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1、 考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、 选择题1.(2018浙江高考T7)设0p1,随机变量的分布列是012P则当p在(0,1)内增大时,()A.D()减小B.D()增大C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小【命题意图】考查期望与方差的性质.【解析】选D.由分布列可知E()=0+1+2=p+,所以方差D()=+=-p2+p+,所以D()是关于p的二次函数,开口向下,所以D()先增大后减小.二、解答题2.(本小题12分)(2018北京高考理科T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140
2、50300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“k=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小关系.【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型,事件的运算,以及方差的计算,意在
3、考查,培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+ 800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为2000.25=50,所以所求概率为=0.025.(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,记“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为A+B,由表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,所有电影是否获得好评相互独立,所以P()=1-P(A)=0.75,P()=1-P
4、(B)=0.8,P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35,即所求概率为0.35.(3)由表及已知,P(1=1)=0.4,P(1=0)=1-0.4=0.6,P(=1)=P(1=1)=0.4,P(=0)=P(1=0)=0.6,所以E1=10.4+00.6=0.4,E=0.4,D1=E-(E1)2=0.4-0.42=0.24.同理,D2=E-(E2)2=0.2-0.22=0.16,D3=E-(E3)2=0.15-0.152=0.1275,D4=E-(E4)2=0.25-0.252=0.1875.D5=E-(E5)2=0.2-0.22=
5、0.16,D6=E-(E6)2=0.1-0.12=0.09,所以D6D3D2=D5D4D1.3.(本小题13分)(2018北京高考文科T17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率
6、发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)【命题意图】考查统计与概率知识中的古典概型、事件的运算、以及方差的计算,意在考查、培养学生的实际应用能力、逻辑推理能力,体现了数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的数学素养.【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200 +800+510=2000,获得好评的第四类电影部数为2000.25=50,所以所求概率为=0.025.(2)方法一:记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事
7、件A,由表知,没有获得好评的电影部数为140(1-0.4)+50(1-0.2)+300(1-0.15)+200(1-0.25)+800(1-0.2)+510(1-0.1)=1628,所以P(A)=0.814,即所求概率为0.814.方法二:记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A,则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件,由表知,获得好评的电影部数为1400.4+500.2+3000.15+2000.25 +8000.2+5100.1=372,所以P(A)=0.186,所以P()=1-P(A)=0.814,即所求概率为0.814.(3)由表及已知,第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好
8、评率减少0.1,符合要求.4.(本小题满分13分)(2018天津高考理科T16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.()应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?()若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.()用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;()设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【命题意图】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等
9、基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.【解析】()由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.()()随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.()设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2)=, P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.