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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date力的平移定理第一节 力的平移定理第四章 平面一般力系第一节 力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。设刚体的A点作用着一个力F（图43（a），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相
2、反，与F平行的力F和F，且F=F=F（图43（b） 根据加减平衡力系公理，F、F和F与图43（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F和F组成一个力偶，其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图43（c）。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为：力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。例如，图44a所示的厂房柱子受到吊车梁传来
3、的荷载F的作用，为分析F的作用效应，可将力F平移到柱的轴线上的O点上，根据力的平移定理得一个力F，同时还必须附加一个力偶（图4（b）。力F经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，Fn，如图45（a）所示。为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O点（图45（b），得到一个平面汇交力系F1，F2，Fn和一个附加的平面力偶系。其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F1=F1，F
4、2=F2，Fn=Fn各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩，即由平面汇交力系合成的理论可知，F1，F2，Fn可合成为一个作用于O点的力R，并称为原力系的主矢（图45（c），即R= F1+F2+Fn= F1+F2+Fn=Fi （4）求主矢R的大小和方向，可应用解析法。过O点取直角坐标系oxy，如图45所示。主矢R在x轴和y轴上的投影为Rx= x1+x2+xn=x1+x2+xn=XRy= y1+y2+yn=y1+y2+yn=Y式中：xi、yi和xi、yi分别是力Fi和Fi在坐标轴x和y轴上的投影。由于Fi和Fi大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。主矢R的大小和方向为 （
5、42） （43）为R与x轴所夹的锐角，R的指向由X和Y的正负号确定。由力偶系合成的理论知，m1，m2，mn可合成为一个力偶（如图45（c），并称为原力系对简化中心O的主矩，即 （44）综上所述，得到如下结论：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。应当注意，作用于简化中心的力R一般并不是原力系的合力，力偶矩为MO也不是原力系的合力偶，只有R与MO两者相结合才与原力系等效。由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢R的
6、大小和方向与简化中心的位置无关。而主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，取不同的点作为简化中心，各力的力臂都要发生变化，则各力对简化中心的力矩也会改变，因而，主矩一般随着简化中心的位置不同而改变。二、平面一般力系简化结果的讨论平面力系向一点简化，一般可得到一力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：（1）若R=0，MO0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩和简化中心的位置无关，无论向哪一点简化，所得的主矩相同。（2）若R0，MO=0，则作用于简化中心的力R就是原
7、力系的合力，作用线通过简化中心。（3）若R0，MO0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力R，如图46所示。将力偶矩为MO的力偶用两个反向平行力R、R表示，并使R和R等值、共线，使它们构成一平衡力图46（b），为保持MO不变，只要取力臂d为将R和R这一平衡力系去掉，这样就只剩下R力与原力系等效（图46（c）。合力R在O点的哪一侧，由R对O点的矩的转向应与主矩MO的转向相一致来确定。（4）R=0，MO=0，此时力系处于平衡状态。三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知，当R0，MO0时，还可进一步简化为一合力R，见图46，合力对O点的矩是而所以由于简化中心O是任意选取的，故上式有
