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1、1.3函数的单调性与奇偶性教学设计【教学目标】1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】1.通过对函数xy2、xy3、xy1及2xy的观察提出有关函数单调性的问题. 2阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： 以 y 轴为折痕将
2、纸对折，并在纸的背面 （即第二象限） 画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案： （1）可以作为某个函数y=f(x) 的图象，并且它的图象关于y 轴对称；（2）若点（ x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（x，f(x) ）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. 以 y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后
3、将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案： （1）可以作为某个函数y=f(x) 的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（ x，f(x) ）在函数图象上，则相应的点（x， f(x) ）也在函数图象上，即名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - -
4、- x y -5 x y -5 5 函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数. 新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在区间 D 上是 增函数；减函数：设函数y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x10 B. 30m2 C. -1m3 D. 1322m4下列命题中，真命题是（）A函数1yx是奇函数，且在定义域内为减函数B函数30(1)yxx是奇函数，且在定义域内
5、为增函数C函数2yx是偶函数，且在（3，0）上为减函数D函数2(0)yaxc ac是偶函数，且在（0，2）上为增函数5若)(x，( )g x都是奇函数，( )( )( )2f xaxbg x在（ 0，）上有最大值5，则( )f x在（， 0）上有（）A最小值 5B最大值 5 C最小值 1D最大值 3 6( )(21),f xaxbR设函数是上的减函数则 a 的范围为 ( ) A12aB12aC12aD12a7函数2(0,)yxbxc x)是单调函数的充要条件是( ) A0bB0bC0bD0b8已知( )f x在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（）A( )( )( )(
6、 )f af bf af bB( )( )()()f af bfafbC( )( )( )( )f af bf af bD( )( )()()f af bfafb名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22| 1yxx（2）2|23 |yxx10根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数11.设)(xf是定义在R 上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfn
7、mf，且当0 x时，1)(0 xf. （1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在 R 上是减函数；（4）若( )(2)1fxfx，求x的范围 .参考答案1. A 2. D 3.B 4.C【提示】 A 中，1yx在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a时，2(0)yaxc ac在（ 0，2）上为减函数，答案为C. 5.C【提示】)(x、( )g x为奇函数，)()(2)(xbgxaxf为奇函数 .又( )f x有最大值 5， 2 在（0，）上有最大值3.( )f x2 在(, 0)上有最小值3，( )f x在(, 0)上有最
8、小值 1答案为C. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6.D【提示】 2a10 时该函数是R 上的减函数 .7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象. 8.D【提示】0ab可转化为ab和ba在利用函数单调性可得. 9.解： (1)2221 (0)21 (0)xxxyxxx即22(1)2 (0)(1)2 (0)xxyxx如图所示，单调增区间为(, 10,1和，单调减区间为 1,01,)
9、和. （2）当2230,13xxx得，函数2223(1)4yxxx当2230,13xxxx得或，函数2223(1)4yxxx，即22(1)4 ( 13)(1)4 (13)xxyxxx或. 如图所示，单调增区间为 1,13,和，单调减区间为(,11,3和. (1) (2) 10.证明：设1212,x xRxx且，则33221221212121()()()(),f xf xxxxxxx xx12xx因为，210 xx所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设20 x，那么222222121123()24xxx xxxx0，12()()f xf x所以，故( )f x在(,)上为减函数 . 11
10、.解： (1)取 m=0，n= 12则11(0)( )(0)22fff，因为1( )02f所以(0)1f. (2)设0 x则0 x， 由条件可知()0fx，又因为1(0)()( )()0ff xxf xfx， 所以( )0f x.Rx时，恒有0)(xf. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - （3）设12xx则121211()()()()f xf xf xf xxx=1211()()()f xf xx
11、f x=121()1()f xf xx. 因 为12xx所以210 xx所以21()1f xx即211()0fxx， 又 因 为1()0f x， 所 以121() 1() 0fxfxx， 所 以12()()0f xf x，即该函数在R 上是减函数 . (4) 因为( )(2)1f xfx，所以2( )(2)(2)(0)f xfxfxxf， 所以220 xx，所以20 xxx的范围为或. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -