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1、高考数学平面解析几何解答题专题训练70题含答案学校:姓名：班级：考号：一、解答题1.已知椭圆G：捺+营=1(“6 0)经 过 点 小?，且其右焦点与抛物线c2:y2=4 x的焦点厂重合，过点广且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于尸，O 两点.(1)求椭圆G的方程;(2)设。为坐标原点，线段。尸上是否存在点阳”,0),使 得 酬.而=.而？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；(3)过点4(4,0)且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,8两点，点8关于x 轴的对称点为 E,试证明：直线力过定点.2 .如图，已知抛物线f=4y,直线卜=丘+1 交抛物线于A,8两点，P 是抛物线外一点，连接尸/,P
2、8 分别交抛物线于点C,D,且 CD/AB.(1)若左=1,求点尸的轨迹方程；(2)若|PC|=2|/C|,求 B 面积的最小值.3 .已知椭圆C：-+-=l(fl Z)0),耳，玛为其左右焦点，离心率为日,(-7 3,0),(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P(x,%)(X o%x O)，点尸在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线/,斜率为%,PF壁的斜率分别为尢，k2,则与等是否是定值？若是，求出定值；若不是，请叫)“卢 2说明理由.(3)设点尸优,比)(为#0),点P 在椭圆。上，点。,0)在/百货的角分线上，求f的取值范围.4 .设 圆/+产+2 -1 5 =0的圆心为A,直线/过
3、点8(1,0),尸是圆A上的任意一点，线段B F的垂直平分线与A F交于E点.试卷第1 页，共 2 0 页(1)求出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线G，直线/交G于，N两点，过8且与/垂直的直线与圆A交于P,。两点，求 四 边 形 面 积 的 取 值 范 围.5 .如图，直线/：y =x-4交抛物线:/=2/(2 0)于A、B两点，|8|=6&.C、。是位于V轴和直线/之间的抛物线上两点，连接8 C、C D、AD.(1)求抛物线的标准方程；(2)求四边形力8 c o的面积S的最大值，以及S取得最大值时直线C。的方程.6 .已知椭圆八 +/=1,斜率为人的直线/与椭圆 T两个不同的公共点
4、/、B,r的左、右焦点分别为打、鸟.(1)若直线/经过点片，求A/86的周长：(2)若左=1,求A/0 8 面积的取值范围；(3)若=1,P(-4,0),直线P 4与椭圆厂的另一个交点为C,直线PB与椭圆厂的另一个交点为。，求证：直线C D过定点，并求出定点的坐标.7 .已知。为坐标原点，椭圆C:+，=l(a 6 0)的离心率e=，点P在椭圆C上,椭圆C的左右焦点分别为斗 入，P4的中点为。，AOK。周长等于如+好.2(1)求椭圆。的标准方程；2(2)日 为 双 曲 线 一二=1上的一个点，由少向抛物线E:/=4 y做 切 线 切4点分别为4 5.(i)证明：直 线 与 圆/+/=相切;试卷第
5、2页，共2 0页(i i )若直线48与椭圆C 相交于M,N两点，求AOA/N外接圆面积的最大值.8 .椭圆E:5+，=l(a b 0)的离心率为半，焦距为2 v L(1)求椭圆E的标准方程；(2)设G(S,N)是椭圆E上的动点，过原点。作圆G:(x-机)2+(y-=(的两条斜率存在的切线分别与椭圆E交于点48,求+用的最大值.9 .已知椭圆C。+m=1(。6 0)的 焦 点/，若平面上一点工(2,3)到焦点厂与到准线/：x =-5的距离之和等于7.(1)求抛物线。的方程；(2)又已知点P为抛物线C 上任一点，直线尸4 交抛物线C 于另一点M,过M 作斜率4为=的 直 线 交 抛 物 线 C
6、于另一点N,连接P M 问直线PN是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.试卷第3 页，共 2 0页1 2.已知椭圆:二+4 =l(a b 0)的左、右焦点分别为片、F2,离心率为Y2,用是椭圆上的动点，玛 的最大面积为1.(1)求椭圆的方程；(2)求证：过椭圆一 +4=1(。6 0)上的一点7(%,然)的切线方程为：a b 0=a2 从 一，(3)设点尸是直线/：x =2 上的一个动点，过产做椭圆的两条切线，切点分别为儿 B,则直线N8 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由.1 3.已知椭圆C：E +=i m b 0)的离心率为 正，左、右焦点分别为耳、F2,且
7、a b2 2过点(夜,1).(1)求 C 的方程；(2)设点M 为 C 上的动点，求 卬=丽 丽 的取值范围；(3)设椭圆C 的左顶点为4不 过 点/的直线/：了 =丘+机(左 H O,w e R)与 C 交于 P,0 两点，P0 的中点为E,若|P 0|=2|N E|,求证：直线/经过定点，并求出定点坐标.2 21 4.如图，从 椭 圆=+4=1(。/0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点B,a bl又点才是椭圆与x轴正半轴的交点，点 8 是椭圆与y轴正半轴的交点，且4B/OP,后旬=何+五.其中尸2 为椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程E；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切
8、线与椭圆E 恒有两个交点C,。且 OC_L O。？若存在，写出该圆方程，并求8的取值范围；若不存在，说明理由.2 21 5.已知椭圆C:+g =l(4 b 0)的右焦点为(百,0),点尸(2,1)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点7(3,0)且斜率大于0 的直线/与椭圆C 相交于不同的两点/和N,直线PM、试卷第4页，共 2 0页PN分别交x 轴于A、8 两点，记,4 T、AP 8T的面积分别为5、尾，求 E+S?的取值范围.1 6 .在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率e=，且椭圆C上的点到其焦点的距离的最大值为2 +百，过点加(3,0)的直线交椭圆C 于点A、B.(1)求椭圆
9、C 的方程；(2)设尸为椭圆上一点，且 满 足 总+丽=/丽(。为坐标原点)，当恒用 b 0)的离心率为孝，且直线:看=1 与圆2+炉=2相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线/与椭圆C 相交于不同的两点A,B,M 为线段N8 的中点，O 为坐标原点，射线O M与椭圆C 相交于点P,且|OP|=J T?|O M，求”8 0 的面积.1 8.已知椭圆。:。，1(/0)经过点收卜3,其 离心率为孝，设直线/)=+加 与 椭 圆 C 相交于A、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；2(2)己知直线/与圆/+/=相切，求证：0 4,0 8(。为坐标原点).1 9.已知动圆P与圆耳：(x +3)+_/=
10、81 相切，且与圆乙：(x-3 1+V =1 相内切，记圆心户的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设。为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，过点写作。(。为坐标原点)的平行线交曲线C 于M、N两个不同的点，记AQMN的面积为S,求S 的最大值.2 0.已知椭圆(；:+=1(。6 0)经过点(0,6)，离心率为:，左右焦点分别为a b 2片(0),F式 c,0).(1)求椭圆。的方程；(2)RN是。上异于M 的两点，若直线PW与直线PN的斜率之积为-=,证明：M,N4两点的横坐标之和为常数.2 1.双曲线G：?-S=l,圆。2 2+/=4 +/(6 0)在第一象限交点为4(X”为)，试
11、卷第5 页，共 2 0页曲线十会=中/x2+_ y2=4+Z 2,|r|x/(2)若6 =逐，G与x轴交点记为耳，鸟，尸是曲线上一点且在第一象限，并满足|产用=8,求/耳 尸鸟；(3)过点+且斜率为-g的直线/交曲线于M、N两点，用6的代数式表示OM O N,并 求 出 两 丽 的取值范围.(1)若直线N 8的斜率为-1且不过坐标原点O,求 直 线 的 斜 率；(2)若直线N 8过椭圆的右焦点尸，且不与x轴垂直，斜率不为零，试问在x轴上是否存在一点。，MB=2DF,且以。8为直径的圆恰好经过点M?若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.2 3.抛物线/=x上相异三点A,B,C的纵坐标分别
12、为必，y2,%.已 知A/8 C为等腰直角三角形，且N C为直角.试卷第6页，共2 0页(1)若%=0,求AN8c内切圆的圆心坐标.(2)若 WO,求2 1土&的取值范围.%2 4 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭 圆 Y:2 鼻V+2 方=1(6 0)_,离 心率e =1 5,尸为椭圆左焦点.若椭圆上有一点尸在X轴的上方，且 P尸，X 轴，线段尸尸=方.(1)求椭圆E的方程；(2)关于椭圆E的切线有如下结论：过椭圆上一点。(%,为)的切线方程警+缓=1.利用此结论解决以下问题：椭圆E的左顶点为4,点。在点4处的切线上，过点。作椭圆的另一条切线。0,切点为0(。，。异于顶点)，直线。尸
13、与椭圆交于不同的两点N,过点加 作 x 轴的垂线与直线4 Q,4。分别交于点4 B,求证：点 Z是线段8/的中点.2 5.已知中心在原点,焦点在X 轴上的椭圆C 过点尸(2,0)且离心率e =#，过点作直线与椭圆交于A、8两点.(1)求椭圆。的方程；(2)求证：PAL PB-,(3)求产4P B 的最大值.2 6.椭 圆 C 的中心为坐标原点。，点4，4分别是椭圆的左、右顶点，B 为椭圆的上顶点，一个焦点为尸(百,0),离 心 率 为 等.点 M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点,直线4M 与y轴交于点尸，直线4M 与夕轴交于点(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若 把 直 线 必,的斜率分别
14、记作匕，匕,求证：3T试卷第7页，共 2 0 页(3)是 否 存 在 点/使=若存在，求 出点 的坐标，若不存在，说明理由.2 7.已知百，鸟分别为椭圆的左、右焦点，M 为上的一点.(1)若点M 的坐标为(1,，)(，0),求邛明的面积；3(2)若点”的坐标(0,1),且直线了=丘-半 左 夫)与r 交于两不同点小B,求证：标.选为定值,并求出该定值；(3)如图，设点 的坐标为(s,f),过坐标原点。作圆M :(x-s)2+(y-f f =/(其中厂为定值，0 /0,6 0)中，长半轴的长度与短轴的长度相等，点A/(-2,l)是椭圆内一点，过点M作 两 条 斜率存在且互相垂直的动直线设，与椭圆
15、C相交于点4 8,4 与椭圆相交于点2E.当点加 恰好为线段工 8的中点时，卜 所.(1)求椭圆。的方程；(2)若 血=2 万7，试求直线Z6 的方程;试卷第8 页，共 2 0 页(3)求瓦.丽的最小值.2 22 9.已知点尸为椭圆E：5 +彳=1(“6 0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点a b构成一个等边三角形，直线：+=1 与椭圆E有且仅有一个交点(1)求椭圆E的方程.(2)设直线?+=1 与V轴交于P,过点P 的直线/与椭圆E交于两不同点A ,B,若XPM=PA-PB,求实数，的取值范围.3 0.已知椭圆C：5+g=l(a 6 0)的左、右焦点分别为片，6,点加(0,2)是椭圆的一个
16、顶点，片 屿 是等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上一动点，求 线 段 的 中 点。的轨迹方程;(3)过点M分别作直线M4,M B 交椭圆于A ,8两点，设两直线的斜率分别为占，k2,且 占+与=8 ,探究：直线Z 8是否过定点，并说明理由.3 1.已知椭圆C:+，=l(a 6 0)过点P(2 )，4,4分别是椭圆C 的左右顶点，且直线尸 4与直线PA2的斜率之积为-g .(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过点尸的直线/与椭圆C 相交于M,N两点，若 直 线 与 直 线 尸乂斜率之枳 为 1,试问直线/是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由.
17、3 2.已知点P到4-2,0)的距离是点P 到8(1,0)的距离的2倍.(1)求点P 的轨迹方程：(2)若点P 与点。关于点8 对称，点C(5,8),求|0 8 +|0 C 的最大值；(3)若过8的直线与第二间中。的轨迹交于E,尸两点，试问在x 轴上是否存在点使祀或标恒为定值?若存在，求出点”的坐标和定值；若不存在，请说明理由.3 3.已知双曲线C：W-=1 过点”(3,夜)，且右焦点为F(2,0).a h(1)求双曲线。的方程；UUL UUU(2)过点F的直线/与双曲线C 的右支交于4 8两点，交了轴于点P,若 叫 m A F，试卷第9 页，共 2 0 页PB=n B F，求证：?+为定值.