8、普遍的意义。于是可得到平面力系的合力矩定理。平面一般力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。例41 如图47（a）所示，梁AB的A端是固定端支座，试用力系向某点简化的方法说明固定端支座的反力情况。解：梁的A端嵌入墙内成为固定端，固定端约束的特点是使梁的端部既不能移动也不能转动。在主动力作用下，梁插入部分与墙接触的各点都受到大小和方向都不同的约束反力作用（图47（b），这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力RA和一个力偶矩为MA的力偶（图47（c），为了便于计算，一般可将约束反力RA ，用它的水平分力XA和垂直分力YA来代替。因此，在平面
9、力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个；即阻止梁端向任何方向移动的水平反力XA和竖向反力YA，以及阻止物体转动的反力偶MA。它们的指向都是假定的（图47（d）。例42 已知素混凝土水坝自重，水压力在最低点的荷载集度，各力的方向及作用线位置如图48（a）所示。试将这三个力向底面点简化，并求简化的最后结果。解：以底面为简化中心，取坐标系如图48（a）所示，由式（42）和式（43）可求得主矢R的大小和方向。由于所以因为X为正值，Y为正值，故R指向第一象限与x轴夹角为，再由式（44）可求得主矩为计算结果为负值表示MA是顺时针转向。因为主矢R0，主矩MA0，如图48（b）所示，所以还可进一步合成为一个
10、合力R。R的大小、方向与R相同，它的作用线与A点的距离为因MA为负，故MA（R）也应为负，即合力R应在A点右侧，如图48（c）所示。第三节 平面一般力系平衡条件及其应用一、平面一般力系的平衡条件平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即：R=0 MO=0根据式（42）及式（44），可得到平面一般力系的平衡条件为 （45）式（45）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。式（45）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一
11、般力系平衡方程的基本形式。这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因此可求解三个未知量。例43 梁AB一端为固定端支座，另一端无约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受均布荷载q和一集中力P的作用，如图49（a）所示。已知P=10kN，q=2kN/m，l=4m，梁的自重不计，求支座A的反力。 解：取梁AB为研究对象，其受力图如图49（b）所示。支座反力的指向是假定的，梁上所受的荷载和支座反力组成平面一般力系。在计算中可将线荷载q用作用其中心的集中力来代替。选取坐标系，列平衡方程。力系既然平衡，则力系中各力在任一轴上的投影代数和必然等于零，力系中各力对任一点之矩的代数和也必然为零。因此
12、，我们可以列出其它的平衡方程，用来校核计算有无错误。校核 可见，YA和mA计算无误。例44 图410（a）所示一伸臂梁。受到荷载，三角形分布荷载作用。如果不计梁重，求支座A和B的反力。解：取CD梁为研究对象，受力图如图410（b）所示，列平衡方程。得数为正值，说明实际的反力方向与假设的方向一致，得数为负值，说明实际的反力方向与假设的方向相反。例45 一水平托架承受重的重物，如图411（a）所示，A、B、C各处均为铰链连接。各杆的自重不计，试求托架A、B两处的约束反力。解: 取托架水平杆AD作为研究对象，其受力图如图411（b）所示。由于杆BC为二力杆，它对托架水平杆的约束反力沿杆BC轴线作用，
13、A处为固定铰支座，其约束反力可用相互垂直的一对反力和来代替。取坐标系如图，列出三个平衡方程。校核 说明计算无误例46 钢筋混凝土刚架，所受荷载及支承情况如图412（a）所示。已知，试求支座处的反力。解：取刚架为研究对象，画其受力图如图412（b）所示，图中各支座反力指向都是假设的。本题有一个力偶荷载，由于力偶在任一轴上投影为零，故写投影方程时不必考虑力偶，由于力偶对平面内任一点的矩都等于力偶矩，故写力矩方程时，可直接将力偶矩列入。设坐标系如图412（b）所示，列三个平衡方程 校核说明计算无误。从上述几个例题可以看出，平面一般力系平衡问题的解题步骤为：1 选取研究对象，作出研究对象的受力图。2
