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1、 数学 Arithmetic 整数 整数性质 任何一个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数的和 任何两个连续整数是互质的 若 3 个连续自然数的算术平均值为奇数，则这三个数的乘积必为 8 的倍数 在判断一个数 n 是否是质数时，我们只要用 1 至 n-1去除 n，看看能否整除即可。但我们有更好的办法。先找一个数 m，使 m 的平方大于 n，再用小于等于 m 的质数去除 n（n 即为被除数），如果都不能整除，则 n 必然是质数。最小公倍数和最大公约数求解 最小公倍数求法：1.将所有的数分别表示为各自质因数的乘积；2.挑出相同的质因子，只保留指数较大的作为公因子；3.将上述公因子乘以剩下的所有因数
2、 最大公约数求法：1.将所有的数分别表示为各自质因数的乘积；2.挑出相同的质因子，只保留指数较小的作为公因子；3.将取出的公因数相乘 整除问题 判断能否整除：4后两位能被 4 整除；6能同时被 2 和 3 整除；8最后 3 位能被 8 整除；9各位数之和能被 9 整除；11奇数位的和减去偶数位的和所得的差可被 11 整除。当一整数被除，不能被除尽时的余数特征：整数的各位之和被 3（9）除余几，则这个整数被 3（9）除余几；整数的后两位被 4 除余几，则这个整数被 4 除余几；整数的最后一位被 5 除余几，则这个整数被 5 除余几；整数的后 3 位被 8 除余几，则这个整数被 8 除余几。若一个
3、等式 b+c+.+f=m+n+s中仅除一项之外其余各项均可被 a 整除，则此项也能被 a 整除。如果 a=mn（23），b=nm（32），则必有 a+b 是 11 的倍数，且个位和十位相加为几就是几倍；a-b的绝对值必为 9 的倍数，且个位和十位的差的绝对值就是几倍。余数通解 余数之间是可以加减的。公式就是：(MN)mod q=(（M mod q）+（N mod q）)mod q。比如说 100 除以 7 余 2，36 除以 7 余 1。那么 100+36 除以 7 余几呢？或者 100-36除以 7 余几呢？很显然，只要用 100 除以 7 的余数 2 与 36 除以 7 的余数 1 进行加
4、减就可以得到答案。求 M*N 除以 q 的余数，公式 M*N mod q=（M mod q）*（N mod q）mod q 如果是求 Nm 除以 q 的余数呢？（Mn mod q=（M mod q）n mod q）只要我们将 Nm=N*N*N*.*N，也就是说分别地用每个 N 除以 q 的余数相乘，一共 m 个，得出的结果再对 q 求余数，即可求出结果。举例来说：求 114 除以 9 的余数。化成公式即是：114mod 9=?114 mod 9=(9+2)4 mod 9=24 mod 9=16 mod 9=7 通项 S，形式设为 S=Am+B，一个乘法因式加一个常量。系数 A 必为两小通项因式
5、系数的最小公倍数，常量 B应该是两个小通项相等时的最小数，也就是最小值的 S。例子：某数除 7 余 3，除 4 余 2，求值。解：设通项 S=Am+B。由题目可知，必同时满足 S=7a+3=4b+2。A 同时可被 7 和 4 整除，为 28（若是 S6a+3=4b+2，则 A12）；B 为 7a+3=4b+2 的最小值，为 10（a=1.b=2 时，S 有最小值 10）所以 S28m10 因子相关性质 如果 a 为质数，n 为非负整数，则的因数为 n+1 个（包括 1 和）因子数的求法：将数 n 分解为质因子相乘的形式，然后将每个质因子的指数分别加1 之后连乘的结果就是 n 的因子的个数，即
6、n=（a,b,c 为质数），则因子数=(x+1)(y+1)(z+1)若自然数 n 不是完全平方数，则 n 的因子中小于的占一半，大于的占一半；若 n 是完全平方数，则也为 n 的一个因子，n 的其他因子中大于和小于的各占一半。任何一个自然数若有奇数个因子，则此自然数为完全平方数；若有偶数个因子，则必不为完全平方数。若自然数 n 有 m 个因子，且 m 为大于 2 的质数，则 n 必为某一质数的 m-1次方 分数、小数和百分比 Proper fraction 真分数；improper fraction 假分数；simple fraction 简分数；mixed number 带分数 集合 标准差
7、 当 N 的数值为确定的几个数时，上式中分母为 N，当题目说明这些数值为随机选择的变量时，上式的分母为 N-1 序列中每一个数都加上一个常数，标准方差保持不变；序列中每一个数都乘以不为0 的数 N，标准方差扩大 N 倍。排列组合与概率 排列分两种，非重复的排列问题和可重复的排列问题。非重复的排列问题，简称排列问题。从 n 个不同的元素中，无放回地任取 m 个按照一定的顺序排成一列，这样的排列总数为。可重复的排列问题，从 n 个不同的元素中，有放回地任取 m 次，每次取一个，所得到不同的序列共有种。组合：从 n 个不同的元素中，任取 m 个元素并成一组，排列组合运算性质=算术平均值为奇数则这三个
