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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date离散型随机变量均值与方差优秀教案离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(a+b)=aE+b”，以及“若B(n,p)，则E=np”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及
2、根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。复习：1 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 若是离散型随机变量，=a+b, a, b是常数，则也是离散型随机变量。x1x2xiPP1P2Pi3 分布列:设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为
3、，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列 4 分布列的两个性质： Pi0，i1，2，； P1+P2+=101knP5 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ，（k0,1,2,，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)6 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量“=k”
4、表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么123kP（k0,1,2,， ）于是得到随机变量的概率分布如下：称这样的随机变量服从几何分布记作g(k，p)= ，其中k0,1,2,， 离散型随机变量的均值问题：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg 的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？ 价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克)；合理吗？如何体现三种的比例？平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的
5、质量分别为1/2kg, 1/3kg, 1/6kg, 所以价格应定为:(元/千克). 它是三种糖果价格的加权平均，其中1/2, 1/3, 1/6权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.1/2表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/3表示价格为24元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/6表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任取一颗糖
6、果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为24元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的概率是1/2，恰好是价格为24元/千克的概率是1/3，恰好是价格为36元/千克的概率是1/6.X182436P1/21/31/6假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的原来单价（元/千克），则X的分布列为：因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率。这样，每千克混合糖果的合理价格应为：18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X
7、=36)=23(元/千克).Xx1x2xixnPp1p2pipn一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=为X的均值或数学期望，简称期望均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.x1x2xixiax1+bax2+baxi+baxi+bPp1p2pipi均值或期望的一个性质:若Y=aX+b, a, b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，因为：P(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1,2,n.所以Y的分布列为：于是 ) ，由此，我们得到了期望的一个性质:思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班
8、级参赛选手的射击成绩都在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？问题的本质：选择方差大的好还是方差小的好？如果其他班级选手的射击成绩都在9环左右，本班候选人成绩只有8环，要想取胜或不输，选手必须超常发挥。一般来讲，方差大的，超常发挥的可能性越大，因此，应该派甲去；并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率(大于等于9环)。如果其他班级选手的射击成绩都在7环左右，要想取胜或不输，本班选手的射击成绩稳定在8环比较好，因此，选择派乙去；他的成绩的方差比较小，成绩更集中于8环，取胜的可能性更大；通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率(大于等于7环)。例1 在篮球比赛中，罚球命中得1分，不中得0分。如果某运动员罚
9、球命中的概率为0.7，那么他他罚球1次得分X的均值(期望)是多少。解：因为，所以一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么 E(X)=1p+0(1-p)=p 于是有若X服从二点分布，则E(X)=p.如果XB(n,p), 那么由,可得即： ，012kn故若XB(n，p)，则np随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？ 随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其
10、中有且仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。解：设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为X1, X2， 则X1 B（20, 0.9）, X2B(20, 0.25), 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5 X1和5 X2 所以，他们在测验中的成绩的均值分别是： 学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？他的成绩均值90分的含义是什么？90表示随机变量X的均值；甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为 0, 5, 10, 95
11、, 100；他的均值为90分的含义是：在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元但围墙只能防小洪水方案3：不采取措施，希望不发生洪水试比较哪一种方案好解：用X1 、X2和X3分别表示方案1，2，3的损失采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇
12、到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即 同样，采用第 3 种方案，有于是， E(X1)3 800 , E(X2)62 000P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000)= 620000. 01 + 2000(1-0.01) = 2 600 , E(X3)=60000P(X3 =60000)+10 000P(X3=10 000)+0P(X3=0)=60 0000.01 + 100000.25=3100 . 采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 . 值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”
13、而得出的一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的例4 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数X的均值解：，=3.5例5 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数X的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数X取1X10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概
14、率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，10）取出次品的概率：（k=1，2，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得X的概率分布如下：X12345678910P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根据以上的概率分布，可得X的期望例6 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不
15、同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程X是一个随机变量设他所收租车费为YX15161718P0.10.50.30.1()求租车费Y关于行车路程X的关系式；()如表为随机变量X的分布列，求所收租车费Y的数学期望()已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：()依题意得Y=2(X-4)十10，即Y=2X+2；()，Y=2X+2， 2EX+2=34.8(元) 故所收租车费Y的均值为34.8元()由38=2X+2，得X=18，5(18-15)=15，所以出租车在途中因故停
16、车累计最多15分钟。练习：1 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E(X)=（ C ）A4；B5；C4.5；D4.752 设有m升水，其中含有大肠杆菌n个今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为X，求X的数学期望分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是1/m，事件“X=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(X=k),进而可求E(X).解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=1/mP(X=k)=Pn(k)=Cnk(1
17、/m)k(11/m)nk（k=0,1,2,.,n）XB(n,1/m)，故E(X)=n1/m=n/m 小结 ：(1)离散型随机变量的均值(期望)，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量X的均值的基本步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由均值(期望)的定义求出E(X) (3)公式E(aX+b)= aEX+b，(4)服从二项分布的随机变量的均值(期望)：E(X)=np 练习：1 一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球X012p3/103/51/10个数的数学期望是 （用数字作答）解：令取取黄球个数X(X
18、=0、1、2)则X的要布列为： 于是 E(X)=03/10+13/5+21/10=0.8，故知红球个数的数学期望为1.2。2 学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设X表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）表示第i台仪器不出现故障，则：p(X=1)=p(A1)+ p(A2)+ p(A3)=p1(1p2)(1p3)+p2(1p1)(1p3)+p3(1p1)(1p2)=p1+p2+p32p1p22p2p32p3p1+3p1p2p3p(X=2)=p(
19、A1A2)+p(A1)+p(A2A3)=p1p2(1p3)+p1p3(1p2)+p2p3(1p1)=p1p2+ p1p3+ p2p33p1p2p3p(X=3)=p(A1 A2A3)= p1p2p3 E(X)=1p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3)=p1+p2+p3 充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望离散型随机变量的方差复习：均值(数学期望)是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，
20、即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，中，是它们的平均值，那么：叫做这组数据的方差 .Xx1x2xnPp1p2pn一般地，若离散型随机变量的概率分布为：则称 为X的均值(数学期望).均值(期望)的一个性质: 若XB(n,p），则EX=np .X15678910P0.030.090.200.310.270.10问题：要从甲、乙两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为：X256789P0.010.050.200.410.33乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为：应派哪位同学参赛？1 如果仅从平均射击成绩比较，能否区
21、分甲、乙两名同学的射击水平？E(X1)=8, E(X2)=8；他们的均值相等，只根据均值无法区分这两名同学的射击水平。2 考察X1，X2的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？比较两个图形，乙的成绩更集中于8环，他的成绩更稳定。怎样刻画随机变量的稳定性？XP样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度，它可以刻画样本数据的稳定性，可以类比吗？设离散型随机变量X的发布列为：用(xi-E(X)2描述了xi(i=1,2,n)相对于平均值E(X)的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术根为随机变量X的标准差。 随
22、机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差和标准差数值越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小。随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？二者都是反映离散程度和稳定性的定量指标；随机变量的方差是常数，样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此常用样本的方差来估计总体的方差。上述甲、乙两名同学的方差分别为：，因此甲的成绩稳定性较差，乙的成绩稳定性较好，稳定在8环左右。几个公式： 可以证明1、若服从两点分布（即），则.2、若，则.3、.注意点：随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
23、随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.X123456P解：抛掷散子所得点数X 的分布列为：从而 甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单
24、位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)= 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 , D(X1)= (1200-1400) 20. 4+(1400-1400)20.3+(1600-1400 )20.2+(1800-1400) 20. 1= 40 000 ; E(X2)1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , D(X2)= (1000-1400)20. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l= 16000
25、0 . 因为E(X1)=E(X2), D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位X12nP例3设随机变量的分布列为:求D(X). 解：（略）, .例4已知离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的概率分布为23.73.83.944.14.24.3P11234567P求这两个随机变量期望、均方差与标准差.解：；.；=0.04, .本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中.，方差比较清楚地指出了比
26、取值更集中2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 .例5甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.解：+（10-9）；同理有.由上可知，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即
27、两名射手成绩的稳定情况 .例6A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好. A机床B机床次品数10123次品数10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）20.04=0.6064,D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.0
28、6+（2-0.44）20.04+（3-0.44）20.10=0.9264.D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好. 练习： 1 .已知，则的值分别是（ .D ）A；B；C；D .2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3
29、当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P（=0）=当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（=1）=当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（=2）=当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（=3）=所以，E= .3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作
30、200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4. 分析：这是一道纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列求出方差D=P(1-P)后，我们知道D是关于P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证
31、明结论.证明：因为所有可能取的值为0，1且P（=0）=1-p,P(=1)=p,所以，E=0(1-p)+1p=p .则 D=（0-p）2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p) 5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：A110120125130135B100115125130145P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好. 分析： 两个随机变量A和B&都以相同的概率01，02，04，01，02取5个不同的数值A取较为集中的数值1
32、10，120，125，130，135；B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性.解：先比较A与B的期望值，因为 EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为 DA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DB=(100-125)20.1+(110-
33、125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好.6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用.解：设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100依题0525100P意，可得的分布列为 答：一张彩票的合理价格是02元-