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1、大题专项练(六)解析几何A组基础通关1.(2019安徽蚌埠高三第三次教学质检)已知点E(-2,0),F(2,0),P(x,y)是平面内一动点,P可以与点E,F重合.当P不与E,F重合时,直线PE与PF的斜率之积为-14.(1)求动点P的轨迹方程;(2)一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切,求该矩形面积的取值范围.解(1)当P与点E,F不重合时,由kPEkPF=-14,得yx+2yx-2=-14,即x24+y2=1(y0),当P与点E,F重合时,P(-2,0)或P(2,0).综上,动点P的轨迹方程为x24+y2=1.(2)记矩形面积为S,当矩形一边与坐标轴平行时,易知S=8.当矩形各边均不与坐标
2、轴平行时,根据对称性,设其中一边所在直线方程为y=kx+m,则对边方程为y=kx-m,另一边所在的直线为y=-1kx+n,则对边方程为y=-1kx-n,联立:x2+4y2=4,y=kx+m,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则=0,即4k2+1=m2.矩形的一边长为d1=|2m|k2+1,同理:4k2+1=n2,矩形的另一边长为d2=|2n|1k2+1,S=d1d2=|2m|k2+1|2n|1k2+1=|4mnk|k2+1=4(4k2+1)(k2+4)(k2+1)2=44k4+17k2+4(k2+1)2=44+9k2(k2+1)2=44+9k2+1k2+2(8,10,综上:S
3、8,10.2.(2019山东烟台一模)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过F的动直线交抛物线C于A,B两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.解(1)因为Fp2,0,在抛物线方程y2=2px中,令x=p2,可得y=p.于是当直线与x轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以M(-1,-2).设直线AB的方程为y=x-1,联立y2=4x,y=x-1消去
4、x,得y2-4y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4.若点P(x0,y0)满足条件,则2kPM=kPA+kPB,即2y0+2x0+1=y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2,因为点P,A,B均在抛物线上,所以x0=y024,x1=y124,x2=y224.代入化简可得2(y0+2)y02+4=2y0+y1+y2y02+(y1+y2)y0+y1y2,将y1+y2=4,y1y2=-4代入,解得y0=2.将y0=2代入抛物线方程,可得x0=1.于是点P(1,2)为满足题意的点.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,左、右焦点分
5、别为F1、F2,A为椭圆C上一点,AF1与y轴相交于B,|AB|=|F2B|,|OB|=43(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k0)分别与l1,l2交于点M,N,求证:MF1N=MF2N.解(1)如图,连接AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,所以BO为F1AF2的中位线,又BOF1F2,所以AF2F1F2,且|AF2|=2|BO|=b2a=83,又e=ca=13,a2=b2+c2,所以a2=9,b2=8,故所求椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)由(1)
6、可得,F1(-1,0),F2(1,0),l1的方程为x=-3,l2的方程为x=3.由x=-3,y=kx+m,得x=-3,y=-3k+m,由x=3,y=kx+m得x=3,y=3k+m,所以M(-3,-3k+m),N(3,3k+m),所以F1M=(-2,-3k+m),F1N=(4,3k+m),所以F1MF1N=-8+m2-9k2.联立得x29+y28=1,y=kx+m,得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0.因为直线l与椭圆C相切,所以=(18km)2-4(9k2+8)(9m2-72)=0,化简得m2=9k2+8.所以F1MF1N=-8+m2-9k2=0,所以F1MF1N,故MF1N=
7、2.同理可得F2MF2N,MF2N=2.故MF1N=MF2N.4.(2019四川棠湖中学高三适应性考试)已知抛物线C:x2=4y,M为直线l:y=-1上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程;(2)证明:以AB为直径的圆恒过点M.(1)解当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,由x2=4y,y=kx-1,消y得x2-4kx+4=0.*令=(4k)2-44=0,解得k=1.代入方程*,解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P的坐标为(0,a),由|PM|=|PB|,得a+1=2,解得
8、a=1.故过M,A,B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4.(2)证明设M(x0,-1),由已知得y=x24,y=12x,设切点分别为Ax1,x124,Bx2,x224,所以kMA=x12,kMB=x22,切线MA的方程为y-x124=x12(x-x1),即y=12x1x-14x12,切线MB的方程为y-x224=x22(x-x2),即y=12x2x-14x22.又因为切线MA过点M(x0,-1),所以得-1=12x0x1-14x12.又因为切线MB也过点M(x0,-1),所以得-1=12x0x2-14x22.所以x1,x2是方程-1=12x0x-14x2的两实根,由韦达定理得x1+x2=2
9、x0,x1x2=-4.因为MA=x1-x0,x124+1,MB=x2-x0,x224+1,所以MAMB=(x1-x0)(x2-x0)+x124+1x224+1=x1x2-x0(x1+x2)+x02+x12x2216+14(x1+x2)2-2x1x2+1.将x1+x2=2x0,x1x2=-4代入,得MAMB=0.所以以AB为直径的圆恒过点M.5.(2019山东潍坊三模)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,设A,B分别为椭圆C的右顶点,下顶点,OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)已知不经过点A的直线l:y=kx+m(k0,mR)交椭圆于P,Q两点,线段PQ的中点
