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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料数学知识与技巧一、方程与方程组1.一元二次方程02cbxaxaacbbx2422, 1一般常用因式分解法：1,30) 1)(3(032212xxxxxx2.二元一次方程组消去其中一个元素即可例 1：53yx（1）42yx（2）（1）（ 2） ，消去 y，得 x=1,y=2 注意：并不是任何二元一次方程组都有唯一解。例 2：53yx（1）1026yx（2）上述方程有无穷多解。例 3：53yx（1）726yx（2）无解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页
2、，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3.二元二次方程组一般只考如下形式：111cybxa（1）2323222cybyaxbxa（2）即其中的一个方程为一次。这种形式等价于一元二次方程，把（1）代入（ 2）即可。4.不等式如果不等式两边同时乘以或者除以一个负数，这时不等式的方向发生变化。如果不等式两边同时乘以或者除以一个正数，这时不等式的方向不发生变化。若 a b0,a0,则 b0 若 ab，c0，则 acb c 若 ab，c0，则 acb c (注意 c 的符号的影响 ) 若|xa|b,则 bxab,则 xab 或 xa0,kp? (1)
3、n2k二、数列与集合1.等差数列dnaan)1(12/)(1naasnn1/)(1daann2.等比数列11nnqaa, qqasnn111当1q时，qas11例：?2121212132精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3.集合无重复元素的序列（或数列）就是集合。BABABABAI=A+B AB+非 A 非 B I=A+B+C ABBCCA+ABC+非 A+ 非 B+非 C 例：小于 100 的
4、自然数中有多少个即不被2 整除又不被5 整除？三、排列组合与概率1.排列与组合)!/(!nmmPnm从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。)!(!/ !nmnmCnm从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。nmmnmCC（1）加法原理某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 中方法完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。例：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？（2）乘法原理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 中方法完成，则这件事可由m x n 种方
5、法来完成。例：到美利坚去，先乘飞机，再坐轮船， 其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？2.概率第一步：概率基本原理（古典定义）P(A)=A 所包含的基本事件数/基本事件总数。例 1：某班有男生30 名，女生 20 名，问从中随机抽取一个学生，是男生的概率有多大挑取两个全是男生的概率是多大呢？1501301/)(CCAP, 2502302/)(CCAP例 2：硬币有正反两面，抛一次正面朝上的几率是多少？连续抛两次，至少有一次正面朝上的几率是多少？第二步：使用加法或者乘法原则第三步：减法原则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
6、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例题： 袋中有 a 只白球，b 只红球，一次将球一只只取出， 不放回。求第 K 次取出白球的概率。)1(baK）babababaaPPC111例题：从5 位男同学和4 位女同学中选出4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？444599CCC3.条件概率例 1：一个班有100 人，男生 60 人，女生40 人，男女生当中都有黑头发与棕色头发的，其中有10 个男生棕色头发，棕色头发一共有30 个人，问在10
7、0 个学生，随便抽取，抽到男生棕色头发的概率是多少？古典概型：1100110CC乘法原则：1003010060例题：1.用 0，2，4，6，9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个？33444455PPPP2. 6 张同排连号的电影票，分给3 名男生和3 名女生，如欲男女想间而坐，则不同的分法数为多少？23333PP3.甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻） ，那么不同的排法有多少种？2/55p4.晚会上有 5 个不同的唱歌节目和3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？第一， 3 个舞蹈节目排在一起；3366pp第二， 3 个舞
8、蹈节目彼此分开；5536PP第三， 3 个舞蹈节目先后顺序一定。583388/PPP挡板模型： 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 5.4 本不同的书分给2 人，每人 2 本，不同的分法共有多少种？24C四、排列组合和概率习题讲解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料排列组合题目的四个步骤：1. 古典概型2. 加法原则、乘法原则3. 减法原则、除法原则4. 条件概率讲义白皮书第28 页：1
9、10 个人中有 6 人是男性，问组成4 人组，三男一女的组合数。答案：CC14368 4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？答案：PP223395 辆车排成 1 排，1 辆黄色， 1 辆蓝色， 3 辆红色，且3 辆红车不可分辨，问有多少种排法？答案：PP3355或者P2511掷一枚均匀硬币2n 次，求出现正面k 次的概率。12有 5 个白色珠子和4 个黑色珠子，从中任取3 个，问其中至少有1 个是黑色的概率？答案：CC3935118从 0 到 9 这 10 个数中任取一个数并记下它的值，放回， 再取一个数也记下它的值。两个值的和为8 时，出现 5 的概率是多少？答案：CC
10、1912195 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率是多少？答案：CC2101511掷一枚均匀硬币2n 次，求出现正面k 次的概率。答案：C)21()21(kn2kn2k26有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？答案：C)21()21(242227一个人掷飞标，其击中靶心的概率为0.7，他连续掷4 次飞标，有2 次击中靶心的概率为多少？答案：C)3.0()7 .0(242228某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6，问连续抛5 次，至少有4 次正面朝上的概率。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -
11、- - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料答案：C)4.0()6.0()6 .0(45145+29A 发生的概率是0.6，B 发生的概率是0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？答案： 0.4 30某种动物由出生而活到20 岁得概率为0.7，活到 25 岁得概率为0.56，求现龄为20 岁得这种动物活到25 岁的概率。答案：8.0=7.056.0五、数论（自然数的理论）1 自然数：正整数。如1，2，3，4，5。2 奇数：不能被2 整除的整数（可正可负） ，通式： 2n+1。如 -1，1。3 偶数：能被
12、2 整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如 -4，-2，0，2，4。4 质数：除了 1 和它本身之外没有别的因子的自然数。2是最小的质数，也是唯一的偶质数。1 不是质数。如 2，3，5，7，11，13。5 合数：除了1 和它本身之外由别的因子的自然数。4 是最小的合数。1不是合数。如4，6，8，9。6 奇偶性分析：1)偶数偶数偶数或 奇数奇数，偶数偶数偶数或 奇数偶数2)奇数奇数偶数3)奇数个奇数相加减，结果为奇数4)偶数个奇数相加减，结果为偶数5)任意个偶数相加减，结果为偶数6)若 n 个整数相乘结果为奇数，则这n 个整数为奇数7)若 n 个连续的整数相加等于零，则n 为奇数。如：
13、 (-2)+(-1)+0+1+2=0 8)若 n 个连续的奇数相加等于零，则n 为偶数。如： (-3)+(-1)+1+3=0 9)若 n 个连续的偶数相加等于零，则n 为奇数。如： (-4)+(-2)+0+2+4=0 10)两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。7n 个连续自然数的乘积一定能够被n！整除。如： 234，4567 8若 n 能被 a 整除，且能被b 整除，那么n 一定能够被 a, b整除。（其中 a, b表示 a和 b 的最小公倍数，另外a, b 表示 a和 b 的最大公约数）特别地 ,当 a,b互质 (即无公因子 ),则 n 能被 ab 整除。 (这里用到了公式a,b ab/a
14、, b) 如 n 能被 8 和 12 整除， n 也能被 24 整除；如 n 能被 8 和 11 整除， n 也能被 88 整除。9余数表示法。如：一个偶数被7 除余 3，问被 14 除余几？p=7n3，由于 p 为偶数， 3 为奇数，所以7n 为奇数， n 可以表示为2q+1 于是 p=7(2q+1)+3=14q+10 很明显余数为10。10字母法（未知数法） 。如：两个两位数各位与十位恰好颠倒，问下面哪个不能是两数之和？A181 B121 C77 D132 E154 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -
15、- - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料设两数分别为ab和 ba，则 (ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b) ，即和必为11 的倍数显然答案为A。11代入法。如：余数表示法例中，既然问被14 除余几，则必然结果唯一，任意代入一个数即可，比如24，立刻得到答案10。代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。12一些整除性质。1)已知 C=A+B 且 A 是 m 的倍数，则C 是 m 的倍数与B 是 m 的倍数互为充分必要条件推论：一个数是否能够被5 整除，只要看它的最后一位。一个数是否能够
16、被4 整除，只要看它的后两位。一个数是否能够被8 整除，只要看它的后三位。一个数能否被3 整除，取决于各位之和能否被3 整除。例题：已知m7n8（n 为整数），下面哪个不能是m 的值？A49 B43 C64 D78 E92 2)个位数为1 的数任意次方个位数均为1。3)个位数为5 的数任意次方个位数均为5。4)个位数为6 的数任意次方个位数均为6。练习：求265的个位数是多少？2=1621665求365的个位数是多少？3=8131665六、单利和复利1单利通式：a1（ 1nx）复利通式： a1)x+1(n2综合例子：年利率为12，按每月的复利计算，两年后100 元变成多少元？100%)1+1(
17、24七、数据充分性1约定：A 为(1)充分， (2)不充分。B 为(1)不充分， (2)充分。C 为(1)和(2)在一起充分，但分别不充分。D 为(1)和(2)自己分别充分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料E 为(1)和(2)在一起也不充分。做题阶段：第一阶段：先看条件(1)，只要 (1)充分，答案不是A 就是 D 再看条件 (2)，只要 (2)充分，答案不是B 就是 D 如果 (1)(2)都
18、充分，则答案一定是D 如果一个充分一个不充分，答案就是A 或者 B (只要 (1)不充分，答案肯定不是A 或者 D) 第二阶段： C 是好的， E 是坏的2做题步骤。1)读题干，若是文字题，必须列出相应的式子。2)先单独看 (1)，(2)是否充分，若分别都充分，选D；若其中一个充分，则选A 或 B。3)若都不充分，则看(1)和(2)加在一起是否充分，若充分，则C；否则选E。3 特点。1)不需要求出具体值，只需要知道求出即可。例：买一打（12 个）罐装汤，问降低后的价格比起原价格便宜多少？（C）（1）原价一美元三个。（2）降低后的价格一美元三个。2)字母不代表具体的值，应确定字母的值以后，才决定
19、充分与否。例： W- w 0? （E）(1) W= a+ b (2) w = a- b 3)选 C 时应该注意是否可选A 或 B。例：?=x2（A）（1）|x|=2 （2）x0 4)唯一性。例： x？（A）（1）x2 （2）4=x2练习：蓝皮书234 页 114 题114. Pam and Ed are in a line to purchase tickets. How many people are in line? （E）(1) There are 20 people behind Pam and 20 people in front of Ed. (2) There are 5 peo
20、ple between Pam and Ed. 5)不矛盾性。例：两辆火车相对行驶，同时开出，距离500 英里，问多长时间后相遇？（C）（1）其中一辆速度为200 英里每小时。（2）其中一辆速度为300 英里每小时。6)否定性。例： x0？（B）（1）0 x2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料（2）00，kp? （D）(1) pn27)关于方程组的解。例 1： （唯一根）?=kk2（D）（1）0
21、=4+k4k2（2）k=2 例 2： （根不唯一，结果唯一）?=kk2（D）（1）1=k1k（2）)5+1 (21=k例 3： （唯一根）已知18=xy2，那么 xy(x+y)=? （ A）（1）xy=6 （2）x-y= -5 例 4： （根不唯一，结果唯一）已知18=xy2，那么 xy(x+y)=? （D）（2）30=x+yyx22注意：如果一个数是一个完全平方数，那么它的因子的个数一定是奇数问一个数有多少个因子，先把它进行质因子表达展开，然后乘以（指数1）即可假如一个数有奇数个因子，那么这个数一定是另一个数的平方笔记：两个相差为m 的自然数，其公因子一定是m 的约数。推论：两个相邻的自然数
22、一定互质。两个相邻的奇数一定互为质数。两个相邻的偶数最大公约数一定是2。第三章 几何3.1 平面几何精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1直角三角形勾股定理。a2+b2=c22两直线平行，内错角相等，同位角相等。3圆心角是圆周角的两倍。4面积与周长。三角形（边长为a,b,c） ：面积=1/2 absin（是 a,b 两边之夹角）对于直角三角形，=90， S直角三角形=21ab 。对于等边三角形，=
23、60， S等边三角形=ab43。周长=a+b+c 梯形（上底为a，下底为 b，高为 h）面积=（a+b） h/2 平行四边形（边长为a，b，高为 h）面积=ah 周长=2（a+b）矩形（边长为a，b）面积=ab 周长=2（a+b）正方形（边长为a）面积=a2周长=4a 圆（半径为R）面积=R2周长=2R 5多边形内角和： （n-2）180o3.2 立体几何体积和表面积：1长方体（边长为a，b，c）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -
24、 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料体积 =abc 表面积 =2（ab+bc+ca）2正方体（立方体） （边长为a）体积 =a3表面积 =6a23圆柱（底面半径为R，高为 h）体积 =R2h 表面积 =2R2+2Rh 3.3 解析几何1关于对称。坐标 (a,b)关于 y=x 的对称点为 (b,a) 坐标 (a,b)关于 y=-x 的对称点为 (-b,-a) 2直线方程。y=kx+b （斜截式， k 为斜率 slope，b 为截距 intercept）x/a + y/b =1 （截距式， a为 x 轴上截距， b 为 y 轴上截距）(y-y2)/( x-x2) = (y1-y2)/(x1-x2
25、)（两点式，已知(x1,y1)，(x2,y2)）(y-y1)/(x-x1) =k （点斜式，已知(x1,y1)，斜率 k）例：请写出x 轴与 y 轴上截距分别为20 和 30 的直线方程在x,y0 条件下的整数解。第四章 统计1.算术平均数（ arithmetic mean ） 。E=niian11当 a, b0 时，下式成立，当a=b 时取等号。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料221122
26、2babaabbaba112调和平均，ab几何平均，2ba算术平均，222ba加权平均或平方平均2期望（ expectation）在 GMAT 数学中，期望就是算术平均。通常计算出来的算术平均都用E表示，这个E就是期望英文的第一个字母大写。3偏差（ deviation）一个数列中ai 项的偏差 di=ai-E 4方差（ variance ）D=niiEan121缺陷：单位有平方5标准差（ standard deviation）=D6中间数（ median）求法：先排序，后取中。比如说一个数列1 ，2，4，5，3 ，求它的中间数时，应该先排序变成1，2，3，4，5，然后取中为3。如果数列含有偶数个数，取中间两个数，然后取这两个数的算术平均。7众数（ mode ）定义：数列中出现次数最多的数。比如说一个数列1 ，1，2，2，3 ，它的众数或者是1 或者是 2。8范围（ range ）定义：数列中最大数减去最小数所得的差。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -