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1、精品文档 仅供参考 学习与交流人教版八年级下册数学教案(全册)【精品文档】第 250 页第十六章 二次根式16.1二次根式第1课时 二次根式的概念【知识与技能】了解二次根式的概念，理解是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.【教学重点】二次根式的概念及0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题 （1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_m；（2）面
2、积为S的正方形的边长为_；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=._【教学说明】 设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知 思考 通过对上述问题的探究，可得到形如的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.二次根式：一般地，我们把形如（a0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号
3、.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1）中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2）尽管=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a0时，表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有0（a0）三、典例精析，掌握新知例1 下列各式中，一定是二次根式的有_分析：判断二次根式应关注两点：（1）有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有中的式子同时符合两个要求，故应填.例2 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-20，得x2；（2）中，由得2x3；（3）中，由2x-10，得x1/2.【教学说明】对
4、于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验中a0及a0的双重非负性特征. 四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根_（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习
5、题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.第十六章 二次根式16.1二次根式第2课时 二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a0）与=a（a0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】=a（a0），=a（a0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索=a（a0）及=a（a0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜
6、一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出（a0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：=a（a0）.进一步地，引导学生探究新的问题.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定（a0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.【归纳结论】一般地，根据算术平方
7、根的意义，有=a（a0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1 计算：（1）（）2； （2）（2）2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上13题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（2）本题中的两个二次根式都可以利用=|a|进行化简.然后再根据x2的这个范围，来判断x-
8、2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.x2，x-20,1-2x0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+492/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法【知识与技能】理解=（a0，b0），=（a0，b0），并能运用它们进行化简计算.【过程与方法】经历探索二次根式乘法法则的过程，发展
9、观察、归纳猜想、验证等能力.【情感态度】培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心.【教学重点】=（a0，b0），=（a0，b0）.【教学难点】发现规律，推导=（a0，b0）.一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算.【教学说明】问题1通过被开方数都是完全平方数，让学生容易获取结果，发现规律.通过问题2的验证加深对规律的认识，为本节学习作好铺垫.上述两个问题均应由学生自主完成，相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知选几名学生口述所发现的规律，然后师生共同归纳：一般地，对二次根式的
10、乘法规定：【教学说明】对上述二次根式的乘法公式，教学时应引导学生关注其后面的附加条件a0，b0，切不能出现类似于=的错误.三、典例精析，掌握新知【教学说明】让学生自主探究，独立完成，加深对二次根式乘法运算和化简方法的理解.教师巡视，对有困难的同学适时给予指导，最后可选派四名学生上黑板完成解答，师生共同评析，巩固所学新知识.【教学说明】在学生探索本题解答过程中，教师可补充说明，在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.四、运用新知，深化理解4.一个矩形的长和宽分别是10cm和22cm，求这个矩形的面积.5.一个底面为30cm30cm的长方体容器中装满了水.现将一部分水倒入一个底面为正方形
11、，高为10cm的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米？【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.【答案】1.A2.(1)原式=五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？谈谈你的想法，并与同伴相互交流.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.第十六章 二次根式第2课时 二次根式的除法【知识与技能】理解=（a0，b0）和=（a0，b0），能用它们进行化简计算，能将二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】通过具体实例的
12、探究活动，发现二次根式除法的规律，归纳出二次根式除法法则及其逆向等式，能用它们进行化简计算.【情感态度】让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识和能力.【教学重点】=（a0，b0）和=（a0，b0）的理解和应用.【教学难点】探索二次根式的除法法则.一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：【教学说明】让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课.二、思考探究，获取新知想一想通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根
13、式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？与同伴交流.师生共同回顾思考，总结出二次根式除法运算法则：=（a0，b0）和=（a0，b0）【教学说明】在师生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教师应引导学生关注其成立的条件，不得出现=的类似错误.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算.教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保留每道题的最后结果.议一议 观察上述各题的最后结果，它们有什么特点？在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征：（1）被开方数中不含分
14、母（或分母中不含二次根式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把具有上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.小练习：1.下列二次根式中，是最简二次根式的有_（填序号）.【教学说明】感受二次根式乘除在数学问题和实际生活中的应用，体会二次根式的乘除法在二次根式的化简中的重要作用.四、运用新知，深化理解【教学说明】让学生自主完成，加深对已学知识的复习，并检查对新学知识的掌握情况，对学生的困惑,教师应及时予以指导，并进行必要的反思.五、师生互动，课堂小结师生共同回顾：（1）=（a0，b0）和=（a0，b0）及其应用；（2）最简二次根式的意义.【教学说明】教师应让学生自由交流，总结本节课
15、的知识要点，同时进行自我反思，提高认知，加深对所学知识的理解.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.第十六章 二次根式16.3二次根式的加减第1课时 二次根式的加减【知识与技能】会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.一、情境导入,初步认识问题 现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，
16、能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认
17、识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求与这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最
18、后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.例3 如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2,则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解.【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业
19、，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.下列计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.（1）不正确，两边不相等；（2）不正确，两边不相等；（3）正确.2.和；五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.（1）知识要点：二次根式加减的一般思路,不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；相同的二次根式一定要进行合并.（2）需注意的问题：应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现-是最后结果的类似错误；相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，
20、不相同的二次根式不能进行加减，防止出现3-2=（3-2）（-）=-的错误.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.16.3 二次根式的加减第2课时 二次根式的混合运算【知识与技能】1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算；2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.【过程与方法】通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法.【情感态度】通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】多项式的乘除
21、法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.一、情境导入,初步认识问题 我们知道：（x+y）xy=xxy+yxy=x2y+xy2，（2x2y+3xy2）xy=2x2yxy+3xy2xy=2x+3y，（x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识.二、思考探究，获取新知探究1 由（x+y）z=xz+yz=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？探究2
22、由，你能求出的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题.【教学说明】让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果.【归纳结论】1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号.2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.三、典例精析，掌握新知例1 计算下列各题：分析：对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（ab）2=a
23、22ab+b2的灵活运用.解：（1）原式=（4-2+6）2=（4+4）2=42+42=2+2；例2 已知x=+1，y=-1，求下列代数式的值.（1）x2+2xy+y2；（2）x2-y2.分析：由条件易知x+y=2，x-y=2，而需求代数式中的（1）可化为（x+y）2，（2）可化为（x+y）（x-y），因而整体代入更简洁些，当然直接代入求值也是可行的，只不过要复杂多了.解：x=+1，y=-1，x+y=2，x-y=2.（1）原式=（x+y）2=（2）2=12；（2）原式=（x+y）（x-y）=22=4.【教学说明】第1题可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视，了解学生对二次根式混
24、合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解.第2题仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的.四、运用新知，深化理解3.（1）若a=3+2，b=3-2，求a2b-ab2的值；（2）若x=-1，求x2+2x+2011的值.【教学说明】第1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学.第3题即可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程.3.（1）由a-b=4，ab=1得a2b-
25、ab2=ab（a-b）=14=4；（2）x=-1，x+1=，两边平方，得x2+2x+1=2.x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流.【教学说明】教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.第十六章 二次根式章末复习【知识与技能】进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.【过程与方法
26、】经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.【情感态度】在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.【教学重点】回顾知识要点及解题思路方法.【教学难点】灵活运用乘法公式解决二次根式的化简计算问题.一、 知识框图,整体把握【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.二、释疑解惑，加深理解1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说，对于，只有当a0时才有意义.利用这一特点
27、，我们可以解决某些未知数的值，如若y= +3，则x=1/2，y=3.2.最简二次根式是指：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式 与 能合并，则x的值为4.3.二次根式的运算与有理数的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.三、典例精析，复习新知例1 若 -=（x+y）2，则代数式x-y的值为（ ）A.-1 B.1 C.2 D.3分析：可利用二次根式的意义，得出
28、x的值，从而求出y值，得出结论.由题意有x=1.因此，（x+y）2=0，y=-1，故x-y=2，应选C.例2 估计 的运算结果应在（ ）A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间分析：原式=2+，又12，故32+4.答案选C.例3 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|的结果为.分析：由数轴可知，a0，b0，且ba0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b0，a+b0，原式=a-2b-（a+b）=-3b，故应填-3b.例4 已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：将a=+1移项得a-1=，两边平方后得到一个二次三项式，再“整
29、式代入，逐步降次”可得结论.解：a=+1，a-1=，（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，a2=2a+1.a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6 若与x-y-3互为相反数，求x+y的值.分析：本题考查了非负数的性质以及二元一次方程组的求解，当多个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.【教学说明】实际教学时，教师可根据自己的思路从上述例题中选取几题进行评讲，也可选用其它题目来解决学生学习本章知识时可能存在的问题，达到因材施教，查漏补缺的目的，对于所选例题，应给予合适时间让学生独
30、立思考，然后师生共同分析，完善结论，其中例4、例5、例6则应给出详细规范答案.通过所选例题的教学，进一步增强学生对本章知识的理解和掌握，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学的严谨性、科学性及解题的灵活性.四、复习训练，巩固提高1.已知方程|4x-8|+ =0，则当y0时，m的取值范围是（）A.0m1 B.m2 C.m2 D.m2【教学说明】教师试着让学生自己完成上述题目.【答案】1.依题意有4x-8=0，x-y-m=0，x=2，y=2-m，又y0，即2-m0，m2，故选C.2.x4且x2；五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识，有何体会？请与同学交流.2.通过
31、本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.【教学说明】师生共同进行回顾和小结，让学生在相互交流中积累解题方法和经验.1.布置作业：从教材“复习题16”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本章专题整合训练【知识与技能】进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.【过程与方法】经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.【情感态度】在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.【教学重点】回顾知识要点及解题思路方法.【教学难点】灵活运用乘
32、法公式解决二次根式的化简计算问题.二、 知识框图,整体把握【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.二、释疑解惑，加深理解1.对于二次根式，要明确被开方数必须是非负数，也就是说，对于，只有当a0时才有意义.利用这一特点，我们可以解决某些未知数的值，如若y= +3，则x=1/2，y=3.2.最简二次根式是指：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式 与 能合并，则x的值为4.3.二次根式的运算与有理数
33、的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.三、典例精析，复习新知例1 若 -=（x+y）2，则代数式x-y的值为（ ）A.-1 B.1 C.2 D.3分析：可利用二次根式的意义，得出x的值，从而求出y值，得出结论.由题意有x=1.因此，（x+y）2=0，y=-1，故x-y=2，应选C.例2 估计 的运算结果应在（ ）A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间分析：原式=2+，又12，故32+4.答案选C.例3 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+
34、b|的结果为.分析：由数轴可知，a0，b0，且ba0，故+|a+b|=+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b0，a+b0，原式=a-2b-（a+b）=-3b，故应填-3b.例4 已知a=+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：将a=+1移项得a-1=，两边平方后得到一个二次三项式，再“整式代入，逐步降次”可得结论.解：a=+1，a-1=，（a-1）2=（）2，即a2-2a+1=2，a2=2a+1.a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6 若与x-y-3互为相反数，求
35、x+y的值.分析：本题考查了非负数的性质以及二元一次方程组的求解，当多个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.【教学说明】实际教学时，教师可根据自己的思路从上述例题中选取几题进行评讲，也可选用其它题目来解决学生学习本章知识时可能存在的问题，达到因材施教，查漏补缺的目的，对于所选例题，应给予合适时间让学生独立思考，然后师生共同分析，完善结论，其中例4、例5、例6则应给出详细规范答案.通过所选例题的教学，进一步增强学生对本章知识的理解和掌握，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学的严谨性、科学性及解题的灵活性.四、复习训练，巩固提高1.已知方程|4x-8|+ =0，则当y0时，m的取值范围是（）A
36、.0m1 B.m2 C.m2 D.m2【教学说明】教师试着让学生自己完成上述题目.【答案】1.依题意有4x-8=0，x-y-m=0，x=2，y=2-m，又y0，即2-m0，m2，故选C.2.x4且x2；五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识，有何体会？请与同学交流.2.通过本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.【教学说明】师生共同进行回顾和小结，让学生在相互交流中积累解题方法和经验.1.布置作业：从教材“复习题16”中选取.2.完成练习册中本课时练习.第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第1课时 勾股定理【知识与技能】了解勾股定理的文化背景，体验勾股
