第三章 导数的应用.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第三章 导数的应用.精品文档.【教学内容】3.1 微分中值定理 洛必塔法则 【教学目的】通过学习，使学生了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，使学生掌握洛必塔法则【教学重点】微分中值定理 洛必塔法则及其应用【教学难点】定理的应用 洛必达法则的应用【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课本章将在导数概念的基础上建立微分学中一些基本定理中值定理，利用这些定理使我们可以应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并应用这些知识解决一些实际问题。如果当时,和都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，通常称这类极限为待定型，并分别简记为型

2、或型.下面我们将讨论一种求待定型极限的方法洛必塔法则.二、讲授新课（一）罗尔定理1、定理：若函数满足下列条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）则在内至少存在一点使得2、定理的几何意义如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于轴的切线。说明：（1）定理中的不唯一（2）定理中的 三个条件是充分但不必要的（2）若定理的三个条件不全满足的话，则定理的结论也可能成立，也可能不成立.【例1】验证函数在区间上满足罗尔定理的三个条件，并求出满足的点。解：由于在内连续且可导，故它在上连续，在内可导，即因此，满足罗尔定理的三个条件。而，令得。

3、即时（二）拉格朗日中值定理1、定理 如果函数满足（1）在闭区间a, b上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点 (axb), 使得 证明：作一个辅助函数：显然，在上连续，在上可导，又，所以 由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得。 又 所以 或 。说明：（1）罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例（2）设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 即，准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。2、定理的几何意义:若函数在a, b上连续，在(a, b)内可导.则在(a, b)内至少有一点x，曲线在该点的切线斜率与弦AB

4、的斜率相等，即.3、拉格朗日中值定理的推论.推论：如果在开区间(a, b)内，恒有,则在(a, b)内恒等于常数.证明：在中任取两点、，使，则在区间上，满足拉格朗日中值定理的条件.从而存在一点，使得又在上，则。 所以，即. 可见，在上的每一点都有：.【例2】 验证函数在区间0,2是否满足拉格朗日定理的条件，若满足，求出使定理成立的的值解： 显然在区间0,2上连续，在(0,2)内可导，定理条件满足.又，所以有又 代入上式得.【例3】若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明在内至少有一点，使得.【例4】证明（）.证明：令， 由推论知，由得，。（三）洛必塔法则定理；设函数和满足：(1) 当时和的极限为

5、0；(2) 在点的某个去心邻域内,及都存在，且；(3) 存在(或为).则说明：(1)若时, 仍为型，且仍满足条件,则可继续使用(2)对于时的型及或时的型，也有相应的洛必塔法则.(3)适用于型、型、型、型、型、型及型(4)若不存在或使用几次后出现循环，则不可使用该法则（四）洛必塔法则应用1、型及型 【例1】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得【例2】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得=2+1=3注1：运用洛必达法则时，能简化的要进行简化，每次应用前要检查是否仍为待定型.【例3】 求解: 【例4】求 解: 所求极限为型，运用罗必达法则得 不存在，但不能因此认为原极限一定不存在.事实上注2：并

6、不是型都能使用洛必达法则求极限【例5】 求 解: 所求极限为型，由洛必达法则得【例6】 求解: 所求极限为型，由洛必达法则得2、其它待定型（）它们总可以通过适当的变换为型或型，然后再运用洛必达法则.（1）型【例7】 求解： 所求极限为型,故可化为: 一般的,有（2） 型【例8】 求解：这是型，这就是型，故可用洛必达法则.原式（3）型、型、型 利用可化为型,再化为或型【例9】求解: 这是型【例10】求解: 这是型.【教学内容】3.2函数的单调性及其极值 3.3函数最大值与最小值【教学目的】掌握函数的单调性与极值的判别方法，会求函数的最大最小值【教学重点】函数的单调性与极值的判别【教学难点】函数的

7、极值的判别【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课第一章已经给出函数在某个区间内单调性的定义，但直接用定义判别函数的单调性通常是比较困难的.从函数的图形可以看出，函数的单调增减性在几何上表现为曲线沿轴正方向的上升或下降. 如果函数在区间上单调增加，从图3-3-1中可以看出曲线各点的切线的倾斜角都是锐角，其斜率，即. 如果函数在区间上单调减少，从图3-3-1中可以看到曲线各点的切线的倾斜角都是钝角，其斜率，即.x0yxy=f(x)y=f(x)y0 (b) (a) 图3-3-1这就意味着函数单调性与其导数的正负有着密切的关系。现介绍利用导数判定函数单调性的方法.（一）函数的单调性1、定

8、理：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，（1）如果在内，则在上单调增加.（2）如果在内，则在上单调减少.证明：（1）在中任取两点、，使，则在区间上，满足拉格朗日中值定理的条件.从而存在一点，使得又在内，则。 所以，即. 由单调性的定义可知，函数在上单调增加. （2）同理可证.说明：（1）将定理中的闭区间换成其它区间（包括无限区间），定理的结论仍成立（2）使定理结论成立的区间，就是函数的单调区间.2、应用【例1】讨论函数的单调性.解： 函数的定义域为 由得， 点将定义域分成两个子区间，列表讨论如下： -0 + 所以函数在在上单调递减，在上单调递增。【例2】 确定函数的单调区间。解： 函数的定义

9、域为 为函数的间断点。 令得： 用分定义成如下区间，列表讨论如下： -+-所以函数的单调减少区间为，单调增加区间为：【例3】证明：当时，。证明：令，则当时，从而是严格递增的则，所以.【例4】证明当时，证明： 考虑函数，只要证明 即可因在连续，在可导，又，当时，所以，当时， 单调增加的，由可知，当时， 故.（二）函数的极值1、函数的极值定义：设函数在的某一邻域内有定义，对于该邻域内任一（），（1）若都有，则称是的极大值；为极大值点.（2）若都有，则称是的极小值，为极小值点.函数的极大值与极小值称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为极值点.说明：（1）函数的极值是局部性概念，它不一定是整个定义域

10、上最大值或最小值.（2）极大值不一定大于极小值.2、极值存在的必要条件（1）驻点：若，则称为函数的一个驻点（2）极值存在的必要条件定理：设函数在处可导，且在处取得极值，则.说明：（1）可导的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.例如，驻点不是它的极值点.（2）使不存在的点可能是函数的极值点，也可能不是极值点.例如在处函数不可导，但是函数的极小值点，而在处函数也不可导，但不是函数的极值点.3、极值存在的充分条件（1）极值存在的第一充分条件定理：设函数在处连续，在的某个去心邻域内可导（可以不存在），如果 当时，当时，则是的极大值.当时，当时，则是的极小值.当及时，不变号，则不是的极值.求函数极值

11、的一般方法：求出函数的定义域；求也函数的一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点；用驻点和不可导点分定义域成区间，再根据各区间的符号，确定极值点；把极值点代入函数中算出极值。【例5】 求函数的极值。解： 函数的定义域为且在内可导， ，令得： 用分定义域成如下区间，讨论如下：1+0-0+0+极大值极小值无极值 则函数在时取得极大植，在时取得极小值【例6】求函数的极值解：函数的定义域为，又，则当时，；当时不存在. 用，分定义域成如下区间，讨论如下：+不存在-0+极小值极小值则函数在时取得极大值，在时取得极小值（2）极值存在的第二充分条件定理：设函数在存在二阶导数，且 ，那么 当时，是的一个极大值点；当

12、时，是的一个极小值点； 如果，无法确定.说明：定理对导数不存在的点及二阶导数为零的点不适用 若驻点处的二阶导数易求且非零，可用此定理【例7】 求函数 的极值解： 函数的定义域为，令，得：又当时，所以为极小值点；当时，所以为极大值点；当时，所以为极小值点。故函数的极小值为，极大值为（三）函数的最大值和最小值在生产实际中，常常会遇到在一定条件下，如何使材料最省，效率最高，利润最大等问题，在数学上，这类问题就是求函数的最大值或最小值问题。1、函数在闭区间上的最值函数在闭区间上的最值是指整个区间上的所有函数值当中的最值，是个全局性的概念，根据函数在闭区间连续的性质，它的最值要么在端点取得，要么为函数有

13、区间内的极值点上取得。求函数闭区间上最值的方法：(1) 求区间端点处的函数值；(2) 求在内驻点处的函数值；(3) 求在内不可导点处的函数值；(4) 比较上面三类点处的函数值，最小者为最小值，最大者为最大值.【例8】 求函数在区间上的最大值和最小值 解： 令，得驻点， 计算得： 比较上述各值的大小得，函数在区间上的最大值为，最小值为 【例9】求函数在区间上的最值 解： ，令，得驻点，且在点处导数不存在，计算驻点，不可导点及端点函数值得： 比较以上各值得函数在区间上的最大值为，最小值为2、实际问题中最值的求法在实际应用问题中，如果内部只有一个驻点，而从该实际本身又可以知道在内函数的最大值（或最小

14、值）确实存在，那么就是所要求的最大值（或最小值），不需要再算进行比较了.【例10】铁路线上段的距离为100km，工厂距处为20km，且，为运输需要，需在线上选定一点向工厂修一条公路，已知铁路与公路运费之比为3:5，为使货物从供应站到工厂的运费最省，问点应选在何处？ 解：设令，得（唯一驻点）又，所以当时，总运费最省.【教学内容】3.4曲线的凹凸性与拐点【教学目的】掌握曲线凹向的判定并能利用函数的性质作图【教学重点】曲线凹向的判定【教学难点】函数的作图【教学时数】2学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）曲线的凹凸性与拐点1、曲线的凹凸性的定义如果曲线在开区间内，各点的切线都位于该