14、对所选取的研究对象，列出平衡方程。3 由平衡方程解出未知量。4 将计算结果代入不独立的平衡方程，以校核解题过程有无错误。二、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我们通过平面一般力系的平衡条件导出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了这种形式外，还可将平衡方程表示为二力矩形式及三力矩形式。1二力矩形式的平衡方程在力系作用面内任取两点A、B及X轴，如图413所示，可以证明平面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程和一个投影方程的形式，即： (46)式中X轴不与A、B两点的连线垂直。证明：首先将平面一般力系向A点简化，一般可得到过A点的一个力和一个力偶。若成立，则力系只能简化为通过A点的合力R或成平衡
15、状态。如果又成立，说明R必通过B。可见合力R的作用线必为AB连线。又因成立，则，即合力R在X轴上的投影为零，因AB连线不垂直X轴，合力R亦不垂直于X轴，由可推得。可见满足方程（46）的平面一般力系，若将其向A点简化，其主矩和主矢都等于零，从而力系必为平衡力系。2三力矩形式的平衡方程在力系作用面内任意取三个不在一直线上的点A、B、C，如图414所示，则力系的平衡方程可写为三个力矩方程形式，即 （47）式中，A、B、C三点不在同一直线上。同上面讨论一样，若和成立，则力系合成结果只能是通过A、B两点的一个力（图414）或者平衡。如果也成立，则合力必然通过C点，而一个力不可能同时通过不在一直线上的三点
16、，除非合力为零，才能成立。因此，力系必然是平衡力系。综上所述，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程，即式（45）、式（46）、式（47），在解题时可以根据具体情况选取某一种形式。无论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，求解三个未知数。任何第四个方程都不是独立的，但可以利用这个方程来校核计算的结果。例47 某屋架如图415（a）所示，设左屋架及盖瓦共重，右屋架受到风力及荷载作用，其合力，与BC夹角为，试求A、B支座的反力。解：取整个屋架为研究对象，画其受力图，并选取坐标轴X轴和Y轴，如图415（b）所示，列出三个平衡方程 校核说明计算无误。例48 梁AC用三根支座链杆连接，受一力作用，
17、如图416（a）所示。不计梁及链杆的自重，试求每根支座链杆的反力。解： 取AC梁为研究对象，画其受力图，如图416（b）所示。列平衡方程时，为避免解联立方程组，最好所列的方程中只有一个未知力，因此，取和的交点O为矩心列平衡方程取与的交点O2为矩心列平衡方程取校核 说明计算无误。3平面力系的特殊情况平面一般力系是平面力系的一般情况。除前面讲的平面汇交力系，平面力偶系外，还有平面平行力系都可以看为平面一般力系的特殊情况，它们的平衡方程都可以从平面一般力系的平衡方程得到，现讨论如下。（1）平面汇交力系对于平面汇交力系，可取力系的汇交点作为坐标的原点，图417(a)所示，因各力的作用线均通过坐标原点O
18、，各力对O点的矩必为零，即恒有。因此，只剩下两个投影方程：即为平面汇交力系的平衡方程。（2）平面力偶系平面力偶系如图417(b)所示，因构成力偶的两个力在任何轴上的投影必为零，则恒有和，只剩下第三个力矩方程，但因为力偶对某点的矩等于力偶矩，则力矩方程可改写为即平面力偶系的平衡方程。（3）平面平行力系平面平行力系是指其各力作用线在同一平面上并相互平行的力系，如图417（）所示，选OY轴与力系中的各力平行，则各力在X轴上的投影恒为零，则平衡方程只剩下两个独立的方程 （48）若采用二力矩式（46），可得 （49）式中A、B两点的连线不与各力作用线平行。平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个
19、未知量。例49 图418所示为塔式起重机。已知轨距，机身重，其作用线到右轨的距离，起重机平衡重，其作用线到左轨的距离，荷载P的作用线到右轨的距离，（1）试证明空载时（时）起重机时否会向左倾倒？（2）求出起重机不向右倾倒的最大荷载P。解：以起重机为研究对象，作用于起重机上的力有主动力G、P、Q及约束力和，它们组成一个平行力系（图418）。（1）使起重机不向左倒的条件是，当空载时，取，列平衡方程所以起重机不会向左倾倒（2）使起重机不向右倾倒的条件是，列平衡方程欲使，则需当荷载时，起重机是稳定的。三、物体系统的平衡前面研究了平面力系单个物体的平衡问题。但是在工程结构中往往是由若干个物体通过一定的约束
