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1、新人教版八年级上册数学知识点总结归纳第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中， 连接一个顶点
2、和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“ ” 表示， 顶点是 A、 B、 C 的三角形记作“ ABC” ，读作“三角形 ABC” 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 2 页，共 35 页5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。
4、证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的面积 =21底高多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形多边形分类 1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类 2：
5、叫做正多边形。非正多边形：1、n 边形的内角和等于180 （n-2） 。多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360 。3、n 边形的对角线条数等于1/2 n（n-3）只用一种正多边形： 3、4、6/。镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等） ：3、4。知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角：多
6、边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有 n 个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。（2）在定义中应注意：一些线段（多边形的边数是大于等于3 的正整数） ；首尾顺次相连，二者缺一不可; 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形 . 2、多边形的分类 : (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形 . 凸多边形凹多边形图 1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n
7、 条边就叫做n 边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫
8、做多边形的对角线 . 如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引 (n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n 边形共有条对角线。证明：过一个顶点有 n3 条对角线 (n3 的正整数)，又共有 n 个顶点，共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，凸n 边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页形，共有条对角线。知识点四：多边形的内角和公式1.公式：边形的内角和为. 2.公式的证明：证法 1： 在边形内任取一点， 并把这点与各个顶点连接
9、起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为. 证法 2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于. 证法 3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即. 要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、- - - - - -第 7 页，共 35 页1.公式：多边形的外角和等于360. 2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角， 所以边形的内角和加外角和为，外角和等于. 注意： n 边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关。要点诠释：(1)外角和公式的应用：已知外角度数，求正多边形边数；已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：n 边形的内角和等于 (n2)180(n3，n 是正整数 )，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180。多边形的外角和等于360，与边数的多少无关。知识点六：镶嵌的概念和特征1
11、、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌 )。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；相邻的多边形有公共边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360。(2)只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多
12、边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360时，就能铺成一个平面图形。事实上，正n 边形的每一个内角为，要求 k 个正 n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360，由此导出k2，而 k 是正整数，所以 n 只能取 3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的内角和都等于 360。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相
13、关正多边形 “交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角 360。规律方法指导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 35 页1 内角和与边数成正比： 边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少 . 每增加一条边， 内角的和就增加180（反过来也成立） ，且多边形的内角和必须是180的整数倍 . 2多边形外角和
14、恒等于360，与边数的多少无关. 3 多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角. 4在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法. 5在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决 . 三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用. 经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1 一个多边形的内角和等于它的外角和的5 倍， 它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用 . 只要设出边数， 根据条件列出关于的方程，求
15、出的值即可，这是一种常用的解题思路. 举一反三：【变式 1】 若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800，求这个多边形的边数 . 【变式 2】 一个多边形除了一个内角外， 其余各内角和为2750，求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为， 这个内角为，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用【变式 1】 一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（） . A6 B7C8 D9 【
16、变式 2】一个十二边形有几条对角线。总结升华：对于一个n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问题【变式 1】 如图所示，1+2+3+4+5+6=_. 【变式 2】如图所示，求 ABCDEF的度数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页类型四：实际应用题4 如图， 一辆小汽车从 P 市出发，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？
17、思路点拨：根据多边形的外角和定理解决. 举一反三：【变式 1】 如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m， 向右转 15，再前进 10m，又向右转 15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m. 【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走10 米，再向右转36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回点A 时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式 3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边 ABCF， CDAE. 按规定 AB、 CD 的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道
18、 AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由 . 思路点拨： 本题中将 AB、CD 延长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页后会得到一个五边形， 根据五边形内角和为540， 又由 ABCF，CDAE，可知 BAE+AEF+EFC=360，从540中减去80再减去 360，剩下 C 的度数为 100，所以只需测 C 的度数即可，同理还可直接测A 的度数 . 总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线 . 类型五：镶嵌问题5分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面
19、的设计图。(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形。思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60、90、120、135、150。(1)因为 902135360，所以一个顶点处有1 个正方形、2 个正八边形，如图 (1)所示。(2)因为 602150360，所以一个顶点处有1 个正三角形、 2 个正十二边形，如图 (2)所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 35
20、 页(3)因为 60290120360，所以一个顶点处有1 个正三角形、 1 个正六边形和 2 个正方形，如图 (3)所示。总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：【变式1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、B、C、D、解析：用同一种多边形木板铺地面， 只有正三角形、 四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块
21、木板的边数应是 ( ) A、4B、5C、6D、8 【答案】A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以 2，然后用 360减去刚才得到的积， 便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）练习1多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600，求这个多边形的边数2n 边形的内角和与外角和互比为13：2，求 n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页3五边形 ABCDE 的各内角都相等，且AE DE ，AD CB吗？4将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？5四边形 ABCD 中， A+B=210 ， C 4D
22、求： C或D的度数6在四边形 ABCD 中，AB AC AD ，DAC 2BAC 求证： DBC 2BDC 第十二章全等三角形一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质（1） ：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2） ：全等三角形的周长相等、面积相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页（3） ：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS
23、”)边角边 :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”)角边角 :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”)角角边 :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成 “HL ”)4、证明两个三角形全等的基本思路：二、角的平分线：1、 （性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):要正确区分 “ 对应边 ” 与“ 对边” ，“ 对应角 ” 与“ 对角” 的不同
24、含义；（2） ：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3） ：“ 有三个角对应相等 ” 或“ 有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4） ： 时刻注意图形中的隐含条件， 如 “ 公共角 ” 、 “ 公共边 ” 、 “ 对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页顶角”1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 夹边就是三角形中相邻两角
25、的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质全等用符号“”表示，读作“全等于” 。如ABCDEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ）（2）角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ）（3）边边边定理： 有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS ” ） 。直角三角形全等的判定：
26、对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）4、全等变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。第十二章轴对称一、轴对称图形
27、1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1) 轴对称图形是指 ( )具 有特殊形状的图形 ,只对( )图形
28、而言 ;(2) 对称轴 ( )只有一条(1) 轴对称是指 ( )图形的位置关系 , 必须涉及( )图形;(2) 只有( )对称轴 .如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分 , 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体, 那么它就是一个轴对称图形.BCACBAABC一个一个不一定两个两个一条知识回顾：4.轴对称的性质关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
29、二、线段的垂直平分线1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点横坐标相等 ,纵坐标互为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页相反数 .关于 y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等 . 点（x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为 _. 点（x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为 _. 2.三角形三条边的垂直
30、平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、 （等腰三角形 )知识点回顾1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。 （等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边）五、 （等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
31、1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2： 等边三角形的各个角都相等， 并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角 （或直角），但顶角可为钝角（或直角） 。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为 b，则2ba 等腰
32、三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为 B、C，则A=1802B，B=C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的1、 两边上中线相等的三角形是等腰三
33、角形；2、 如果一个三角形的一边中线垂直这条边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。（平分这个边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、 如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、 三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等
34、，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、 如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角） ，那么这个三角形是等腰三角形；2、 有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半 腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线， 并且它们又重新构成一个新的三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线
35、定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。第十四章整式乘除与因式分解一回顾知识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：am anamn（m、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amn （m、n 为正整数）精选学
36、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页幂的乘方，底数不变，指数相乘（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积 amn （a0，m、n 都是正整数，且mn）同底数幂相除，底数不变，指数相减零指数幂的概念：a01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l负指数幂的概念：ap（a0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数也可表示为：（m0，n0，p 为正整数）单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的
37、指数作为积的一个因式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘， 用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 2、乘法公式：平方差公式：（
38、ab） （ab）a2b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差完全平方公式：（ab）2a22abb2（ab）2a22abb2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍 3、因式分解：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止弄清因式分解与整式乘法的内在的关系精选学习资料 - - - - -
39、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式二、熟练掌握因式分解的常用方法1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项（4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形
40、式，即分解到 “底” ； 如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2b2 （ab） （ab）完全平方公式： a22abb2（ab）2a22abb2（ab）2 3.十字相乘法第十五章分式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页知识点一：分式的定义一般地，如果A，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式， A 为分子， B 为分母。知识点二：与分式有关的条件分式有意义：分母不
41、为0（0B）分式无意义：分母为0（0B）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA）分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）分式值为 1：分子分母值相等（ A=B）分式值为 - 1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中 A、B、C 是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0
42、这个限制条件和隐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页含条件 B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数， 然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把
43、几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义： 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母 （或含有字母的式子） 的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母 （或含有字母的式子） 为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共
44、 35 页知识点六分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba分式除以分式： 把除式的分子、 分母颠倒位置后， 与被除式相乘。式子表示为ccbdadbadcba分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为bdbcaddcba整式与分式加减法： 可以把整式当作一个整数， 整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1 的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的
45、混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 35 页析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点六整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即nmnmaaamnnmaannnbbaanmnmaaa（0a）nnbaba
46、nna1na（0a）10a（0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中 m，n 均为整数。科学记数法若一个数 x 是 0 x10 的数则可以表示为n10a（10a1，即 a的整数部分只有一位，n 为整数）的形式， n 的确定 n=比整数部分的数位的个数少1。如 120 000 000=8101.27 个 0 9 个数字精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 35 页知识点七分式方程的解的步骤去分母， 把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分
47、母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。知识点八列分式方程基本步骤审仔细审题，找出等量关系。设合理设未知数。列根据等量关系列出方程（组） 。解解出方程（组）。注意检验答答题。八年级数学下册知识点总结第十六章分式1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式。分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。（0C）3. 分式的通分
48、和约分：关键先是分解因式4. 分式的运算：bcadcdbadcbabdacdcba;CBCABACBCABA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 35 页分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分 式 除 法 法 则 ： 分 式 除 以 分 式 ， 把 除 式 的 分 子 、 分 母 颠 倒 位 置 后 ， 与 被 除 式 相 乘 。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。,abab acadbcadbccccbdbdbdbd分式的加减法则： 同分母的分式相加减， 分母不变，把分子相加减。
49、异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算 : 运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0( 10aa； 当 n 为正整数时，nnaa1（)0a6. 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n 是整数 ) （1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa )(; （3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa( a 0)；（5）商的乘方：nnnbaba)() ；(b0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。解分式方程的过程，实质上是将方
50、程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤：(1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3) 解整式方程； (4) 验根增根应满足两个条件： 一是其值应使最简公分母为0， 二是其值应是去分母后所的整式方程的根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审；(2) 设；(3) 列；(4) 解；(5)