18、(3)在(2)的条件下，若点。是点P关于原点。的对称点，求证：三角形38的面2 3积口正;3 4.在 直 角 坐 标 系 中，椭圆G：g+力=1伍 6 0)的离心率为变，左、右焦点a b 2分别是耳，F2,P为椭圆G上任意一点，|尸 石+|?周2的最小值为8.y(1)求椭圆G的方程;(2)设椭圆G：x2 y2 1 z靛+庐=产b o),。(,%)为椭圆G上一点，过点。的直线交椭圆G于A,8两点，且。为线段Z B的中点，过0,。两点的直线交椭圆G于E,尸两点.当。在椭圆G上移动时，四边形 钻尸的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是,请说明理由.2 23 5.在平面直角坐标系x O y中，已知椭
19、圆C：；+4=l(a 6 0)长轴是短轴的虚倍,a b-点(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与圆O：/+丁=2相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于尸，0两点.求证：以尸0为直径的圆经过原点。若0尸。的面积为学,求直线/的方程.3 6.已知椭圆C.1(“6 0)与抛物线：/=2 p x (P 0)共焦点，以椭圆的上下顶点M、N和左右焦点B、尺 所 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为8,经过放的直线交抛物线于/、B,交椭圆于C、D,且满足20$+焉=y+焉.(1)求出椭圆和抛物线的标准方程；(2)若点。在第三象限，且 点/在 点8上方，点C在点。上方，当 面 积 取 得
20、最大值S时，求 钛 哥 的 值.试卷第1 0页，共2 0页3 7.如图，椭圆r：二+/=1 的两条弦48,C。满 足 反=2 万，记 直 线 与 直 线 3 C(1)求|“即+|8|的最大值；(2)若 P点在抛物线y =:3 上，求 四 边 形 面 积 的 最 大 值.43 8 .在平面直角坐标系中，定义d(48)=m a x|X I -x?必一%1 为两点/(%,必)、B x1,y1)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线/上任一点。，称(尸，。)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离”，记作或P J).(1)求证:对任意三点A、B、C,都有d(4 0 +d(C8)2 4(45);(2)已知点P
21、 知)和直线，：2X7-1 =0,求d(P,/)；(3)定点C(x。,%),动点P(x,_ y)满足(C,P)=r (厂 0),请求出点尸所在的曲线所围成图形的面积.3 9 .己知椭圆。:捺+营=1(6 0)的左、右焦点分别为不，F2,且归周=4应，设A是C 上一点，且|词=芋，|网=(1)求椭圆C 的方程；(2)若不与y轴垂直的直线/过点8(1,0),交椭圆C 于E,尸两点,试判断在X 轴的负半轴上是否存在一点7,使得直线7 E 与b 斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.40 .已知椭圆阳：+卷=1 (“6 0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且
22、椭圆经过点N(血,日).(1)求椭圆的方程；(2)若直线夕=船+阳(左 W 0)与圆E:f+y2=相切于点p,且交椭圆M 于4 8两点,4射线OP于椭圆交于点。，设A O 4 5 的面积与 Q N 2 的面积分别为岳,5.试卷第1 1 页，共 2 0 页求E的最大值；当取得最大值时，求3 的值.41 .如图，已知点尸(1,0),A、8为抛物线上V=4 x不同的两点(5 在A的右上方，F在直线4 8的下方)，满足=尸。+45 .(1)证明：N8的中点C 位于某定直线上；(2)记ANB厂内切圆、外接圆的半径分别为八R,求工的最小值.r4 2 .己知椭圆C：4+4 =1(/0),耳(T 0),8。,
23、0)分别为椭圆C的左、右焦点,a bM为C上任意一点，S-的最大值为1.(1)求椭圆C的方程；(2)不过点鸟的直线/：?=h+加(，屋 0)交椭圆C于A,B两点.(i)若 公=g，且 S1 Ml M=岑，求?的值；(ii)若x 轴上任意一点到直线/g与8 工的距离相等，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.4 3 .已知线段N 5的端点8的坐标是(2,0),端点A 在圆N:(x +2y+V=8上运动，AB试卷第1 2 页，共 2 0页的中点P 的轨迹为曲线7,圆心为C(3,-l)的圆C 经过点8.(1)求曲线7 的方程，并判断曲线7 与圆C 的位置关系；(2)过x 轴上一点G 任作一直线(不
