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1、优秀学习资料欢迎下载第 13 章 静电场中的导体和电解质参考答案一、选择题1(D)， 2(D)，3(B)，4(A) ， 5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B) 二、填空题(1). 4.55105 C ；(2). (x，y，z)/0，与导体表面垂直朝外( 0) 或 与导体表面垂直朝里( 0). (3). r，1，r；(4). 1/r，1/r；(5). ，0r )；(6). Rq04；(7). P ， P ，0；(8) (1-r) / r；(9). 减小，减小；(10). 增大，增大 . 三、计算题1. 一接地的 无限大 导体板前垂直放置一半无限长 均匀带电直线， 使该带电直
2、线的一端距板面的距离为d如图所示，若带电直线上电荷线密度为 ，试求垂足O 点处的感生电荷面密度解：如图取座标，对导体板内O 点左边的邻近一点，半无限长带电直线产生的场强为：dxidxE2004/ di04/导体板上的感应电荷产生的场强为：0002/iE由场强叠加原理和静电平衡条件，该点合场强为零，即02/4/000dd2/02半径为R1的导体球，带电荷q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R2 = 2 R1，R3 = 3 R1，今在距球心d = 4 R1处放一电荷为 Q 的点电荷，并将球壳接地(如图所示 )，试求球壳上感生的总电荷解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为304/r
3、rqE(R1rR2) 设大地电势为零，则导体球心O 点电势为：2121200d4dRRRRrrqrEU210114RRq根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为q设球壳外表面上感生电荷为Q以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O 处电势应为：1230041RqRqRQdQUdOOxqQOR3R2R1d名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载假设大地与
4、无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O 点电势应相等，由此可得Q=3Q / 4 ，故导体壳上感生的总电荷应是( 3 Q / 4) +q. 3. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm 试求该电容器可能承受的最高电压(自然对数的底e = 2.7183) 解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为，则电容器两极板之间的场强分布为)2/(rE设电容器内外两极板半径分别为r0，R，则极板间电压为RrRrrrrEUd2d0ln2rR电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应
5、有002Er，000lnrRErU适当选择r0的值，可使U 有极大值，即令0)/ln(/dd0000ErRErU，得eRr/0，显然有202ddrU 0，故当eRr/0时电容器可承受最高的电压eREU/0max= 147 kV. 4.如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为 R2 (R2 2 R1)，其间充有相对介电常量分别为r1和r2r1/ 2 的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R若两种介质的击穿电场强度相同，问：(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？(2) 该电容器能承受多高的电压？解： (1) 设内、外筒单位长度带电荷为和两筒间电位移的大小为D / (2 r) 在两层介质
6、中的场强大小分别为E1 = / (20r1r)，E2 = / (20r2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即E1M = / (20r1R1)， E2M = / (20r2R) 可得E1M / E2M = r2R / (r1R1) = R / (2R1) 已知R12 R1，可见E1ME2M，因此外层介质先击穿(2) 当内筒上电量达到M，使 E2MEM时，即被击穿，M = 20r 2REM此时两筒间电压(即最高电压 )为：rrrrURRrMRRrMd2d221201012RRRRRErrMr22112ln1ln15. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R (
7、R R2R1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为r1和r2的各向同性均匀电介质，其界面半径为R，如图所示 设内、 外圆筒单位长度上带电荷(即电荷线密度 )分别为和，求：(1) 电容器的电容(2) 电容器储存的能量解： (1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为D = / (2 r) 介质中的场强大小分别为E1 = D / (0 r 1) = / (20 r1r) E2 = D / (0 r 2) = / (20 r2r) xdxRd- R+O-R2RR1r1r2L名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
8、- - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载两筒间电势差21221ddRRRRrErEURRRRrr220110ln2ln221021122/ln/lnrrrrRRRR电容RRRRLUQCrrrr/ln/ln22112210(2) 电场能量2102112224lnln2rrrrRRRRLCQW8.如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为1和2当电容器带电荷Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为1的介质板抽出，试求外力所作
9、的功解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为dSC112，dSC222串联后的等效电容为21212dSC带电荷 Q 时，电容器的电场能量为SdQCQW21212242将1的介质板抽去后，电容器的能量为SdQW202024外力作功等于电势能增加，即102114SdQWWWA四 研讨题1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为）两侧场强为)2/(0E，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为）附近场强为0/E，为什么前者比后者小一半？参考解答：关键是题目中两个式中的 不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为 ，其附近的场强则写为./0E对于无限大均匀带电平
10、面( 面电荷密度为 )，两侧场强为)2/(0E. 这里的是指带电平面单位面积上所带的电荷。对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为./0E这里的 是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则 是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面) 所带的电荷， 而 仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。+Q- Qd12名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - -
11、- - - - - 优秀学习资料欢迎下载在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下， 导体板的表面上电荷分布均匀， 且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电荷密度间的关系为 =2 。这样，题目中两个E式就统一了。2. 由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？参考解答：由极性分子组成的电介质（极性电介质） 放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的效果更差。此情形下，电极化强度V
12、pPi将会比温度升高前减小。在电介质中的电场E不太强时，各向同性电介质的P和E间的关系为EPr)1(0.很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量r要减小。3. 有一上下极板成角的非平行板电容器（长为a ,宽为b） ，其电容如何计算？参考解答：设一平行板电容器是由长为a ,宽为b 的两导体板构成,板间距为d ,则电容为,0dabC若该电容器沿两极板的长度同一方向有d x的长度增量,则电容为,d)d(0dxaCdxbaC在此基础上推广到如图所示的电容器， 可以认为是在0C的基础上,上极板沿与长度方向成 角度连续增加到b,下极板沿长度方向连续增加到bcos构成，把该电容器看成是由两个电容器
13、并联时，该电容器的电容为dbdaCldlaCCbsinlntantand0cos00即非平行板电容器的电容，dbdaCsinlntan4. 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为r的电介质）， 通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B 为平板电容器的导体极板， S 为极板面积， d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C 与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -
14、- - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载何？参考解答：设极板带电Sq0，两板电势差：dEddEU有 电 介 质无 电 介 质)(0dddUr00000)(则)(00dddsUqCrr介质的厚度为：CSdCSCddrrrrrrr)1(1)1(0000实时地测量A、B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。如果待测材料是金属导体，其A、B 间等效电容与导体材料的厚度分别为：ddSC00，CSdd00. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -