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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date中考数学压轴题解题技巧(1)中考数学压轴题解题技巧关于中考数学压轴题的思考 2013、5、18思考一:中考数学压轴题如何攻克对中考数学卷,压轴题是考生最怕的,以为它一定很难,不敢碰它。其实,对历年中考的压轴题作一番分析,就会发现,其实也不是很难。这样,就能减轻做“压轴题”的心理压力,从中找到应对的办法。压轴题难度有约定:历年中考,压轴题一般都由3个小题组成。第(1)题
2、容易上手,得分率在0.8以上;第(2)题稍难,一般还是属于常规题型,得分率在0.6与0.7之间,第(3)题较难,能力要求较高,但得分率也大多在0.3与0.4之间。近十年来,最后小题的得分率在0.3以下的情况,只是偶尔发生,但一旦发生,就会引起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识,“起点低,坡度缓,尾巴略翘”已成为各地区数学试卷设计的一大特色,以往茂名卷的压轴题大多不偏不怪,得分率稳定在0.5与0.6之间,即考生的平均得分在7分或8分。由此可见,压轴题也并不可怕。压轴题一般都是代数与几何的综合题,很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式,用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识
3、。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式,就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的,这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。动态几何问题中有一种新题型,如北京市去年的压轴题,在图形的变换过程中,探究图形中某些不变的因素,它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类动态几何问题中,锐角三角比作为几何计算的一种工具,它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之,压轴题有多种综合的方式,不要老是盯着某种方式,应对压轴题,决不能靠猜题、押题。分析结构理清关系:解压轴题,要注意它的逻辑结构,搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的,还是“递进”的
4、,这一点非常重要。如果(1)、(2)、(3)三个小题是平列关系,它们分别以大题的已知为条件进行解题,(1)的结论与(2)的解题无关,(2)的结论与(3)的解题无关,整个大题由这三个小题“拼装”而成。如果(1)、(2)两个小题是“递进关系”,(1)的结论由大题的已知条件证得,除已知外,(1)的结论又是解(2)所必要的条件之一。思考二:中考数学压轴题解题技巧之【分类讨论题】分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现,是满分率比较低的一种题,这一类题的特点就是小题较多,且容易失分,常常会被同学们忽略,经常忘记分类讨论,而大题却经常是讨论不全,讨论全了结果还不一定对。而且,这类题往往陷阱比较多,一个
5、不注意就会掉进出题陷阱中。因此我们在考试当中一定要养成以下几个好习惯。以下几点是需要大家注意分类讨论的1、熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要按照一定的原则,不要遗漏,最后要综合。2、讨论点的位置,一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段上。3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。4、代数式变形中如果有绝对值、平方时,里面的数开出来要注意正负号的取舍。5、考查点的取值情况或范围。这部分多是考查自变量的取值范围的分类,解
6、题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点,那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。7、由动点问题引出的函数关系,当运动方式改变后(比如从一条线段移动到另一条线段)时,所写的函数应该进行分段讨论。值得注意的是:在列出所有需要讨论的可能性之后,要仔细审查是否每种可能性都会存在,是否有需要舍去的。最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根,那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。思考三:破解中考数学压轴题四个秘诀切入点一:做不出、找相似,有相似、用相似。压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手,这时往往应根据题
7、意去寻找相似三角形。切入点二:构造定理所需的图形或基本图形(即作辅助线)。在解决问题的过程中,有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说,只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的,其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的,但添辅助线几乎都遵循这样一个原则:构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。切入点三:紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论。在图形运动变化时,图形的位置、大小、方向可能都有所改变,但在此过程中,往往有某两条线段,或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。切入点四:在题目中寻找多解的信息(分类思考)。图形在运动变化,可能满
8、足条件的情形不止一种,也就是通常所说的两解或多解,如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题,其实多解的信息在题目中就可以找到,这就需要我们深度的挖掘题干,实际上就是反复认真的审题。思考四:压轴题的做题技巧1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识,根据自己的情况考试的时候重心定位准确,防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以,在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍。2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说,不是问题;如果第一小问不会解,切忌不可轻易放弃第二小问。过程会
9、多少写多少,因为数学解答题是按步骤给分的,写上去的东西必须要规范,字迹要工整,布局要合理;过程会写多少写多少,但是不要说废话,计算中尽量回避非必求成分;尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用三角函数,少在直角三角形中使用相似三角形的性质。例解压轴题解题:如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E.过点E
10、作EFAD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解:(1)点A的坐标为(4,8)将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b a=-,b=4抛物线的解析式为:y=-x2+4x 3分(2)在RtAPE和RtABC中,tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t点的坐标为(4+t,8-t).点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0,当t=4时,线段EG最长为2.