24、与x 轴重合)与曲线T 相 交 于 、S两点，连接8W,BS ,恒有NM8G=N S 8 G,求 G 点坐标.44.已知椭圆C：+/=1(6 0)经过点尸(I,孝)，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线/(与 x 轴不重合)与椭圆C 交于M,N 两点.是否存在一定点E(3 0),使得x 轴上的任意一点(异于点E,刀到直线EN 的距离相等？若存在，求出，的值：若不存在，说明理由.45.已知抛物线V=2 p x(p 0)的内接 8 C 满 足 直 线 都 是 抛 物 线 产 2的切线.(I)证明：Z C 是抛物线y=的切线；(I I
25、)已知G 为A/IBC的重心，求 上 的 取 值 范 围.P46.已知椭圆C：W +=l(a b 0)的长轴长为6,C 上一点M 关于原点。的对称点为 N,若 M F LN F ,设4 M N F =a ,且 sin(a+?)=q.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过圆O:x 2+/=IO上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A,B,求 4 0 5 面积的取值范围.47.已知椭圆。，+口=巾 方 0)的左焦点川-鱼。)，点0 1,日为椭圆C 上一点，如图，经过圆。：一+=5 上一动点尸作椭圆c 的两条切线分别切于点4 B,切试卷第13页，共 20页线分别与圆。相交于异于点P的点m，N
26、.(1)求椭圆C的方程；(2)记 a x b =。,6 .s in .证 明：O M x O N=0；(ii)求&x O%的取值范围.4 8.已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点A,B 是椭圆C上的不同两点，且以48为直径的圆经过原点O.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在,说明理由；(3)求|夕|+|历|的最小值.4 9.已知椭圆C：，+捺=1(。6 0)的 离 心 率 为,，短轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程：(2)设直线/过点(2,0)且与椭圆C相交于不同的两点A,B,直线x =6 与 x轴交
27、于点D ,是直线x =6 上异于。的任意一点，当 荏.反=0 时、直线B E 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标：若不过，请说明理由.2 25 0.已知椭圆C:0+q=1(。6 0)过点f(2,1),与、鸟分别为椭圆。的左、右焦点,a b且 所 屋=-l.试卷第1 4 页，共 2 0页（2）过 P点的直线，与椭圆C有且只有一个公共点，直线4 平行于。尸（。为原点），且与椭圆C交于/、8两点，与直线x =2 交于点介于A B两点之间）.当 川5面积最大时，求4的方程；（花）求证：尸5 1 .已知椭圆逡+*=1（。0）,片、名为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已a2 b?知/丹 根=6 0
28、。，百，且椭圆的离心率为g .（1）求椭圆方程；（2）已知72（-4,0）,过 7的直线与椭圆交于、N 两点，求人切巧面积的最大值.5 2 .如图所示，已知椭圆C：+4=1,其中ab0,与，Q分别为其左，右焦点,a b 点尸是椭圆。上一点，P O L F2M ,且 丽=（1）当“=2 应，6 =2,且_L片名时，求义的值；（2）若2 =2,试求椭圆C离心率e 的范围.5 3 .过点尸（。,-2）作抛物线0 2=纣的两条切线，切点分别为/（4 乂），B（x2,y2）.（1）证明:再芍+必必为定值;（2）记 P Z 5 的外接圆的圆心为点M,点F 是抛物线C的焦点，对任意实数。，试判断以尸加为直径
29、的圆是否恒过点广？并说明理由.试卷第1 5 页，共 2 0 页2 25 4 .已知椭圆C：+与=1 5 6()的 离 心 率 为 以 原 点 为 圆 心，椭圆的短半轴长a o 1为半径的圆与直线J 7 x-q y+1 2 =0 相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设4-4,0),过点R(3,0)作与x 轴不重合的直线/交椭圆C于P,。两点，连接/尸,力。分别交直线x =与 于 ，N两点，若直线M R、NR的斜率分别为尢、k2,试问：尢质是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.5 5 .已知椭圆：6 0)左顶点为A,离 心 率 为 电，且过点(1)求的方程；(2)过抛物线C：V=2 px