10、为M,若|PQ|=2|AM|,求证:直线l过定点.(1)解由已知,ca=32,c2a2=1-b2a2,可得a2=4b2,又因为SAOB=1,即12ab=1,所以2b2=4b2,即b2=1,a2=4,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明由题意知A(2,0),因为|PQ|=2|AM|,所以AM=PM=QM,所以线段PQ为APQ外接圆的直径,即APAQ=0,联立y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,=16(1+4k2-m2)0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,又因为APAQ=0
11、,即x1x2-2(x1+x2)+y1y2+4=0,又y1=kx1+m,y2=kx2+m,y1y2=k2x1x2+m2+km(x1+x2),即(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,把代入,得4k2m2-4k2+4m2-4-8k2m2+16km=-(4k2m2+16k2+m2+4),即12k2+16km+5m2=0,解得k=-12m或k=-56m,所以直线l的方程为y=-12m(x-2)或y=-56mx-65,所以直线l过定点65,0或(2,0)(舍去),综上所述直线l过定点65,0.6.(2019湖北武汉2月调研测试)已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为
12、4,离心率为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点,连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.解(1)依题意2a=4,a=2,e=ca=22,则c=2,则b2=a2-c2=2,椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1),与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1),x24+y22=1,消y整理可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,显然0,x1+x2=4k22k2+1,
13、x1x2=2k2-42k2+1,从而k1+k2=y1-3x1-4+y2-3x2-4=k(x1-1)-3x1-4+k(x2-1)-3x2-4=k+3k-3x1-4+k+3k-3x2-4=2k+(3k-3)1x1-4+1x2-4=2k+(3k-3)x1+x2-8x1x2-4(x1+x2)+16=2k+(3k-3)4k2-8(2k2+1)2k2-4-4(4k2)+16(2k2+1)=2k+(3k-3)-23=2,当直线AB的斜率不存在时,A1,62,B1,-62,则k1+k2=62-31-4+-62-31-4=2,综上所述,k1+k2=2.B组能力提升7.(2019黑龙江哈尔滨师大附中、东北师大附中
14、、辽宁省实验中学一模)已知椭圆C1:x24+y2=1的左、右两个顶点分别为A,B,点P为椭圆C1上异于A,B的一个动点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若动点Q与A,B的连线斜率分别为k3,k4,且k3k4=k1k2(0),记动点Q的轨迹为曲线C2.(1)当=4时,求曲线C2的方程;(2)已知点M1,12,直线AM与BM分别与曲线C2交于E,F两点,设AMF的面积为S1,BME的面积为S2,若1,3,求S1S2的取值范围.解(1)设P(x0,y0)(x02),则x024+y02=1,因为A(-2,0),B(2,0),则k1k2=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4=1-x024x
15、02-4=-14.设Q(x,y)(x2),所以k3k4=yx+2yx-2=y2x2-4=k1k2=-4,整理得x24+y2=1(x2).所以,当=4时,曲线C2的方程为x2+y2=4(x2).(2)设E(x1,y1),F(x2,y2).由题意知,直线AM的方程为:x=6y-2,直线BM的方程为:x=-2y+2.由(1)知,曲线C2的方程为x24+y2=1(x2),联立x=6y-2,x2+4y2=4,消去x,得(9+1)y2-6y=0,得y1=69+1,联立x=-2y+2,x2+4y2=4,消去x,得(+1)y2-2y=0,得y2=2+1,S1S2=12|MA|MF|sinAMF12|MB|ME
16、|sinBME=|MA|MF|MB|ME|=12y1-12y2-1212=y2-12y1-12=9+1+1,设g()=9+1+1=9-8+1,则g()在1,3上递增,又g(1)=5,g(3)=7,S1S2的取值范围为5,7.8.(2019山东聊城三模)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为12,过椭圆C1的左焦点F1,且斜率为1的直线l,与以右焦点F2为圆心,半径为2的圆C2相切.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)线段MN是椭圆C1过右焦点F2的弦,且MF2=F2N,求MF1N的面积的最大值以及取最大值时实数的值.(1)解设F1(-c,0),
17、F2(c,0)(c0),则直线l的方程为:y=x+c,即x-y+c=0.直线l与圆C2相切,圆心F2到直线l的距离为d=|c+c|2=2,解得c=1.椭圆C1的离心率为12,即1a=12,a=2,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆C1的方程为x24+y23=1.(2)由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),由题意得直线MN的斜率不为0,故设直线MN的方程为x=ty+1(tR),代入椭圆方程x24+y23=1,化简可得(4+3t2)y2+6ty-9=0,=36t2+36(4+3t2)0恒成立,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1,y2是方程(4+3t2)y2+6ty-9=0的两个不等
18、实根,y1+y2=-6t4+3t2,y1y2=-94+3t2.MF1N的面积SMF1N=12|F1F2|y1-y2|=122|y1-y2|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=-6t4+3t22-4-94+3t2=12t2+14+3t2.设t2+1=m,则m1,t2=m2-1,则3t2+4=3m2+1,SMF1N=12m3m2+1.令f(m)=m3m2+1(m1),则f(m)=1-3m2(3m2+1)20恒成立,则函数f(m)在1,+)上为减函数,故f(m)的最大值为f(1)=14,所以MF1N的面积的最大值为1214=3,当且仅当m=1,即t=0时取最大值,此时直线MN的方程为x=1,即直线MN垂直于x轴,此时MF2=F2N,即=1.