8、数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则 概率 等可能事件
9、的概率：如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含的结果有 m 种，那么事件 A的概率 P(A)=m/n 互斥事件有一个发生的概率：P()=P()+P()+P()相互独立事件同时发生的概率：P()=P()P()P()独立重复试验发生的概率：一次试验中某事件发生的概率是 P，那么 n 次试验中发生 k 次的概率为 加法原则与乘法原则 算术平均值为奇数则这三个数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数
10、最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则 Algebra =1.414,=1.732,=2.236 数列 等差数列：=n；等差中项 M：当 n为偶数时，M 为中间两项（第）和的算数平均；当 n 为奇数时，M 为中间项（）。等比数列：；等比中项 M：当 n 为偶数时，M为中间两项（
11、第）和的几何平均；当 n 为奇数时，M 为中间项（）。实数的部分运算规律 有理数 无理数无理数 非零有理数 无理数无理数 无理数 因式分解 ;一元二次方程两个根的性质：,不等式的性质 若 0 若有 算术平均值为奇数则这三个数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整
12、除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则 若有 若有 绝对值不等式的性质 算术平均值为奇数则这三个数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问
13、题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则 Geometry 平面几何 三角形 三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形中，越大的角对应的边也越大。若最小的两条边的平方和小于（大于）第三条边的平方和，则此三角形为钝角（锐角）三角形。设 三 角 形 的 三 条 边 边 长 分 别 为 a,b,c，s=(a+b+c)/2，则 三 角 形 面 积 为。直角三角形常见的边长比：3
14、-4-5，5-12-13，8-15-17，7-24-25。四边形 quadrilaterals(square,rectangle,parallelogram,rhombus,trapezoid)矩形的周长一定时，正方形面积最大；矩形面积一定时，正方形周长最小。菱形的面积等于对角线乘积的一半。多边形 设多边形有 n 条边，则其内角和为(n-2)*180，对角线数为 如果多边形所有边相等，则其所有角也相等，反之亦然 立体几何 圆锥 如果圆锥的底面半径为 r，周长是 c，侧面母线长是 l，则其侧面积为，总表面积为 如果圆锥的底面半径为 r，高为 h，则其体积为 球 表面积为 4；体积为 解析几何 坐
15、标系中若某一点的坐标为(a,b)，则该点关于直接 y=x对称的点的坐标为(b,a)，关于y=-x对称的点的坐标为(-b,-a)，关于 x 轴对称的点的坐标为(a,-b)，关于 y 轴对称的点的坐标为(-a,b)A()，B()两点间距离公式为 直线方程 若直线上两点坐标分别为 A()，B()，则直线方程为 算术平均值为奇数则这三个数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘
16、积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则 若直线斜率为 k，直线上一点 A的坐标为)，则直线方程为 抛物线 y=a，顶点坐标为()当 c=0时，抛物线经过原点；当 b 和 c 都为 0 时，抛物线以原点为顶点。算术平均值为奇数则这三个数的乘积必为的倍数在判断一个数是否是质数时我们只要用至去除看看能否整除即可但我们有更好的办法先找一个数使的平方大于再用小于等于的质数去除即为被除数如果都不能整除则必然是质数最小公大的作为公因子将上述公因子乘以剩下的所有因数最大公约数求法将所有的数分别表示为各自质因数的乘积挑出相同的质因子只保留指数较小的作为公因子将取出的公因数相乘整除问题判断能否整除后两位能被整除能同时被和整除余数特征整数的各位之和被除余几则这个整数被除余几整数的后两位被除余几则这个整数被除余几整数的最后一位被除余几则这个整数被除余几整数的后位被除余几则这个整数被除余几若一个等式中仅除一之外其余各均可被整除则