30、(p0)上一点尸的切线/交于 2E两点，线段。,总的中点分别为M,N.求证：对任意。0,都存在这样的点P,使 得 所 在 直 线 平 行 于 V轴.5 6 .已知椭圆。：捺+，=1(“6 0)的 离 心 率 为 争 且 经 过 点(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)过点/0,2)的直线交椭圆C于48两点，求ZMO B 面积的最大值.(。为坐标原点)5 7.规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化
31、为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：试卷第1 6 页，共 2 0 页(1)如图，设 母 球 A 的位置为(0,0),目标球 B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动，求 母 球 A球心运动的直线方程;如图，若 母 球 A 的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A 击打 目 标 B球后，使 目 标 B球 向(8,4)处运动?若 A 的位置为(0,)时，使得母球A击打目标球B时，目标球B(4 0,0)运动方向可以碰到目标球C(7 a,-5 血)，求a的最小值(只需要写出结果即可)2 25
32、8 .设椭圆C:鼻+1=l(a b 0),直线=R),O为坐标原点.a b(1)设点尸(当,1)在 C上，且 C的焦距为2,求 C的方程；(2)设/的一个方向向量为(6,应)，且/与(1)中的椭圆C交于48两点，求证:O A2+O B2 为常数；(3)设直线/与椭圆C交于48两点，是否存在常数左，使得|。4+|。8的值也为常数？若存在，求出k的表达式及|。川2+|。8的值；若不存在，请说明理由.5 9.给定椭圆。:=+耳=1(a b 0),称圆心在坐标原点。，半径为的圆a b是椭圆C的“伴随圆”，若椭圆C右焦点坐标为尸(虚,0),且过点(1,坐).(1)求椭圆C的“伴随圆”方程；(2)在椭圆。
33、的“伴随圆”上取一点尸(1,6)，过该点作椭圆的两条切线4、4，证明：两切线垂直；(3)在 双 曲 线 片-/=1 上找一点。作椭圆c的两条切线，分别交于切点、N,使3UULU.UUU得 0 必.0 2 =0,求满足条件的所有点。的坐标.6 0 .已知圆。：x2+/=p椭圆C：g+，=l(a b 0)的离心率为年，且过点试卷第1 7 页，共 2 0 页,2 出2 局手，年，圆上任意一点P 处 的 切 线 交 椭 圆 于 N两点,（1）求椭圆C 的方程;（2）试 判 断 是 否 为 定 值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.26 1.如图，在平面直角坐标系x Q y 中，已知椭圆C:
34、5+%=l（a 6 0）的离心率为右准线的方程为x =4,4为椭圆C 的左顶点，耳、工分别为椭圆C 的左，右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点作斜率为左小 0)的焦点为尸,点Q在抛物线C 上，点尸的坐标为11,且满足历=+2 而=也(。为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线/交抛物线C 于 4 8两点，且 弦 的 中 点”在直线y =2 上，试求的面积的最大值.6 6.已知抛物线G：*2=2 加(2 0)的焦点为尸，圆C2：(X+2)2+(+8)3=4,过V轴上点G且与y轴不垂直的直线/与抛物线G 交于A、B 两点，8关于y轴的对称点为。，O为坐标原点，连接G G 交X
35、 轴于点E,且点E、F 分别是G g、OG 的中点.(I)求抛物线G 的方程；(2)证明：直线/。与圆G 相交.6 7.已知尸、A分别为椭圆C:+片=1 的右焦点和左顶点，D,E 分别在椭圆C 上4 3运动，点M(4,机)，N(4,)分别在直线4),/E 上.(1)右$(=_ S&DMF,求用的值；(2)记尸(4,0),若直线。过点?，求证：N M F P =N F N P.试卷第19 页，共 2 0页6 8.在平面直角坐标系x O），中，已知椭圆毛+4 =1（。b 0）的焦距为2,离心率为也,a2 b2 2椭圆的右顶点为A .（1）求该椭圆的方程;（2）过点。（血,-&）作直线尸。交椭圆于两
36、个不同点P,Q,求证：直线/1P,力。的斜率之和为定值.2 26 9.已知A,B,C 顺次是椭圆E：2 +彳=1（“6 0）的右顶点、上顶点和下顶点，a b椭圆E 的离心率6 =也，且 方.就=12.2（1）求椭圆E 的方程；（2）若斜率为k -誓 左 0）的焦点，点（3,0）,N（5,0）为x轴上两定点.过点M 的直线与抛物线交于A ,B 两点，直线/N,8N分别与抛物线交于异于点A ,3的P,。两点.（1）求抛物线方程.（2）直线尸。是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过，说明理由.试卷第2 0页，共 2 0页参考答案:1.（1）工+匕=1；（2）存在，。，口；（3）证明见解析.4
37、 3 I纭【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点M 列方程求解a、b,从而求得椭圆方程；（2）设直线尸。的方程为：y=k（x-,发声0,联立直线方程与椭圆方程可得关于 x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用左表示出线段P Q 的中点火（三，乃），根据所给等式可证明直线N K 为直线户。的垂直平分线，则可得直线N R 的方程，求出点N 的横坐标从而可求得的范围；（3）联立直线的方程与椭圆方程可得关于x 的一元二次方程，设为），B（X4,为），E（x,-y4）,根据韦达定理求出马+5、x3x4,求出直线Z E的方程并令N=0,求出x 并逐步化简可得x=l,则直
38、线X E过定点（1,0）.【详解】2 2（1）椭圆:*+方=1（。6 0）右焦点与抛物线C2:y2=4 x的焦点尸（1,0）重合,且经过点用（1,?,a2=4b2=3解得.J-L =1a2 b2a2-b2=12 2.椭圆的方程为：土+匕=1.4 3(2)设直线P。的方程为：y=k(x-),k/0,代 入?+与=1,得：(3 +4k2)x2-8 k2x+4 A:2-1 2 =0 ,A=(-8 产产-4(3 +4-)(4 严-1 2)0 恒成立.设P(演，乂)，Q(X2,y2),线段尸。的中点为砥覆,%),则 X 3=-v，=,-1)=-,2 3+4/3+4 K由 班.丽=苑.而，得：PQ.(NQ
39、+NP)=PQ.(2NR)=0,直线N R为直线P Q的垂直平分线，直线N R 的方程为：y+-=-（x-）,3+4k2 k 3 +4%2 答案第1 页，共 1 2 2 页k2 1令y=0得：N点 的 横 坐 标=彳 尸=屋；，F+4,：k2 e（0,+o o）,p-+4 e （4,+o o）,.（）,；）.线 段 上 存 在 点N（，0）,使 得 函 而=网 而，其中（3）证明：设直线N 8的方程为：y=M x-4）,k O,2 2代入工+匕=1,得：（3 +4公）/一3 2%2%+6 4公一1 2 =0,4 3过点4（4,0）且不垂直于X轴的直线与椭圆交于A ,8两点，.由=（-3 2公）
40、2-4（3 +4 4 2）（6 4抬-1 2）0,得：（-；,g）,设“（X?,%），B（X4,y4）,E（X4,一%）,则+%=32k23 +4/6 4 -1 2-3 +4公则直线/E的方程为y-%=&ar）,X3-X4令 y=0 得：X=-H/+/%+居3乂+%必必+乂_4%（4 一 4）+工4%（4 4）左（毛+%-8）_ 2%3%4（&+/）工3+工4-8c 6 4女2-1 2 4 32k2*3 +43 +4 平3 +4抬1 .二直线4E过定点（1,0）.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，着重考查考生运用圆锥曲线的知识进行逻辑推理的
41、能力.1.参数法圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.2.由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这答案第2页，共1 2 2页个 定 值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.2.（1）X=2（-1 0,则x,+/=4k,%1 -x2=-4,因为CD/AB,所 以 可 设 定=丸 直
42、，PD=ADB,由向量的坐标表示可求得。x()+1 +42 2%+/11+2(、x+A x凡+7石D)、乂 2 _41 +1 1 +17/v 24 2将C,。的坐标代入抛物线方程，得（生 也 丫 =4.竺广，代。+的 4 +二I 1 +2）1+A I 1 +2）1 +2化简得 2x：2xo4X1+4(1 +4)%片=0,Axj 2x0Ax2+4(1 +Z )y0 x()=0,所以*i，4 为 方 程-2xo/Lx+4（l +4 6,-x：=0 的两根,答案第3页，共 122页所以玉+毛=4 =4左=4,再 =4 0+)%_%-=_ 4,解得X。=2.代入X区可得A-42+4 1-2 2=4(1
43、71)=T 7 7=T 7 I)因 为 所 以 有-1(为 1.所以尸点的轨迹为x=2(-l y/与C：工+/=1联立消y得（l+4 ）x2+8（V0-x0）X+4（y j-2*0 x0j/0+Xo-l）=0“*”由题设得 =6 4（6 -矽）7-16（1 +%）（X-2 AM0y o+%；-1）=0,即（4 x；）k：+2x0y0k0+1 y j =0,：点P在椭圆C上，-号，代入上式得耳=一六.44%（另法：过。上的点尸区,%乂/比/0）的切线为八。，其斜率为优，k _%k-1。+52-.k、+k?_+_J _ _ 4o x（）+（）-%o 4/a kk2 j/、V o N o（定值）k+
44、k2是定值-8.（3）由题设知片（一正,0）,乙（百,0）,.,点尸（%,乂）（盟二0）,答案第5页，共122页PF：y=J|)r-(x+V 3)B P ox-(xo+V 3 V+5/3 =0,X()+N 3P F y y=%.(X -扬 即 为x-N -y -岛0=0,丁点。&0)在N P用的角分线上，.点。到 直 线P R和 直 线Pg的距离相等,|卬+扬 )|加-百比|点P在 椭 圆。上,*/_ 也 t 6，-2 x0 0 恒成立,8公4k2-n由韦达定理可得西+w=-，Xx -.4+3 -3 +4 P.A/N|=,+2卜 占卜 J i+02.2-4 x8 公4k2-12_ 12(k2+
45、1)3 +4 代3+4 左 23+4 左 2 .过点B(L O)且与/垂直的直线切：y =-，(x-l),kA到机的距离为2 +所以|P Q|=2/yI=44k2+3k2+l故四边形M P N Q的面积S =|。|+11 X2又 4 0,则1 0 ,由韦达定理可得再+=2 p +8 ,x,x2=1 6,所以，aJ（X +）-4 中 2 =应.J 4 P 2 +3 2 p =6&，解得P =L因此，抛物线的标准方程为V=2x；（2）先证明出抛物线V=2 x 在其上一点（X。,为）处的切线方程为为y =x +x .证明：联立yoy=x+xoy2=2x消去 x 可得/-2%y +2 x（）=0 ,B
46、 P y2-2yoy+y=0,即（y-%）2=0,解得y=%，所以，直线为y=x+x 0 与抛物线V=2 x 相切于点（X。,%）.将P =1 代入方程/-（2 0+8）+1 6=0 可得/-1 0 +1 6=0,解得西=8,毛=2,必=%-4=4 ,y2=x2 4 =2 ,即点/（8,4）、8（2,2）,-）n 2，t l设点C加、D,其中团、（一 2,4）且加工，所以，一 3 加一 1 3,-m 4点C到 直 线 的 距 离 为 2d=JT 答案第8 页，共 1 2 2 页-m-z 4.=一1 /用 一11 X2-9 =,所以，点。加 +4 2 82/直线”C的方程为k4 =高（、一 8）
47、,即 高 一 二 葛 二 ,点。到直线Z C的距离为一 ，-J-8/7 2-1 64(?4-4)4（加 +4）4 m m+4(加 _ 4 y+4+4I何=-m-2-O2m2-4 62-m2TS S&ABC+SA4 C )=1 2+3 1 6-m223 加2（加 盯1 64(z 7 7 +4)(/n-4)+4(777-4 y1 62 7T-2 7 7 7 4 ,贝 1 m2 1 6,所以，S=co2=_ 4_ 户 h zlL2v)1 6令”加_4 c(6,0),则$=/(Z)=-|(r +3)2-y +-y,则/。)=-3 +3)一苏=一得,2+1 6/+4 8)=一 5 +4)(/+1 2).
48、因为-6 0,当-6 0,此时，函数/单调递增;当-4 f 0 时，r（/）0,此时，函数/单调递减.答案第9 页，共 1 2 2 页?7所以，/(0r a x=/(-4)=-+4+y=1 6,此时，m-4=t =-4,可得加=0,则点。(0,0)、0(2,2),直线C。的方程为卜=.综上所述，四边形Z 8 C D 面积S 的最大值为1 6,此时直线CD的方程为丁=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函
49、数的有界性等求最值.6.(1)8；(2)(0,修；(3)证明见解析，(2)2 2【解析】(1)根据椭圆的定义计算；(2)设直线/方程为夕=+加，由直线与椭圆相交于两点，及直线不过原点求出0 苏 0 ,-亚 ,y=x-m设”(西,乂),5(/,力)，则 巧+=-警，中 2 =%加T),5 5+k x J(尤 +)4 再 =5一 加,答案第10 页，共 12 2 页又原点0到直线A B的距离为d=mV 2，S&AOB=；网4=5-m2x“(5-加 2)=与I,5、2 25一(？-)+,5 75 75直线不过原点，.。八5,.。-向-/+力 丁,=辰+，与 椭 圆 的 方 程，由韦达定理求得玉+%,
50、占2 ,根 据O A/.CW =0，得到。MLON,写出弦长|N|=2|Y?-3,方法一：令，=结合二次函数的性2 m2-2 W-1质，求 得|M N|有最大值.方法二：求得实数用的取值范围，再 由 基 本u不等式，求得|北加|的最大值，进 而 求 得A Q A W外接圆面积的最大值.【详 解】设因为。为尸耳的中点,所 以A。耳。周 长 恒O|+|O Q|+|g Fj =c+优 阳P La+c ,所以a+c =V 3+逅2 ,解得a =5 b冬C _ yfla 2所 以 椭 圆c的 标 准 方 程 为 工+&二=1.3 32（2）（i）由“2 =4y得y=亍，求 导 得/=y设 Z（X QJ,