11、7分共有三个时刻. 8分t1=, t2=,t3= 11分压轴题解题技巧练习一、 对称翻折平移旋转1(2010年南宁)如图12,把抛物线(虚线部分)向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线,抛物线与抛物线关于轴对称.点、分别是抛物线、与轴的交点,、分别是抛物线、的顶点,线段交轴于点.(1)分别写出抛物线与的解析式;(2)设是抛物线上与、两点不重合的任意一点,点是点关于轴的对称点,试判断以、为顶点的四边形是什么特殊的四边形?说明你的理由.(3)在抛物线上是否存在点,使得,如果存在,求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.12题题图12yxAOBPN图2C1C4QEF2(2)yxAOB
12、PM图1C1C2C32(1)2(福建2009年宁德市)如图,已知抛物线C1:的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1(1)求P点坐标及a的值;(4分)(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;(4分)(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标(5分)二、 动态:动点、动线3(2
13、010年辽宁省锦州)如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1、x2是方程x22x80的两个根APOBECxy(1)求这条抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PEAC,交BC于点E,连接CP,当CPE的面积最大时,求点P的坐标;(3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由 4(2008年山东省青岛市)已知:如图,在RtACB中,C90,AC4cm,BC3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s
14、;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ若设运动的时间为t(s)(0t2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQBC?(2)设AQP的面积为y(),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)如图,连接PC,并把PQC沿QC翻折,得到四边形PQPC,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQPC为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由DBAQCP图AQCPB图AQCPB5(09年吉林省)如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,B60从初始时刻开始,点P、Q
15、同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动设P、Q运动的时间为x秒时,APQ与ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定:点和线段是面积为0的三角形),解答下列问题:(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是_秒;(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当APQ是等边三角形时x的值是_秒;(3)求y与x之间的函数关系式6(2009年浙江省嘉兴市)如图,已知A、B是线段MN上的两点,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成ABC,设CABNM(第24题)(1)
16、求x的取值范围;(2)若ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:ABC的最大面积?三、 圆7(2010青海) 如图10,已知点A(3,0),以A为圆心作A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作A的切线l.(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作A的切线DE,E为切点,求此切线长;(3)点F是切线DE上的一个动点,当BFD与EAD相似时,求出BF的长 CxxyyAOBEDACBCDG图1图28(2009年中考天水)如图1,在平面直角坐标系xOy,二次函数yax2bxc(a0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x
17、轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),OBOC,tanACO (1)求这个二次函数的解析式;(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,AGP的面积最大?求此时点P的坐标和AGP的最大面积9(09年湖南省张家界市)在平面直角坐标系中,已知A(4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D(1)求点C的坐标和过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)求点D的坐标;(3)设平
18、行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由OxyNCDEFBMAyxOCDBA1410(2009年潍坊市)如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由四、比例比值取值范围11(2010年怀化)图9是二次函数的图象,其顶点坐标为M(1,-4).(1)求出图象与轴的交点A,B的坐
19、标; (2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线与此图象有两个公共点时,的取值范围.图9图112 (湖南省长沙市2010年)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上, cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒(1)用t的式子表示OPQ的面积S;(2)求证:四边形OPBQ的
20、面积是一个定值,并求出这个定值;(3)当OPQ与PAB和QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图13(成都市2010年)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线(1)求直线及抛物线的函数表达式;(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;(3)设的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存
21、在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由并探究:若设Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,Q与两坐轴同时相切?五、探究型14(内江市2010)如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.(1)请求出抛物线顶点的坐标(用含的代数式表示),两点的坐标;(2)经探究可知,与的面积比不变,试求出这个比值;(3)是否存在使为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由.15(重庆市潼南县2010年)如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DEx轴于点D,连结DC,
22、当DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.16(2008年福建龙岩)如图,抛物线经过的三个顶点,已知轴,点在轴上,点在轴上,且(1)求抛物线的对称轴;(2)写出三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究:若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在是等腰三角形若存在,求出所有符合条件的点坐标;不存在,请说明理由ACByx01117(09年广西钦州)26(本题满分10分)如图,已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(1,0),过点C的直线yx3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一
23、个动点,过P作PHOB于点H若PB5t,且0t1(1)填空:点C的坐标是_,b_,c_;(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由18(09年重庆市)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在轴的正半轴上,OC在轴的正半轴上,OA2,OC3过原点O作AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DEDC,交OA于点E(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;(2)将EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G如果DF与
24、(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由ADBCEOxyyOxCNBPMA19(09年湖南省长沙市)如图,抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,)当x4和x2时,二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等,连结AC、BC(1)求实数a,b,c的值;(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的
25、速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时,连结MN,将BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由20(08江苏徐州)如图1,一副直角三角板满足ABBC,ACDE,ABCDEF90,EDF30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中,(1) 如图2,当时,EP
26、与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.(2) 如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.(3) 根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为_,其中的取值范围是_(直接写出结论,不必证明)【探究二】若,AC30cm,连续PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:(1) S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.(2) 随着S取不同的值,对应EPQ的个数有哪些变化?不出相应S值的取值范围. 六、最值类22(2010年恩施) 如图11,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式(2)连结PO、PC,并把POC沿CO翻折,得到四边形POPC, 那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在请说明理由(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.-