15、曲线下方，则称该曲线在内是凹的，则称此区间为曲线的凹区间；如果曲线在开区间内，各点的切线都位于该曲线上方，则称该曲线在内是凸的，则称此区间为曲线的凸区间.2、曲线的凹凸性的判定 由上图可观察到，若曲线是凹的，则曲线的切线斜率由小变大. 又，从而有由小变大，又由的正负符号可判断的单调性，因此我们可得下面定理（1）定理： 设函数在区间内具有二阶导数.若，则曲线在内是凹的；若，则称此曲线在内是凸的。（2）拐点：连续曲线凸凹的分界点，称为曲线的拐点.（3）判别曲线的凹凸性和拐点的方法步骤：确定函数的定义域；求函数的二阶导数；令，求出函数二阶导数为0的点和二阶导数不存在的点；用（3）中的点分定义域成区间

16、，根据各区间的符号确定曲线的凹凸性，再根据相邻区间的凹凸性确定曲线的拐点。说明：在点处一阶导数存在而二阶导数不存在时，若在点左、右邻域二阶导数存在且符号相反，则是拐点，如果符号相同则不是拐点. 在点处函数连续，而一阶导数、二阶导数不存在，若在该点的左、右邻域二阶导数存在且符号相反，则是拐点，如果符号相同则不是拐点.【例1】 求曲线的凹凸区间与拐点解：的定义域是， 令 用点分定义域成区间，其讨论结果列表如下：06+00+0拐点拐点（0，0）拐点由上表可得，区间是曲线的凹区间；区间及是曲线的凸区间，拐点分别是，（0，0），.【例2】 求函数的凹向与拐点. 解： 函数的定义域为.令得用点分定义域成区

17、间，其讨论结果列表如下：01+00+拐点拐点可见，曲线在区间是凹的；在区间是凸的.曲线的拐点是和如图所示.【例3】求曲线的凹向与拐点. 解： 曲线的定义域为.令得用点分定义域成区间，其讨论结果列表如下：-11-0+0-拐点拐点可见曲线在区间上是凸的；在区间上是凹的,拐点是和.【例4】求曲线的凹向与拐点. 解： 函数的定义域为 当时，不存在. 用点分定义域成区间，其讨论结果列表如下：2-不存在+拐点因此，曲线在区间上是凸的；在区间上是凹的.拐点为如图所示.【例5】讨论曲线的凹向与拐点. 解： 函数的定义域为 当时，；当时，与均不存在.用点分定义域成区间，其讨论结果列表如下： 因此，曲线在区间是凸

18、的；在区间与上是凹的. 拐点为.在点左右两侧恒有，所以不是拐点（二）曲线的渐近线1、渐近线定义若曲线上的点沿曲线趋于无穷远时，此点与某一直线的距离趋于零，则称此直线是曲线的渐近线。2、渐近线的分类根据渐近线的图形特点，分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，下面分三种情形讨论曲线的渐近线.水平渐近线若曲线的定义域是无限区间，且有或，则直线是曲线的水平渐近线例如：曲线，因，则直线 是曲线的水平渐近线.（2）垂直渐近线若曲线在点处间断，且或，则直线 称为曲线的垂直渐近线。例如：曲线，因为，所以是曲线的垂直渐近线。（3）斜渐近线若曲线定义在无限区间，且，则直线称为曲线的斜渐近线。例如：曲线，因为，所以

19、，又，从而，所以直线为曲线的斜渐近线。（三）函数的作图1、作图的一般步聚：(1) 确定函数的定义域；(2) 研究函数的奇偶性，周期性；(3) 确定函数的单调区间与极值；(4) 确定函数的凹向区间与拐点；(5) 求出函数的所有渐近线(如果有的话)；(6) 再描出一些点，如曲线与坐标轴的交点，每个单调整区间和凹向区间再描几个点.说明：(1) 如果在上有意义，要计算、，若在或内有定义，要考察当趋于端点或时，函数值的变化趋势.(2) 若有曲线的渐近线，在平面坐标系中首先画出渐近线，(3)(4)两步通常合在一起用列表法。例 描绘函数的图形解：(1) 函数的定义域为.(2) 函数非奇非偶；(3) ，令得，；时，不存在；(4)，令无解；时，不存在；(5) ，所以直线是曲线的垂直渐近线，又； 所以直线是曲线当x时的斜渐近线(6) 曲线经过，(3)(4)列表如下 3+-+-+单增凸极大值单减凸单减凹极小值单增凹根据上面的讨论所得，作出函数图形如下