20、来组成一个系统。这种系统称为物体系统。例如，图示419（a）所示的组合梁，就是由梁AC和梁CD通过铰C连接，并支承在A、B、D支座而组成的一个物体系统。在一个物体系统中，一个物体的受力与其他物体是紧密相关的；整体受力又与局部紧密相关的。物体系统的平衡是指组成系统的每一个物体及系统的整体都处于平衡状态。在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。例如图419（b）的组合梁的受力图，荷载及A、B、D支座的反力就是外力，而在铰C处左右两段梁之间的互相作
21、用的力就是内力。应当注意，外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的，例如图419组合梁在铰C处两段梁的相互作用力，对组合梁的整体来说，就是内力，而对左段梁或右段梁来说，就成为外力了。当物体系统平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，因而，对于每一个物体一般可写出三个独立的平衡方程。如果该物体系统有个物体，而每个物体又都在平面一般力系作用下，则就有个独立的平衡方程，可以求出个未知量。但是，如果系统中的物体受平面汇交力系或平面平行力系的作用，则独立的平衡方程将相应减少，而所能求的未知量数目也相应减少。当整个系统中未知量的数目不超过独立的平衡方程数目，则未知量可由平衡方程全部求出，这样的
22、问题称为静定问题。当未知量的数目超过了独立平衡方程数目，则未知量由平衡方程就不能全部求出，这样的问题，则称为超静定问题，在静力学中，我们不考虑超静定问题。在解答物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某部分物体（一个物体或几个物体组合）作为研究对象，以建立平衡方程。由于物体系统的未知量较多，应尽量避免从总体的联立方程组中解出，通常可选取整个系统为研究对象，看能否从中解出一或两个未知量，然后再分析每个物体的受力情况，判断选取哪个物体为研究对象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以简化计算。下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。例410 组合梁受荷载如图42
23、0(a)所示。已知，梁自重不计，求支座A、C的反力。解：组合梁由两段梁AB和BC组成，作用于每一个物体的力系都是平面一般力系，共有6个独立的平衡方程；而约束力的未知数也是6（A处有三个，B处有两个，C处有1个）。首先取整个梁为研究对象，受力图如图420（b）所示。其余三个未知数、和，无论怎样选取投影轴和矩心，都无法求出其中任何一个，因此，必须将AB梁和BC梁分开考虑，现取BC梁为研究对象，受力图如图420（c）所示。再回到受图420（b） 校核：对整个组合梁，列出可见计算无误。例411 钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图421（a）所示，已知，求支座A、B和铰C的约束反力。解： 三铰刚架由左右两半刚
24、架组成，受到平面一般力系的作用，可以列出六个独立的平衡方程。分析整个三铰刚架和左、右两半刚架的受力，画出受力图，如图（b）、（c）、（d）所示，可见，系统的未知量总计为六个，可用六个平衡方程求解出六个未知量。（1）取整个三铰刚架为研究对象，受力图如图421（b）所示 （2）取左半刚架为研究对象，受力图如图421（c）所示将值代入（a），可得校核：考虑右半刚架的平衡，受力图如图421（d）所示可见计算无误。例412 图422（a）所示，在支架上悬挂着重的重物，B、E、D为铰接，A为固定端支座，滑轮直径为300mm，轴承C是光滑的，其余尺寸如图示。各杆和滑轮、绳子重量不计，求A、B、C、D、E各处
25、的反力。解：本结构中，DE为二力杆，因此D、E处铰链反力有1个未知量；A为固定端支座有3个未知的约束反力；B、C处铰链反力各有2个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有1个未知量；共10个未知量。考虑到AB、BC和滑轮三个构件处于平衡，其可写9个平衡方程；再加上重物在二力作用下处于平衡，可有1个平衡方程。平衡方程的数目恰好等于未知量的数目。取整个结构为研究对象，（图422（b）列平衡方程 考虑重物的平衡（图422（e）根据二力平衡公理知考虑滑轮的平衡（图422（d），列平衡方程可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉力相等。再考虑BC杆的平衡（图422（c），列平衡方程校核：取BC杆平衡（图422（c），由于可见计算无误。-