37、定理的探索过程.【过程与方法】在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性.【情感态度】1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情.2.在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索和证明勾股定理.【教学难点】用拼图的方法证明勾股定理.一、情境导入，初步认识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）.（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定
38、理”吗？【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”.通过对图片的观察，为学生积极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料.二、思考探究，获取新知毕达哥拉斯是古希腊著名数学家.相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请你也观察一下类似的图案（教材P22图形），你有什么发现？【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形
39、，再把两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.问题等腰直角三角形三边的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3，运用割补法分别计算正方形A、B、C和正方形A、B、C的面积，看看它们之间有什么关系？【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C的面积，教师巡视，针对学生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积.一方面，正方形C的面积为：52-423=25-12=13；另一方面也有正方形C的面积为：423+1=13，而这两种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正
40、方形C的面积为34.通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a，b，斜边为c，则应有a2+b2=c2，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.上述结论我们都是通过特例而获得的，是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？做一做将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.想一想（1）中间小正方形边长是多少？它的面积呢？（2）你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗？不妨试试看.【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习
41、兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识.最后师生共同探讨：S大正方形=c2=4ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.即a2+b2=c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图”.三、运用新知，深化理解1.你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流.2.你能用勾股定理解决下面的问题吗？（1）在RtABC中，ACB=90，AC=7，BC=24，试求斜边AB的长；（2）
42、在RtABC中，ACB=90，AB=10，BC=6，试求直角边AC的长.【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲.【答案】1.解：S梯形（a+b）（a+b）（a2+b2+2ab），又S梯形ab+ab+c2=（2ab+c2），综上a2+b2c2.有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.解：（1）由勾股定理有：在RtABC中，AB2=AC2+BC2，即AB25.（2）由勾股定理有：在RtABC中，AB2=AC2+BC2，即AC2AB2-BC2，AC8.四、师生互动，课堂小结这节课你有哪些收获？你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？与同伴交流.1.请查阅资料或上网，收集一些证
43、明勾股定理的方法，并与同伴交流.2.完成练习册中本课时练习.第2课时 勾股定理的应用【知识与技能】能运用勾股定理进行简单的计算及解释生活中的实际问题.【过程与方法】通过从实际问题中抽象出直角三角形的过程，初步感受转化和数形结合的思想方法.【情感态度】通过对探究性问题的思考，培养学生与他人交流合作的意识和品质.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】应用勾股定理解决实际生活中的问题.一、情境导入，初步认识问题1 求出下列直角三角形中未知边的长：在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件？直角三角形中哪条边最长？问题2 在长方形ABCD中，宽AB=1cm，长BC=2cm，求AC的长.【教学说
44、明】在问题1中，选派四名同学上黑板演示，其它同学在座位上独立思考，然后解决问题2，教师巡视指导，加深学生对勾股定理的理解和运用.二、思考探究，获取新知探究1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？【分析】显然，这块薄木板横着进，竖着进都不能从门框内通过，能否斜着通过门框呢？由图可知，对角线AC是斜着通过时的最大长度，只要求出AC的长，再与木板的宽进行比较，就能知道木板能否通过门框.解：连接AC，在RtABC中，ABC=90，AB=1，BC=2，由AC2=AB2+BC2，得AC2=12+22=5，AC=2.236.AC大于木板的宽2.2m，所以木板能斜着
45、通过门框.【教学说明】教师提出问题后，可设置以下几个问题帮助学生分析：木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？如果将木板斜着拿，是否有可能通过门框？此时，要使木板能通过，则需比较哪些数据的大小？你是怎样想的？让学生在相互交流过程中获得解题思路，初步感受利用勾股定理解决生活实际问题的思想方法.探究2 如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时AO的距离为2.5m.如果梯子的顶端A沿墙壁下滑0.5m，那么梯子底端B也向外滑行了0.5m吗？说说你的理由.【分析】由于梯子沿墙壁滑动过程中有两个不变量，一是梯子的长AB=AB=3m，另一个则是AOB=AOB=90.要想判断梯子底端向外滑行的距离是否是0.5m，即是通过勾股定理求出OB和OB的长即可.由题意得OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.75，OB2AB2-OA232-225，所以OB2.236，OB=1.658，故BB=OB-OB=2.236-1.658=0.5780.58，即梯子顶端下滑0.5m时，底端外移0.58m.【教学说明】本例在教师分析后，可由学生自主完成，让学生感受将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识.教师巡视，关注学生能否准确理解题意，将实际问题转化为数学问题，关注学生的语言表达能力，对有困难