） ，b=nm（32） ，则必有a+b 是 11 的倍数，且个位和十位相加为几就是几倍； a-b 的绝对值必为9的倍数，且个位和十位的差的绝对值就是几倍。余数通解余数之间是可以加减的。公式就是： (MN) mod q=(（M mod q ）+ （N mod q）) mod q。 比如说 100 除以 7 余 2， 36 除以 7 余 1。 那么 100+36 除以 7 余几呢？或者100-36除以 7 余几呢？很显然，只要用100 除以 7 的余数 2 与 36 除以 7 的余数 1 进行加减就可以得到答案。求 M*N 除以
4、 q 的余数，公式M*N mod q= （M mod q）* （N mod q） mod q 如果是求 Nm 除以 q 的余数呢？（Mn mod q = （M mod q ）n mod q ）只要我们将Nm=N*N*N*.*N，也就是说分别地用每个N 除以 q 的余数相乘，一共 m 个，得出的结果再对q 求余数，即可求出结果。举例来说：求114 除以 9 的余数。化成公式即是：114mod 9=? 114 mod 9 = (9+2)4 mod 9 = 24 mod 9 =16 mod 9 = 7 通项 S ，形式设为S=Am+B ，一个乘法因式加一个常量。系数A 必为两小通项因式系数的最小公倍
5、数，常量 B 应该是两个小通项相等时的最小数，也就是最小值的S 。例子：某数除7 余 3，除 4 余 2，求值。解：设通项S=Am+B 。由题目可知，必同时满足 S=7a+3=4b+2 。 A 同时可被7 和 4 整除，为28（若是 S 6a+3=4b+2，则 A12） ；B名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 为 7a+3=4b+2 的最小值，为10（a=1.b=2 时， S有最小值10）所以 S2
6、8m10 因子相关性质如果 a 为质数， n 为非负整数，则的因数为n+1 个（包括1 和）因子数的求法： 将数 n 分解为质因子相乘的形式，然后将每个质因子的指数分别加1 之后连乘的结果就是n 的因子的个数，即n=（a,b,c 为质数），则因子数=(x+1)(y+1)(z+1) 若自然数n 不是完全平方数，则n 的因子中小于的占一半，大于的占一半；若 n 是完全平方数，则也为 n 的一个因子， n 的其他因子中大于和小于的各占一半。任何一个自然数若有奇数个因子，则此自然数为完全平方数；若有偶数个因子，则必不为完全平方数。若自然数n 有 m 个因子，且m 为大于 2 的质数，则n 必为某一质数
7、的m-1 次方分数、小数和百分比Proper fraction 真分数； improper fraction假分数； simple fraction简分数； mixed number 带分数集合标准差当 N 的数值为确定的几个数时，上式中分母为N，当题目说明这些数值为随机选择的变量时，上式的分母为N-1 序列中每一个数都加上一个常数，标准方差保持不变；序列中每一个数都乘以不为0 的数 N，标准方差扩大N 倍。排列组合与概率排列分两种，非重复的排列问题和可重复的排列问题。非重复的排列问题，简称排列问题。从n 个不同的元素中，无放回地任取m 个按照一定的顺序排成一列，这样的排列总数为。可重复的排列
8、问题，从n 个不同的元素中，有放回地任取m 次，每次取一个，所得到不同的序列共有种。组合：从 n 个不同的元素中，任取m 个元素并成一组，排列组合运算性质=名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 概率等可能事件的概率：如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有m 种，那么事件A 的概率 P(A)=m/n 互斥事件有一个发生的概率：P()=P()+P()+ +P() 相互独立事件同
9、时发生的概率：P()= P()P()P() 独立重复试验发生的概率：一次试验中某事件发生的概率是P，那么 n 次试验中发生 k 次的概率为?加法原则与乘法原则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - Algebra =1.414, =1.732, =2.236 数列等差数列：=n；等差中项M：当 n为偶数时， M 为中间两项（第）和的算数平均；当n 为奇数时， M 为中间项（） 。等比数列：；等比中项M：
10、当 n 为偶数时， M为中间两项（第） 和的几何平均； 当 n 为奇数时，M 为中间项（） 。实数的部分运算规律有理数无理数无理数非零有理数无理数无理数无理数因式分解; 一元二次方程两个根的性质：, 不等式的性质若 0若有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 若有若有绝对值不等式的性质名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -
11、- - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - Geometry 平面几何三角形三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形中，越大的角对应的边也越大。若最小的两条边的平方和小于（大于）第三条边的平方和，则此三角形为钝角（锐角）三角形。设 三 角 形 的 三 条 边 边 长 分 别 为a, b, c ， s=(a+b+c)/2 ， 则 三 角 形 面 积 为。直角三角形常见的边长比：3-4-5，5-12-13，8-15-17，7-24-25。四边形quadrilaterals (square, rectan
12、gle, parallelogram, rhombus, trapezoid) 矩形的周长一定时，正方形面积最大；矩形面积一定时，正方形周长最小。菱形的面积等于对角线乘积的一半。多边形设多边形有n 条边，则其内角和为(n-2)*180 ，对角线数为如果多边形所有边相等，则其所有角也相等，反之亦然立体几何圆锥如果圆锥的底面半径为r，周长是 c，侧面母线长是l，则其侧面积为，总表面积为如果圆锥的底面半径为r，高为 h，则其体积为球表面积为 4；体积为解析几何坐标系中若某一点的坐标为(a, b)，则该点关于直接y=x 对称的点的坐标为(b, a)，关于y=-x 对称的点的坐标为(-b, -a)，关于
13、 x 轴对称的点的坐标为(a, -b)，关于 y 轴对称的点的坐标为 (-a, b) A()，B()两点间距离公式为直线方程若直线上两点坐标分别为A()，B()，则直线方程为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 若直线斜率为k，直线上一点A的坐标为)，则直线方程为抛物线y=a，顶点坐标为 () 当 c=0 时，抛物线经过原点；当b 和 c 都为 0 时，抛物线以原点为顶点。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -