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1、专题升级训练 解答题专项训练(解析几何)1.已知mR,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0有公共点.(1)求直线l斜率的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?2.已知C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同交点A,B;(2)求弦AB中点M的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线?3.在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(xR)与两坐标轴有三个交点,经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程.4.已知椭圆C:=1(ab0)
2、的左焦点为F(-1,0),离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.5.已知两点A,B分别在直线y=x和y=-x上运动,且|AB|=,动点P满足2(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上任意一点作它的切线l,与椭圆+y2=1交于M,N两点,求证:为定值.6. (2013山东烟台模拟,21)如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于M,N两点(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:=1(ab0)的焦距等于2|ON|,且过点.
3、 (1)求圆C和椭圆D的方程;(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A,B两点,求证:直线AN与直线BN的倾斜角互补.7.已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值.8.已知点F1,F2分别为椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,F1PF2=,F1PF2的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的kR,是
4、否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.#1.解:(1)直线l的方程可化为y=x-,直线l的斜率k=.因为|m|(m2+1),所以|k|=,当且仅当|m|=1时等号成立.所以斜率k的取值范围是.(2)不能.由(1)知直线l的方程为y=k(x-4),其中|k|.圆C的圆心为C(4,-2),半径r=2.圆心C到直线l的距离d=.由|k|,得d1,即d.从而,若l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.2. 解: (1)证明:圆心C(0,1),半径r=,则圆心到直线l的距离d=1,d0,解得b1且b0.(2)设所求圆的一般方程为x2+
5、y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.令x=0得y2+Ey+F=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.4.解:(1)由题意可知:c=1,a2=b2+c2,e=,解得a=,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0),联立,得整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根.记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),则x1+x2=,x0=,y0=,垂直
6、平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0).令y=0,得x=x0+ky0=-=-=-.k0,-x0.点G横坐标的取值范围为.5.解:(1)方法一:设P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2).2,P是线段AB的中点,|AB|=,(x1-x2)2+(x1+x2)2=.(2y)2+(2x)2=.化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=.方法二:2,P为线段AB的中点.A,B分别在直线y=x和y=-x上,AOB=90.又|AB|=,|OP|=.点P在以原点为圆心,为半径的圆上.点P的轨迹C的方程为x2+y2=.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m.l与C相切,m2=(1+k2)
7、.联立设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=,y1y2=.=x1x2+y1y2=.又m2=(1+k2),=0,当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=,代入椭圆方程得M,N或M,N,此时,=0.综上所述,为定值0.6.解:(1)设圆的半径为r,由题意,圆心为(r,2).因为|MN|=3,所以r2=+22=,所以r=.故圆C的方程是+(y-2)2=.在中,令y=0,解得x=1或x=4,所以N(1,0),M(4,0).由得c=1,a2=4,b2=3.所以椭圆D的方程为=1.(2)证明:设直线l的方程为y=k(x-4).由得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.设A(x1,y
8、1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.当x11且x21时,因为kAN+kBN=k=2x1x2-5(x1+x2)+8=0,所以kAN=-kBN.当x1=1或x2=1时,k=,此时方程=0,不合题意,所以直线AN与直线BN的倾斜角互补.7.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|,当x0时,y2=4x;当x0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x0)和y=0(x0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2
9、),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.因为l1l2,所以l2的斜率为-.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.=()()=|+|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=1+1+1+(2+4k2)+1=8+48+42=16,故当且仅当k2=,即k=1时,取最小值16.8.解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理得22=m2+n2-2mncos,化简得,m2+n2-mn=4.由,得mnsin.化简得mn=.于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=2,由此可得,a=.又半焦距c=1,b2=a2-c2=1.因此,椭圆C的方程为+y2=1.(2)由已知得F2(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),由消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.=+y1y2=+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-(x1+x2)+k2=(k2+1)+k2=-.由此可知=-为定值.5